1 1 a . 1 u 1
(7.6)
令
y ( x(0) (2), x(0) (3), , x(0) ( N ))T .
这里，T表示转置.令
7.2 灰色系统的模型
(1) (1) 1 [ x (2) x (1)] 1 2 1 (1) (1) 1 a 2 [ x (3) x (2)] , U , u 1 (1) (1) 2 [ x ( N ) x ( N 1)] 1
灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、预测、决 策和控制的理论.灰色预测是对灰色系统所做的预测.目前 常用的一些预测方法（如回归分析等），需要较大的样本. 若样本较小，常造成较大误差，使预测目标失效.灰色预
测模型所需建模信息少，运算方便，建模精度高，在各种
预测领域都有着广泛的应用，是处理小样本预测问题的有 效工具. 缺点：不考虑系统内在机理，有时会出现较大的错误。 因此，对于内在机理明确的系统，一般不建议使用灰色 预测模型。
1. 灰色系统的定义
灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信 息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极端， 我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称信息完全 确定的系统为白色系统.区别白色系统与黑色系统的重要
标志是系统各因素之间是否具有确定的关系。
2. 灰色系统的特点
（1）用灰色数学处理不确定量，使之量化. （2）充分利用已知信息寻求系统的运动规律. （3）灰色系统理论能处理贫信息系统.
于是，由式（7.3）有
7.2 灰色系统的模型
把 ax
(1)
(i) 项移到右边，并写成向量的数量积形式
(0) a (1) x (2) [ x (2), 1] u a (0) (1) x (3) [ x (3), 1] u (0) a (1) x ( N ) [ x ( N ), 1] u
u a (t t0 ) u (1) x (t ) x (t0 ) e . a a
(1)
对等间隔取样的离散值 (注意到 t0 1）则为
u ak u x (k 1) [ x (1) ]e . a a
(1) (1)
(7.4)
灰色建模的途径是一次累加序列（7.2）通过最小二乘法来 估计常数a与u.
(7.8)
当k
(1) ˆ x 由(7.8)式算得的 (k 1) 是拟合值； 1, 2,, N 1时，
ˆ (1) (k 1) 为预报值.这是相对于一次累加序列 当k N时，x
x (1) 的拟合值，用后减运算还原， 当k 1, 2,, N 1时，
就可得原始序列 x
(0)
当k N时， ˆ (0) (k 1)； 的拟合值 x
针对2009年D题来做预测：
不难的到本届发来的回执为755份，通过前四届的情况计 算缺席率和未知与会率如下： 未知与会率=未发回执但参加会议人数/发来回执的代表数量 缺席率=发来回执但未参加人数/发来回执的代表数量
第一届 缺席率 未知与会率 0.28254 0.18095 第二届 0.32303 0.19382 第三届 0.29657 0.18382 第四届 0.29958 0.14627
7.2 灰色系统的模型
4.GM(1,1)的建模步骤
综上所述，GM(1,1)的建模步骤如下：
注： 在进行数据叠加之前，为了消除数据的波动变化，减少数据 的随机性以及调整数据的变化态势，要对原式数据进行预处理。 预处理的方式一般有以下几种：
开n次方（n根据经验选取）；
数据取对数；
数据平滑；（一般为三点平滑） 运用序列算子弱化或者强化原始数据列等。
7.2 灰色系统的模型
因 x (1) (1) 留作初值用，故将 x(1) (2), x(1) (3),..., x(1) ( N ) 分别代入方程(7.3),
t (t 1) t 1, 故得 用差分代替微分，又因等间隔取样，
x(1) (2) x(1) (2) x(1) (2) x (1) (1) x (0) (2), t
可得原始序列 x ( 0 ) 预报值.
7.2 灰色系统的模型
3.精度检验
(1)残差检验：分别计算
7.2 灰色系统的模型
（3）预测精度等级对照表，见表7.1.
7.2 灰色系统的模型
由于模型是基于一阶常微分方程（7.3）建立的，故称为 一阶一元灰色模型，记为GM(1,1).须指出的是， 建模时 先要作一次累加，因此要求原始数据均为非负数.否则， 累加时会正负抵消，达不到使数据序列随时间递增的目的. 如果实际问题的原始数据列出现负数，可对原始数据列进 行“数据整体提升”处理. 注意到一阶常微分方程是导出GM(1,1)模型的桥梁，在我 们应用GM(1,1)模型于实际问题预测时，不必求解一阶常 微分方程（7.3）.
