数学模型与数学实验数课程报告题目：灰色预测模型介绍专业：班级：姓名：学号：二0一一年六月1. 模型功能介绍预测模型为一元线性回归模型，计算公式为Y=a+b。

一元非线性回归模型：Y=a+blx+b2x2+…+bmxm。

式中：y为预测值；x为自变量的取值；a,b1,b2……bm为回归系数。

当自变量x与因变量y之间的关系是直线上升或下降时，可采用一元线性预测模型进行预测。

当自变量x和因变量y之间呈曲线上升或下降时，可采用一元非线性预测模型中的y=a+b1x+b2x2+…+bmxm这个预测模型。

当自变量x和因变量y之间关系呈上升一下降一再上升一再下降这种重复关系时，可采用一元线性预测模型中的Y=a+bx这个模型来预测。

其中我要在这里介绍灰色预测模型。

灰色预测是就灰色系统所做的预测，灰色系统(Grey System)理论[]1是我国著名学者邓聚龙教授20世纪80年代初创立的一种兼备软硬科学特性的新理论［95］96］。

所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。

一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。

例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。

灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。

尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。

灰色系统的基本原理公理1：差异信息原理。

“差异”是信息，凡信息必有差异。

公理2：解的非唯一性原理。

信息不完全，不明确地解是非唯一的。

公理3：最少信息原理。

灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。

公理4：认知根据原理。

信息是认知的根据。

公理5：新信息优先原理。

新信息对认知的作用大于老信息。

公理6：灰性不灭原理。

“信息不完全”是绝对的。

灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。

其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。

灰色预测模型实际上是一个微分方程, 称为GM模型。

GM（1，N）[]1表示1阶的，N个变量的微分方程型模型；则是1阶的,1个变量的微分方程型模型。

在实际进行预测时, 一般选用GM(1,1) 模型, 因为这种模型求解较易, 计算量小, 计算时间短, 精度较高。

现在下面简单介绍有关于灰色预测的相关知识点：为了弱化原始时间序列的随机性在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。

灰色系统常用的数据处理方式有累加和累减两种。

关联度]1[1、关联系数GM（1，1）[]1模型的建立(1)、设时间序列有n个观察值，，通过累加生成新序列，则GM（1，1）模型相应的微分方程为：其中：α称为发展灰数；μ称为内生控制灰数。

(2)、设为待估参数向量，，可利用最小二乘法求解。

解得：求解微分方程，即可得预测模型：，(3)、模型检验灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后验差检验。

GM （n ，h ）]1[模型(1)、残差模型：若用原始经济时间序列建立的GM （1，1）模型检验不合格或精度不理想时，要对建立的GM （1，1）模型进行残差修正或提高模型的预测精度。

修正的方法是建立GM （1，1）的残差模型。

(2)、GM （n ，h ）模型GM （n ，h ）模型是微分方程模型，可用于对描述对象作长期、连续、动态的反映。

从原则上讲，某一灰色系统无论内部机制如何，只要能将该系统原始表征量表示为时间序列，并有， （N 表数自然数集），即可用GM 模型对系统进行描述。

2．常用模型[]22.1常用模型1——数列预测模型数列预测就是对某一指标的发展变化情况所作的预测，其预测的结果是该指标在未来各个时刻的具体数值。

譬如，在地理学研究中，人口数量预测、耕地面积预测、粮食产量预测、工农业总产值预测，等等，都是数列预测。

数列预测的基础，是基于累加生成数列的GM(1，1)模型。

设(0)(0)(0)(1),(2),,()x x x M 是所要预测的某项指标的原始数据。

一般而言，(0){()}1M t x t =是一个不平稳的随机数列，对于这样一个随机数列，如果数据趋势无规律可循，则无法用回归预测法对其进行预测。

如果对(0){()}1M t x t =作依次累加生成处理，即(1)(0)(1)(1)x x =x (1)(2)=x (0)(1)+x (0)(2)x (1)(3)=x (0)(1)+x (0)(2)+x (0)(3)(1)(0)1(1)(0)1()()()()k t Mt x k x t x M x t ====∑∑则得到一个新的数列(1){()}1M t x t =。

这个数列与原始数列(0){()}1M t x t =相比较，其随机性程度大大弱化，平稳程度大大增加。

对于这样的新数列，其变化趋势可以近似地用如下微分方程描述：在(1)式中，a 和u 可以通过如下最小二乘法拟合得到：在(2)式中，Y M 为列向量Y M =[x (0)(2)，x (0)(3)，…，x (0)(M)]T；B 为构造数据矩阵： (1)(1)(1)(1)(1)(1)1/2(1)(2)11/2(2)(3)11/2(1)()1x x x x x M x M ⎡⎤⎡⎤-+⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎡⎤-+⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦⎣⎦微分方程(1)式所对应的时间响应函数为：(3)式就是数列预测的基础公式，由(3)式对一次累加生成数列的预测值(1)()x t 可以求得原始数的还原值：'(0)(1)(1)()()(1)(4)x t x t x t =--在（4）式中，t=1,2,…,M,并规定(1)(0)0x =。

