数学模型（0349）
模型准备 模型检验 模型应用
模型假设 模型分析
模型构成 模型求解
数学模型（0349）
模型准备 首先要了解问题实际背景， 明确建模的目的，搜集建模必需的各种信 息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征， 由此初步确定用哪一类模型，总之是做好 建模的准备工作。情况明才能方法对，这 一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从 事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手 资料。
前面说过，建模可以看成一门艺术。艺术在 某种意义下是无法归纳出几条准则或方法的。一 名出色的艺术家需要大量的观摩和前辈的指教， 更需要亲身的实践。类似地，掌握建模这门艺术， 培养想象力和洞察力，一要大量阅读、思考别人 做过的模型，二要亲自动手，认真做几个实际题 目。后者是更为重要的。为了这个目的本书采用 实例研究方法。一方面给出在各个应用领域不同 数学方法建模的大量实例，另一方面通过习题提 供若干实际题目让读者自己练习。
1.6 数学模型的特点 和建模能力的培养
我们已经看到建模是利用数学工具解 决实际问题的重要手段。数学模型有许多 优点，也有弱点。建模需要相当丰富的知 识、经验和各方面的能力，同时应注意掌 握分寸。下面归纳出数学模型的若干特点：
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模型的逼真性和可行性 一般说来总 是希望模型尽可能逼近研究对象，但是一 个非常逼真的模型在数学上常常是难于处 理的，因而不容易达到通过建模对现实对 象进行分析、预报、决策或者控制的目的， 即实用上不可行。
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理想化方法是从观察和经验中通过想 象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其 升华到理想状态，以期更本质地揭示对象 的固有规律。在一定条件下把物体看着质 点，把实际位置看作数学上的点、线等都 是理想化的结果。
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建模过程是一种创造性思维过程，除 了想象、洞察、判断这些属于形象思维、 逻辑思维范畴的能力之外，直觉和灵感往 往也起着不可忽视的作用。直觉是人们对 新事物本质的极敏锐的领悟、理解或推断。 灵感指在人们有意识或下意识思考过程中 迸发出来的猜测、思路或判断。二者都具 有突发性，且思维者本人往往说不清它的 来路和道理。
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建立数学模型的方法和步骤
一般说来建立数学模型的方法大体上 可分为两大类，一类是机理分析方法，一 类是测试分析方法。
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机理分析是根据对现实对象特性的认识， 分析其因果关系，找出反映内部机理的规 律，建立的模型常有明确的物理或现实意 义。1.2~1.4节的示例都属于机理分析方法。
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模型的非预制性 虽然已经发展了许 多应用广泛的模型，但是实际问题是各种 各样、变化万千的，不可能要求把各种模 型做成预制品供你在建模时使用。模型的 这种非预制性使得建模本身常常是事先没 有答案的问题。在建立新的模型的过程中 甚至会伴随着新的数学方法或数学概念产 生。
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另一方面，越逼真的模型常常越复杂， 即使数学上能处理，这样的模型应用时所 需要的“费用”也相当高，而高“费用” 不一定与复杂模型取得的“效益”相匹配。 所以建模时往往需要在模型的逼真性与可 行性，“费用”与“效益”之间作出折衷 和抉择。
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模型的渐进性 稍微复杂一些的实际 问题的建模通常不可能一次成功，要经过 上一节描述的建模过程的反复迭代，包括 由简到繁，也包括删繁就简，以获得越来 越满意的模型。在科学发展过程中随着人 们认识和实践能力的提高，各门学科中的 数学模型也存在着一个不断完善或者推陈 出新的过程。
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测试分析将研究对象视为一个“黑箱” 系统，内部机理无法直接寻求，可以测量 系统的输入输出数据，并以此为基础运用 统计分析方法，按照事先确定的准则在某 一类模型中选出一个与数据拟合得最好的 模型。这种方法称为系统辨识。将这两种 方法结合起来也是常用的建模方法，即用 机理分析建立模型的结构，用系统辨识确 定模型的参数。
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模型的局限性结论虽然具 有通用性和精确性，但是因为模型是现实 对象简化、理想化的产物，所以一旦将模 型的结论应用于实际问题，就回到了现实 世界，那些被忽视、简化的因素必须考虑， 于是结论的通用性和精确性只是相对的和 近似的。
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想象力指人们在原有知识的基础上， 将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、 重新组合、加工处理，创造出新的形象， 是一种形象思维活动。洞察力指人们在充 分占有资料的基础上，经过初步分析能迅 速抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问 题的层次，对可以用哪些方法解决面临的 问题，以及不同方法的优劣作出判断。
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模型检验 把数学上分析的结果翻译回 到实际问题，并用实际的现象、数据与之 比较，检验模型的合理性和适用性。这一 步对于建模的成败是非常重要的，要以严 肃认真的态度来对待。模型检验的结果如 果不符合或者部分不符合实际，问题通常 出在模型假设上，应该修改、补充假设， 重新建模。有些模型要经过几次反复，不 断完善，直到检验结果获得某种程度上的 满意。
