当前位置:文档之家› 中考数学专题复习圆的综合的综合题

中考数学专题复习圆的综合的综合题

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,点P在⊙O的直径AB的延长线上,PC为⊙O的切线,点C为切点,连接AC,过点A作PC的垂线,点D为垂足,AD交⊙O于点E.(1)如图1,求证:∠DAC=∠PAC;(2)如图2,点F(与点C位于直径AB两侧)在⊙O上,BF FA=,连接EF,过点F作AD 的平行线交PC于点G,求证:FG=DE+DG;(3)在(2)的条件下,如图3,若AE=23DG,PO=5,求EF的长.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)EF=32.【解析】【分析】(1)连接OC,求出OC∥AD,求出OC⊥PC,根据切线的判定推出即可;(2)连接BE交GF于H,连接OH,求出四边形HGDE是矩形,求出DE=HG,FH=EH,即可得出答案;(3)设OC交HE于M,连接OE、OF,求出∠FHO=∠EHO=45°,根据矩形的性质得出EH∥DG,求出OM=12AE,设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE=23DG,DG=3a,求出ME=CD=2a,BM=2a,解直角三角形得出tan∠MBO=12MOBM=,tanP=12COPO=,设OC=k,则PC=2k,根据OP=5k=5求出k=5,根据勾股定理求出a,即可求出答案.【详解】(1)证明:连接OC,∵PC为⊙O的切线,∴OC⊥PC,∵AD⊥PC,∴OC∥AD,∴∠OCA=∠DAC,∵OC=OA,∴∠PAC=∠OCA,∴∠DAC=∠PAC;(2)证明:连接BE交GF于H,连接OH,∵FG∥AD,∴∠FGD+∠D=180°,∵∠D=90°,∴∠FGD=90°,∵AB为⊙O的直径,∴∠BEA=90°,∴∠BED=90°,∴∠D=∠HGD=∠BED=90°,∴四边形HGDE是矩形,∴DE=GH,DG=HE,∠GHE=90°,∵BF AF=,∴∠HEF=∠FEA=12∠BEA=1902o⨯=45°,∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°,∴∠HEF=∠HFE,∴FH=EH,∴FG=FH+GH=DE+DG;(3)解:设OC交HE于M,连接OE、OF,∵EH=HF,OE=OF,HO=HO,∴△FHO≌△EHO,∴∠FHO=∠EHO=45°,∵四边形GHED是矩形,∴EH∥DG,∴∠OMH=∠OCP=90°,∴∠HOM=90°﹣∠OHM=90°﹣45°=45°,∴∠HOM=∠OHM,∴HM=MO,∵OM⊥BE,∴BM=ME,∴OM=12 AE,设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE=23DG,DG=3a,∵∠HGC=∠GCM=∠GHE=90°,∴四边形GHMC是矩形,∴GC=HM=a,DC=DG﹣GC=2a,∵DG=HE,GC=HM,∴ME=CD=2a,BM=2a,在Rt△BOM中,tan∠MBO=122 MO aBM a==,∵EH∥DP,∴∠P=∠MBO,tanP=12 COPO=,设OC=k,则PC=2k,在Rt△POC中,,解得:在Rt△OME中,OM2+ME2=OE2,5a2=5,a=1,∴HE=3a=3,在Rt△HFE中,∠HEF=45°,∴.【点睛】考查了切线的性质,矩形的性质和判定,解直角三角形,勾股定理等知识点,能综合运用性质进行推理是解此题的关键.2.等腰Rt△ABC和⊙O如图放置,已知AB=BC=1,∠ABC=90°,⊙O的半径为1,圆心O 与直线AB的距离为5.(1)若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动,⊙O不动,则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切?(2)若两个图形同时向右移动,△ABC的速度为每秒2个单位,⊙O的速度为每秒1个单位,则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切?(3)若两个图形同时向右移动,△ABC的速度为每秒2个单位,⊙O的速度为每秒1个单位,同时△ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大.△ABC的边与圆第一次相切时,点B运动了多少距离?【答案】(1)522-;(2)52-;(3)20423-【解析】分析:(1)分析易得,第一次相切时,与斜边相切,假设此时,△ABC移至△A′B′C′处,A′C′与⊙O切于点E,连OE并延长,交B′C′于F.由切线长定理易得CC′的长,进而由三角形运动的速度可得答案;(2)设运动的时间为t秒,根据题意得:CC′=2t,DD′=t,则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t,由第(1)的结论列式得出结果;(3)求出相切的时间,进而得出B点移动的距离.