原始数据的还原值与其观测值之间的残差值ε(0)(t)和相对误差值q(t)如下：(0)(0)(0)(0)(0)()()()(5)()()100%()t x t x t t q t x t εε'⎧=-⎪⎨=⨯⎪⎩对于预测公式(3)，我们所关心的问题是它的预测精度。

这一预测公式是否达到精度要求，可按下述方法进行精度检验。

首先计算：其次计算：方差比c=s 2/s 1 及小误差概率：(0)(0)1{|()|0.6745}P t s εε-<一般地，预测公式(3)的精度检验可由表10-2给出。

如果p 和c 都在允许范围之内，则可以计算预测值。

否则，需要通过对残差序列(0){()}2M t t ε=的分析对(3)式进行修正，灰色预测常用的修正方法有残差序列建模法和周斯分析法两种。

2.2常用模型2——灾变预测模型一般地，如果表征系统行为特征的指标超出了某个阈值(临界值)，则称发生了灾害。

因此，所谓灾变是相对于所研究的问题的表征变量而言的。

是否发生灾变要依据有关的表征变量的数值大小而定。

譬如，旱灾和涝灾是相对于农作物生长过程中，作物需水与大气降水的差值大小而言的。

如果以降水量作为旱涝灾害标征指标，则只有当降水量小于(或大于)某一阈值时，才认为发生了旱(或涝)灾。

灾变预测就是指对灾变发生的年份的预测。

对于表征系统行为的指标数列：{x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(N)} (7)规定一个灾变阈值ξ，x(0)(i)中那些≤ξ(或≥ξ)的点被认为是具有异常值的点(灾变发生点)，把它们按原来的编序挑选出来组成一个新的数据序列0(0)(0)'=≤（8）{()}{()|()}x i x q x qξ则式(8)称之为下限(或上限)灾变数列。

作灾变映射p∶{i′}→{q} (9) 则灾变预测就是按灾变日期序列p={p(1′)，p(2′)，…，p(n′)} (10) 建立GM(1，1)预测模型所进行的灾变日期预测。

譬如，某地区连续17年的降水量数据如表10-4所示。

若规定降水量ξ≤320mm的年份为旱灾年份，试用灾变预测法预测下次旱灾发生的年份。

表1-1 某地区年降水量(单位：mm)(1)首先作灾变映射，建立GM(1，1)模型。

作映射p∶{i′}→{q}对灾变日期序列p={p(1′)，p(2′)，p(3′)，p(4′)，p(5′)}={3，8，10，14，17}建立GM(1，1)模型为了书写方便，不妨将p(i′)记为p(i)(i=1，2，3，4，5)将p中的数据作一次累加处理：p(1)(1)=p(1)=3p(1)(2)=p(1)+p(2)=11p(1)(3)=p(1)+p(2)+p(3)=21p(1)(4)=p(1)+p(2)+p(3)+p(4)=35p(1)(5)=p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)=52p(1)(t)可用下述微分方程拟合：而系统辨识参数为(12)式中：因此(5)式就为：(13)式的时间响应为：p(1)(i+1)=27.677e-0.25361i-24.677 (14)(2)误差分析：灾变日期数列的预测计算值与实际值的相对误差计算如下：计算值实际值相对误差p(2)=7.999 p(2)=8 q(2)=0.125％p(3)=10.286 p(3)=10 q(3)=-2.86％p(4)=13.268 p(4)=14 q(4)=5.1％p(5)=17.099 p(5)=17 q(5)=-0.582％显然，最大相对误差为5.1％。

所以上述模型(14)式可用于预测。

(3)预测：将i=5，和i=6分别代入(14)式得：p (1)(5)=51.662，p (1)(6)=73.342因此：p(6)=p (1)(6)-p (1)(5)=21.68由于从n=17算起，21.68与17之差为4.68，所以从现在算起将在4年左右发生下一次旱灾。

2.3常用模型3——系统预测模型]3[灰色系统是指部分信息未知、部分信息已知的系统。

灰色系统理论所要考察的是对信息不完备的系统,通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的,研究的是信息不完全的对象,内涵不确定的概念,关系不明确的机制。

按其具体对象而言,可分为工程技术系统、农业系统、生态系统、社会系统等,除工程技术系统外其余系统称为本征性系统。

灰色系统理论就是研究本征性灰色系统的量化问题,即研究系统的建模、预测、分析、决策和控制。

用灰色系统模型进行预测的步骤如下。