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模型求解 可以采用解方程、画 图形、证明定理、逻辑运算、数值计 算等各种传统的和近代的数学方法， 特别是计算机技术。
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模型分析 对模型解答进行数学上的 分析，有时要根据问题的性质分析变量间 的依赖关系或稳定状况，有时是根据所得 结果给出数学上的预报，有时则可能要给 出数学上的最优决策或控制。不论哪种情 况还常常需要进行误差分析、模型对数据 的稳定性或灵敏性分析等。
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当由于各种限制利用已有知识难以对 研究对象作出有效的推理和判断时，凭借 相似、类比、猜测、外推等思维方式及不 完整、不连续、不严密的，带启发性的直 觉和灵感，去“战略性”地认识对象，是 人类创造性思维的特点之一，也是人脑比 按程序逻辑工作的计算机、机器人的高明 之处。
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模型的条理性 从建模的角度考虑问题 可以促使人们对现实对象的分析更全面、 更深入、更具条理性，这样即使建立的模 型由于种种原因尚未达到实用的程度，对 问题的研究也是有利的。
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模型的技艺性 建模的方法与其他一些 数学方法如方程解法、规划解法等是根本 不同的，无法归纳出若干条普遍适用的建 模准则和技巧。有人说，建模目前与其说 是一门技术，不如说是一种艺术，是技艺 性很强的技巧。经验、想象力、洞察力、 判断力以及直觉、灵感等在建模过程中起 的作用往往比一些具体的数学知识更大。
第二，由于人们认识能力和科学技术 包括数学本身发展水平的限制，还有不少 实际问题很难得到有着实用价值的数学模 型。
第三，还有些领域中的问题今天尚未 发展到用建模方法寻求数量规律的阶段。
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在详细分析了建立数学模型的全过程 的数学模型的特点以后，我们看到用建模 方法解决实际问题，首先是用数学语言表 述问题即构造模型，其次才是用数学工具 求解构成的模型。用数学语言表述问题， 包括模型假设、模型构造等，除了要有广 博的知识（包括数学知识和各种实际知识） 和足够的经验之外，特别需要丰富的想象 力和敏锐的洞察力。
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模型假设 根据对象的特征和建模的 目的，对问题进行必要的、合理的简化， 用精确的语言作出假设，可以说是建模的 关键一步。一般地说，一个实际问题不经 过简化假设，就很难翻译成数学问题，即 使可能，也很难求解。不同的简化假设会 得到不同的模型。
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假设作得不合理或过份简单，会导 致模型失败或部分失败，于是应该修改 和补充假设；假设作得过分详细，试图 把复杂对象的各方面因素都考虑进去， 可能使你很难甚至无法继续下一步的工 作。
如果对象的内部机理基本上不掌握， 模型也不用于分析内部特性，譬如仅用来 作输出预报，则可以系统辨识方法为主。 系统辨识是一门专门学科，需要一定的控 制理论和随机过程方面的知识。以下所谓 建模方法只指机理分析。
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建模要经过哪些步骤并没有一定的 模式，通常与实际问题的性质、建模的目 的等有关，从1.2~1.4节的几个例子也可 以看出这点。下面给出建模的一般步骤， 如下图所示。
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模型应用 应用的方式自然取决 于问题的性质和建模的目的，这方面 的内容不是本书讨论的范围。
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应当指出，并不是所有建模过 程都要经过这些步骤，有时各步骤 之间的界限也不那么分明。建模时 不应拘泥于形式上的按部就班，本 书的建模实例就采取了灵活的表达 方式。
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通常，作假设的依据，一是出于对问 题内在规律的认识，二是来自对数据或现 象的分析，也可以是二者的综合。作假设 时既要运用与问题相关的物理、化学、生 物、经济等方面的知识，又要充分发挥想 象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的 主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因 素，尽量将问题线性化、均匀化。经验在 这里也常起重要作用。
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可以看出，用上面的哪一类方法建 模主要是根据我们对研究对象的了解程 度和建模目的决定的。如果掌握了机理 方面的一定知识，模型也要求具有反映 内部特性的物理意义，那么应该以机理 分析方法为主。当然，若需要模型参数 的具体数值，还可以用系统辨识或其他 统计方法得到。
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类比方法和理想化方法是建模中常用 的方法，它们的运用与想象力、洞察力有 密切关系。
类比法注意到研究对象与已熟悉的另 一对象具有某些共性，比较二者相似之处 以获得对研究对象的新认识。选择什么对 象进行类比，比较哪些相似的属性，在一 定程度上是靠想象进行的。将交通流与水 流比来建立交通流模型是这方面的例子。
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1.7 数学模型的分类
数学模型可以按照不同的方式分类， 下面介绍常用的几种。