详解:(1)假设第一次相切时,△ABC移至△A′B′C′处,如图1,A′C′与⊙O切于点E,连接OE并延长,交B′C′于F,设⊙O与直线l切于点D,连接OD,则OE⊥A′C′,OD⊥直线l,由切线长定理可知C′E=C′D,设C′D=x,则C′E=x,∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠A=∠ACB=45°,∴∠A′C′B′=∠ACB=45°,∴△EFC′是等腰直角三角形,∴2x,∠OFD=45°,∴△OFD也是等腰直角三角形,∴OD=DF,∴2x+x=1,则2-1,∴CC′=BD -BC-C′D=5-1-(2-1)=5-2, ∴点C 运动的时间为522-; 则经过522-秒,△ABC 的边与圆第一次相切; (2)如图2,设经过t 秒△ABC 的边与圆第一次相切,△ABC 移至△A′B′C′处,⊙O 与BC 所在直线的切点D 移至D′处,A′C′与⊙O 切于点E ,连OE 并延长,交B′C′于F ,∵CC′=2t ,DD′=t ,∴C′D′=CD+DD′-CC′=4+t -2t=4-t ,由切线长定理得C′E=C′D′=4-t ,由(1)得:4-t=2-1,解得:t=5-2,答:经过5-2秒△ABC 的边与圆第一次相切;(3)由(2)得CC′=(2+0.5)t=2.5t ,DD′=t ,则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2.5t=4-1.5t ,由切线长定理得C′E=C′D′=4-1.5t ,由(1)得:4-1.5t=2-1,解得:t=10223-, ∴点B 运动的距离为2×1022-=2042-.点睛:本题要求学生熟练掌握圆与直线的位置关系,并结合动点问题进行综合分析,比较复杂,难度较大,考查了学生数形结合的分析能力.3.如图,AB,BC分别是⊙O的直径和弦,点D为BC上一点,弦DE交⊙O于点E,交AB于点F,交BC于点G,过点C的切线交ED的延长线于H,且HC=HG,连接BH,交⊙O 于点M,连接MD,ME.求证:(1)DE⊥AB;(2)∠HMD=∠MHE+∠MEH.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】分析:(1)连接OC,根据等边对等角和切线的性质,证明∠BFG=∠OCH=90°即可;(2)连接BE,根据垂径定理和圆内接四边形的性质,得出∠HMD=∠BME,再根据三角形的外角的性质证明∠HMD=∠DEB=∠EMB即可.详解:证明:(1)连接OC,∵HC=HG,∴∠HCG=∠HGC;∵HC切⊙O于C点,∴∠OCB+∠HCG=90°;∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC,∵∠HGC=∠BGF,∴∠OBC+∠BGF=90°,∴∠BFG=90°,即DE⊥AB;(2)连接BE,由(1)知DE⊥AB,∵AB是⊙O的直径,∴,∴∠BED=∠BME;∵四边形BMDE内接于⊙O,∴∠HMD=∠BED,∴∠HMD=∠BME;∵∠BME是△HEM的外角,∴∠BME=∠MHE+∠MEH,∴∠HMD=∠MHE+∠MEH.点睛:此题综合性较强,主要考查了切线的性质、三角形的内角和外角的性质、等腰三角形的性质、内接四边形的性质.4.四边形ABCD内接于⊙O,点E为AD上一点,连接AC,CB,∠B=∠AEC.(1)如图1,求证:CE=CD;(2)如图2,若∠B+∠CAE=120°,∠ACD=2∠BAC,求∠BAD的度数;(3)如图3,在(2)的条件下,延长CE交⊙O于点G,若tan∠BAC= 53,EG=2,求AE的长.【答案】(1)见解析;(2)60°;(3)7.【解析】试题分析:(1)利用圆的内接四边形定理得到∠CED=∠CDE.(2) 作CH⊥DE于H, 设∠ECH=α,由(1)CE=CD,用α表示∠CAE,∠BAC,而∠BAD=∠BAC+∠CAE.(3)连接AG,作GN⊥AC,AM⊥EG,先证明∠CAG=∠BAC,设NG=53m,可得AN=11m,利用直角AGM,AEM,勾股定理可以算出m的值并求出AE长.试题解析:(1)解:证明:∵四边形ABCD内接于⊙O.∴∠B+∠D=180°,∵∠B=∠AEC,∴∠AEC+∠D=180°,∵∠AEC+∠CED=180°,∴∠D=∠CED,∴CE=CD.(2)解:作CH⊥DE于H.设∠ECH=α,由(1)CE=CD,∴∠ECD=2α,∵∠B=∠AEC,∠B+∠CAE=120°,∴∠CAE+∠AEC=120°,∴∠ACE=180°﹣∠AEC﹣∠ACE=60°,∴∠CAE=90°﹣∠ACH=90°﹣(60°+α)=30°﹣α,∠ACD=∠ACH+∠HCD=60°+2α,∵∠ACD=2∠BAC,∴∠BAC=30°+α,∴∠BAD=∠BAC+∠CAE=30°+α+30°﹣α=60°.