精选 . 二次函数中动点与特殊四边形综合问题解析与训练 一、知识准备： 抛物线与直线形的结合表形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊四边形，有以下常风的基本形式 （1）抛物线上的点能否构成平行四边形 （2）抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形 特殊四边形的性质与是解决这类问题的基础，而待定系数法，数形结合，分类讨论是解决这类问题的关键。

二、例题精析

㈠【抛物线上的点能否构成平行四边形】

例一、（2013河南）如图，抛物线2

yxbxc

与直线122yx交于,CD两点，其

中点C在y轴上，点D的坐标为7(3,)2。点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PEx轴于点E，交CD于点F.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以,,,OCPF为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。

【解答】（1）∵直线122yx经过点C,∴(0,2)C

∵抛物线2yxbxc

经过点(0,2)C，D

7(3,)

2精选 . ∴2

27273322cbbcc







∴抛物线的解析式为2722yxx

（2）∵点P的横坐标为m且在抛物线上 ∴271(,2),(,2)22PmmmFmm

∵PF∥CO，∴当PFCO时，以,,,OCPF为顶点的四边形是平行四边形 ① 当03m时，22712(2)322PFmmmmm ∴232mm，解得：121,2mm

即当1m或2时，四边形OCPF是平行四边形 ② 当3m时，2217(2)(2)322PFmmmmm

232mm，解得：12317317,22mm（舍去）

即当1

3172m时，四边形OCFP是平行四边形

练习1：（2013•盘锦）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），

与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF． （1）求抛物线的解析式； （2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；精选 . 考点： 二次函数综合题． 分析： （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）平行四边形的对边相等，因此EF=OD=2，据此列方程求出点P的坐标； 解答： 解：（1）∵点A（﹣1，0）、B（3，0）在抛物线y=ax2+bx+3上，

∴， 解得a=﹣1，b=2， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3．

（2）在抛物线解析式y=﹣x2+2x+3中，令x=0，得y=3，∴C（0，3）． 设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）坐标代入得： ， 解得k=﹣1，b=3， ∴y=﹣x+3．

设E点坐标为（x，﹣x2+2x+3），则P（x，0），F（x，﹣x+3），

∴EF=yE﹣yF=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x． ∵四边形ODEF是平行四边形， ∴EF=OD=2，

∴﹣x2+3x=2，即x2﹣3x+2=0， 解得x=1或x=2， ∴P点坐标为（1，0）或（2，0）．

点评： 本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、平行四边形的性质、中心对称的性质等知识点．第（3）问中，特别注意要充分利用平行四边形中心对称的性质，只要求出其对称中心的坐标，即可利用待定系数法求出所求直线的解析精选 . 式． 精选

. 练习2：已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边

形为平行四边形，求D点的坐标； (3)连接OA、AB，如图②，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

A A B B O O x x

y y

图① 图② 精选

. 练习3:（本题满分12分）如图，抛物线32bxaxy与y轴交于点C，与x轴交于A、B

两点，31tanOCA，6ABCS． （1）求点B的坐标； （2）求抛物线的解析式及顶点坐标；精选 . （3）设点E在x轴上，点F在抛物线上，如果A、C、E、F构成平行四边形，请写出点E的坐标（不必书写计算过程）．

答案：24、解：（1）∵ 32

bxaxy

∴C (0,3) ………………………………………………1分 又∵tan∠OCA=3

1

∴A（1，0）……………………………………………1分 又∵S△ABC=6 ∴632

1

AB

∴AB=4 …………………………………………………1分 ∴B（3，0）…………………………………………1分 （2）把A（1，0）、B（3，0）代入32

bxaxy得：

339030baba

…………………………………………1分

∴1a，2b ∴322

xxy……………………………………2分

∵4)1(2

xy

∴顶点坐标（1，4）………………………………1分 （3）①AC为平行四边形的一边时 E1析(1，0) ………………………………………1分

E2（27，0）………………………………1分

C A B O

y

x 精选

. E3（27，0）………………………………1分 ②AC为平行四边形的对角线时 E4（3，0）…………………………………………1分 练习4:（2011南宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B

（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t． （1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式． （2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积． （3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题；解一元二次方程－因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定．. 专题：压轴题；存在型． 分析： （1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可； （2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到

当t=﹣=32时，PM最长为=94，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可； 精选 . （3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当精选

. P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，

分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值． 解答： 解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得

解得，所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3． 设直线AB的解析式是y=kx+b， 把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得， 所以直线AB的解析式是y=x﹣3； （2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3）， 因为p在第四象限， 所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，

当t=﹣=32时，二次函数的最大值，即PM最长值为=94， 则S△ABM=S△BPM+S△APM==． （3）存在，理由如下： ∵PM∥OB， ∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形， ①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有94，所以不可能有PM=3． ②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P点的横坐标是； ③当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P点的横坐标是． 所以P点的横坐标是或．

㈡【抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形】