附表3 以往几届会议代表回执和与会情况
第一届 发来回执的代表数量 发来回执但未与会的代表数 量 未发回执而与会的代表数量 315 89 57
第二届 356 115 69
第三届 408 121 75
第四届 711 213 104
每年的与会人数和年份之间没有太多的内在联系，因此可以 看做一个灰色系统！！！！
(7.5)
(i ) x (i) 替换为 取前后两个时刻的平均代替更为合理，即将
x (1) (1) (1) 由于 x 的两个时刻的值，因此， (i) t 涉及到累加列 x
7.2 灰色系统的模型
1 (i ) [ x (i ) x (i ) (i 1)], (i 2,3,..., N ). 2
类似地有
x(1) (3) x(1) ( N ) (0) x (3),..., x(0) ( N ). t t
(0) (1) ì ï x (2) + ax (2) = u, ï ï ï (0) (1) ï x (3) + ax (3) = u, ï ï í ï .............................. ï ï ï (0) (1) ï x ( N ) + ax (N ) = u . ï ï î
则(7.6)式的矩阵形式为
y BU
(7.6)’
方程组(7.6)’的最小二乘估计为
ˆ a T 1 T ˆ U ( B B) B y ˆ u
(7.7)
7.2 灰色系统的模型
ˆ与u ˆ 代入（7.4）式得时间响应方程 把估计值 a
ˆ ak ˆ u u (1) ˆ (1) ˆ x (k 1) x (1) e ˆ ˆ a a
灰色系统的模型
通过下面的数据分析、处理过程，我们将了解到，有 了一个时间数据序列后，如何建立一个基于模型的灰色 预测。 1. 数据的预处理 首先我们从一个简单例子来考察问题. 【例1】 设原始数据序列
x(0) {x(0) (1), x(0) (2), , x(0) ( N ) } {6, 3, 8, 10, 7}
7.2 灰色系统的模型
图7.1
图7.2
为了把累加数据列还原为原始数列，需进行后减运算 或称相减生成，它是指后前两个数据之差，如上例中
7.2 灰色系统的模型
x (1) (5) x (1) (5) x (1) (4) 34 27 7， x (4) x (4) x (3) 27 17 10，
2012年暑期建模培训
灰色预测模型及其应用
灰色预测模型（Gray Forecast Model）是通过少量 的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的 一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决
实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题
的决策时，都必须对未来进行科学的预测. 预测 是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助 于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描 述和分析，并形成科学的假设和判断.
7.2 灰色系统的模型
对数据累加
x (1) (1) x (0) (1) 6， x (1) (2) x (0) (1) x (0) (2) 6 3 9， x (1) (3) x (0) (1) x (0) (2) x (0) (3) 6 3+8 17， x (1) (4) x (0) (1) x (0) (2) x (0) (3) x (0) (4) 6 3+8+10 27， x (1) (5) x (0) (1) x (0) (2) x (0) (3) x (0) (4) x (0) (5) 6 3+8+10+7 34.
本届会议代表的回执中有关住宿要求信息 要求 男 女 合住1 154 78 合住2 104 48 合住3 32 17 独住1 107 59 独住2 68 28 独住3 41 19
说明：表头第一行中的数字1、2、3分别指每天每间120~160元、 161~200元、201~300元三种不同价格的房间。合住是指要求两人合 住一间。独住是指可安排单人间，或一人单独住一个双人间。
x (1) (i) x(1) (i) x (1) (i 1) x (0) (i)
其中
i 1, 2,..., N，x (0) 0.
(0)
7.2 灰色系统的模型
2. 建模原理 给定观测数据列
x (0) {x (0) (1), x (0) (2), , x (0) ( N ) }
于是得到一个新数据序列
x {6, 9,17, 27, 34}
(1)
7.2 灰色系统的模型
归纳上面的式子可写为 i
j 1
x(1) （i） { x(0) ( j ) i 1, 2, N}