(3)解:连接AG,作GN⊥AC,AM⊥EG,∵∠CED =∠AEG ,∠CDE =∠AGE ,∠CED =∠CDE ,∴∠AEG =∠AGE ,∴AE =AG ,∴EM=MG =12EG =1, ∴∠EAG =∠ECD =2α,∴∠CAG =∠CAD +∠DAG =30°﹣α+2α=∠BAC ,∵tan ∠BAC =5311, ∴设NG=53m ,可得AN =11m ,AG =22AG AM -=14m , ∵∠ACG =60°,∴CN=5m ,AM =83m ,MG =22AG AM -=2m =1, ∴m =12, ∴CE=CD =CG ﹣EG =10m ﹣2=3, ∴AE =22AM EM +=221+43()=7.5.如图,在Rt △ABC 中,90C ∠=︒,AD 平分∠BAC ,交BC 于点D ,点O 在AB 上,⊙O 经过A 、D 两点,交AC 于点E ,交AB 于点F .(1)求证:BC 是⊙O 的切线;(2)若⊙O 的半径是2cm ,E 是弧AD 的中点,求阴影部分的面积(结果保留π和根号)【答案】(1)证明见解析 (2)233π【解析】【分析】 (1)连接OD ,只要证明OD ∥AC 即可解决问题;(2)连接OE ,OE 交AD 于K .只要证明△AOE 是等边三角形即可解决问题.【详解】(1)连接OD .∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.∵∠OAD=∠DAC,∴∠ODA=∠DAC,∴OD∥AC,∴∠ODB=∠C=90°,∴OD⊥BC,∴BC是⊙O的切线.(2)连接OE,OE交AD于K.∵AE DE=,∴OE⊥AD.∵∠OAK=∠EAK,AK=AK,∠AKO=∠AKE=90°,∴△AKO≌△AKE,∴AO=AE=OE,∴△AOE是等边三角形,∴∠AOE=60°,∴S阴=S扇形OAE﹣S△AOE26023360π⋅⋅=-⨯22233π=-.【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.6.如图,AB是圆O的直径,O为圆心,AD、BD是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD.延长PD 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为⊙O的切线,并说明理由;(2)如果∠BED=60°,PD=3,求PA的长;(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF,点F正好在圆O上,如图2,求证:四边形DFBE为菱形.【答案】(1)证明见解析;(2)1;(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)连接OD,由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°,进而求得∠ADO+∠PDA=90°,即可得出直线PD为⊙O的切线;(2)根据BE是⊙O的切线,则∠EBA=90°,即可求得∠P=30°,再由PD为⊙O的切线,得∠PDO=90°,根据三角函数的定义求得OD,由勾股定理得OP,即可得出PA;(3)根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF,由AB是圆O的直径,得∠ADB=90°,设∠PBD=x°,则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°,∠DBF=2x°,由圆内接四边形的性质得出x 的值,可得出△BDE是等边三角形.进而证出四边形DFBE为菱形.【详解】(1)直线PD为⊙O的切线,理由如下:如图1,连接OD,∵AB是圆O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠ADO+∠BDO=90°,又∵DO=BO,∴∠BDO=∠PBD,∵∠PDA=∠PBD,∴∠BDO=∠PDA,∴∠ADO+∠PDA=90°,即PD⊥OD,∵点D在⊙O上,∴直线PD为⊙O的切线;(2)∵BE是⊙O的切线,∴∠EBA=90°,∵∠BED=60°,∴∠P=30°,∵PD为⊙O的切线,∴∠PDO=90°,在Rt△PDO中,∠P=30°,3∴0 tan30ODPD=,解得OD=1,∴22PO PD OD+,∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1;(3)如图2,依题意得:∠ADF=∠PDA,∠PAD=∠DAF,∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF,∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF,∵AB是圆O的直径,∴∠ADB=90°,设∠PBD=x°,则∠DAF=∠PAD=90°+x°,∠DBF=2x°,∵四边形AFBD内接于⊙O,∴∠DAF+∠DBF=180°,即90°+x+2x=180°,解得x=30°,∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°,∵BE、ED是⊙O的切线,∴DE=BE,∠EBA=90°,∴∠DBE=60°,∴△BDE是等边三角形,∴BD=DE=BE,又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°,∴△BDF是等边三角形,∴BD=DF=BF,∴DE=BE=DF=BF,∴四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目,考查了切线的判定和性质,圆周角定理和菱形的性质,是中档题,难度较大.7.如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上一点,点F在射线CM上,∠AEF=90°,AE=EF,过点F作射线BC的垂线,垂足为H,连接AC.(1) 试判断BE与FH的数量关系,并说明理由;(2) 求证:∠ACF=90°;(3) 连接AF,过A,E,F三点作圆,如图2. 若EC=4,∠CEF=15°,求的长.图1 图2【答案】(1)BE="FH" ;理由见解析(2)证明见解析(3)=2π【解析】试题分析:(1)由△ABE≌△EHF(SAS)即可得到BE=FH(2)由(1)可知AB=EH,而BC=AB,FH=EB,从而可知△FHC是等腰直角三角形,∠FCH 为45°,而∠ACB也为45°,从而可证明(3)由已知可知∠EAC=30°,AF是直径,设圆心为O,连接EO,过点E作EN⊥AC于点N,则可得△ECN为等腰直角三角形,从而可得EN的长,进而可得AE的长,得到半径,得到所对圆心角的度数,从而求得弧长试题解析:(1)BE=FH.理由如下:∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90°,∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°又∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°∴∠HEF=∠BAE ∴∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF∴△ABE≌△EHF(SAS)∴BE=FH(2)∵△ABE≌△EHF∴BC=EH,BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH"∴CH=FH∴∠FCH=45°,∴∠FCM=45°∵AC是正方形对角线,∴∠ACD=45°∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°(3)∵AE=EF,∴△AEF是等腰直角三角形△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上.设该中点为O.连结EO得∠AOE=90°过E作EN⊥AC于点NRt△ENC中,EC=4,∠ECA=45°,∴EN=NC=Rt△ENA中,EN =又∵∠EAF=45°∠CAF=∠CEF=15°(等弧对等角)∴∠EAC=30°∴AE=Rt△AFE中,AE== EF,∴AF=8AE 所在的圆O 半径为4,其所对的圆心角为∠AOE=90°=2π·4·(90°÷360°)=2π考点:1、正方形;2、等腰直角三角形;3、圆周角定理;4、三角函数8.如图,已知AB 是⊙O 的直径,P 是BA 延长线上一点,PC 切⊙O 于点C ,CD ⊥AB ,垂足为D .(1)求证:∠PCA =∠ABC ;(2)过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ,交CD 于点F ,交BC 于点M ,若∠CAB =2∠B ,CF =3,求阴影部分的面积.【答案】(1)详见解析;(2)633π-. 【解析】【分析】(1)如图,连接OC ,利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得∠PCA=∠OCB ,利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.(2)先求出△OCA 是等边三角形,在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC 和CF=FM,然后分别求出AM 、AC 、MO 、CD 的值,分别求出0A E S ∆、BOE S 扇形 、ABM S ∆ 的值,利用0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形,然后通过计算即可解答.【详解】解:(1)证明:连接OC ,如图,∵PC 切⊙O 于点C ,∴OC ⊥PC,∴∠PCA+∠ACO=90º,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=∠ACO+OCB=90º∴∠PCA=∠OCB,∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,∴∠PCA=∠ABC ;(2)连接OE ,如图,∵△ACB 中,∠ACB =90º,∠CAB =2∠B,∴∠B =30º,∠CAB =60º,∴△OCA 是等边三角形,∵CD ⊥AB,∴∠ACD+∠CAD =∠CAD +∠ABC =90º,∴∠ACD =∠B =30º,∵PC ∥AE,∴∠PCA =∠CAE =30º,∴FC=FA,同理,CF =FM,∴AM =2CF=23,Rt △ACM 中,易得AC=23×3=3=OC, ∵∠B =∠CAE =30º,∴∠AOC=∠COE=60º,∴∠EOB=60º,∴∠EAB=∠ABC=30º,∴MA=MB,连接OM,EG ⊥AB 交AB 于G 点,如图所示,∵OA=OB,∴MO ⊥AB,∴MO =3∵△CDO ≌△EDO(AAS),∴332 ∴1332ABM S AB MO ∆=⨯= 同样,易求93AOE S ∆=, 260333602BOE S ππ⨯==扇形 ∴0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形933633332ππ-+-=. 【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力,综合性较强,有一定难度,熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.9.在平面直角坐标系xOy 中,对于点P 和图形W ,如果以P 为端点的任意一条射线与图形W最多只有一个公共点,那么称点P独立于图形W.(1)如图1,已知点A(-2,0),以原点O为圆心,OA长为半径画弧交x轴正半轴于点 B.在P1(0,4),P2(0,1),P3(0,-3),P4(4,0)这四个点中,独立于AB的点是;(2)如图2,已知点C(-3,0),D(0,3),E(3,0),点P是直线l:y=2x+8上的一个动点.若点P独立于折线CD-DE,求点P的横坐标x p的取值范围;(3)如图3,⊙H是以点H(0,4)为圆心,半径为1的圆.点T(0,t)在y轴上且t>-3,以点T为中心的正方形KLMN的顶点K的坐标为(0,t+3),将正方形KLMN在x轴及x轴上方的部分记为图形W.若⊙H上的所有点都独立于图形W,直接写出t的取值范围.【答案】(1)P2,P3;(2)x P<-5或x P>-53.(3)-3<t<2或2<t<2【解析】【分析】(1)根据点P独立于图形W的定义即可判断;(2)求出直线DE,直线CD与直线y=2x+8的交点坐标即可判断;(3)求出三种特殊位置时t的值,结合图象即可解决问题.【详解】(1)由题意可知:在P1(0,4),P2(0,1),P3(0,-3),P4(4,0)这四个点中,独立于AB的点是P2,P3.(2)∵C(-3,0),D(0,3),E(3,0),∴直线CD的解析式为y=x+3,直线DE的解析式为y=-x+3,由283y xy x+⎧⎨+⎩==,解得52xy-⎧⎨-⎩==,可得直线l与直线CD的交点的横坐标为-5,由283y xy x+⎧⎨-+⎩==,解得53143xy⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩==,可得直线l与直线DE的交点的横坐标为-53,∴满足条件的点P的横坐标x p的取值范围为:x P<-5或x P>-5.3(3)如图3-1中,当直线KN与⊙H相切于点E时,连接EH,则EH=EK=1,HK=2,∴OT=KT+HK-OH=3+2-4=2-1,∴T(0,1-2),此时t=1-2,∴当-3<t<1-2时,⊙H上的所有点都独立于图形W.如图3-2中,当线段KN与⊙H相切于点E时,连接EH.22∴T(0,22如图3-3中,当线段MN与⊙H相切于点E时,连接EH.OT=OM+TM=4-2+3=7-2,∴T(0,7-2),此时t=7-2,∴当1+2<t<7-2时,⊙H上的所有点都独立于图形W.综上所述,满足条件的t的值为-3<t<1-2或1+2<t<7-2.【点睛】本题属于圆综合题,考查了切线的性质,一次函数的应用,点P独立于图形W的定义等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,学会利用特殊位置解决实际问题.10.如图,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于C点,AC平分∠DAB.(1)求证:AD⊥CD;(2)若AD=2,AC=6,求⊙O的半径R的长.【答案】(1)证明见解析(2)3 2【解析】试题分析:(1)连接OC,由题意得OC⊥CD.又因为AC平分∠DAB,则∠1=∠2=12∠DAB.即可得出AD∥OC,则AD⊥CD;(2)连接BC ,则∠ACB =90°,可证明△ADC ∽△ACB .则2AD AC AC R=,从而求得R . 试题解析:(1)证明:连接OC ,∵直线CD 与⊙O 相切于C 点,AB 是⊙O 的直径, ∴OC ⊥CD .又∵AC 平分∠DAB ,∴∠1=∠2=12∠DAB . 又∠COB =2∠1=∠DAB ,∴AD ∥OC ,∴AD ⊥CD .(2)连接BC ,则∠ACB =90°,在△ADC 和△ACB 中∵∠1=∠2,∠3=∠ACB =90°,∴△ADC ∽△ACB .∴2AD AC AC R= ∴R =2322AC AD =。

相关主题