二次函数中动点与特殊四边形综合问题解析与训练一、知识准备:n物线与直线形的结合表形式之一是，以搪物线为载体，探时是否存在一些点，使其能构成某些特殊四边形，有以下常风的根本形式(1J搪物线上的点能否构成平行四边形〔2〕搪锄线上的点能否相成矩形，菱形，正方形(3)搪物线上的点能否成成梯形。

特珠四边形的性质与是解决这类问题的根底，而待定系数法，数形结合，分类时论是解决这类问题的关键二、二题精析(一)【抛物线上的点能否构成平行四边形】例一、如图，他枷线y = —/+公+。

与直线y = J%+2交于C,。

两点，其中点。

在丁轴上,7点。

的坐标为(3,—)。

点P是y轴右倒的抛物线上一就点，过点P作PEJ_x轴于点E,交2CD于点尸.(1)求槌物线的解析式；〔2〕假设点P的横坐标为机，当初为何值时，以O,C,P,尸为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。

〔3〕假设存在点P,使/PCF = 45。

，请直接写出相应的点P的坐标【解答】〔1〕∙.∙直线y = Jx+2经过点C,.∙.C(0,2)7∙.∙搪物线y = —炉+瓜+c经过点C(0,2), D (3,-)2 = c [ 7b =一/. 7 , ，〈 2—=—32 + 3/7 + c c〔2 〔。

= 27他物线的解析式为y = -∕+]χ+2〔2〕∙.∙点P的横坐标为团且在地物线上7 19.∙. P(m, 一"Γ + —m÷2), F(m, — m + 2)∙.∙p/〃 C。

，.•.当相=CO时，以。

,C,P,b为顶点的四边形是平行四边形7 1① 当0 v〃z<3 时，PF = -m2 + —m + 2-(-m + 2) = -m2 +3m2 2.∙. -m2 + 3/7? = 2 ,解得：m l=l,m2=2即当〃2 = 1或2时，四边形0。

尸是平行四边形1 7② 当m≥3 时，PF - (―m + 2)-(-m2 + — m + 2) = m2 -3m2 27 o _ ⅛tn ZB 3 + Jl 7 3 —∖∣17 r . ."r -3m= 2 ,解得：m1= ---,m, =--—〔舍去〕2-2即当叫二三普时，四边形OCFP是平行四边形〔3〕如图，当点P在。

上方且NPCF = 45。

时，Λ RIVΛΓ Λ Γ PM CNΔPMF^ΔF, .β. ------- =-------MF FN・•. PM = CM = 2CF.∙. PF = y∕5FM =y∕5CF = y∕5 ×-CN = -CN = -m2 2 2χ ∙∕ PF = -mr +3m /. -ιτr +3m = -m21 1 7解得：πt1 =-,叫=0〔舍去〕.∙. P{-, -) o2 2 223 13同理可以求得：另外一点为尸6 18（二）【掘物线上的点能否构成柜形，菱形，正方形】例二.〔2021•荆州〕如图，：如图①，直线y=-√5<+√⅛x轴、y轴分刖交于A、B两点，两动点D、E分别从A、B两点同时出发向0点运动〔运动到。

点停顿〕；对称轴过点A且顶点为M的抛物线y=a〔x-k”+h〔a<0〕始终经过点E,过E作EG//OA交棚物线于点G,交AB 于点F,连结DE、DF、AG、BG.设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和立个单位长度/秒，运动时间为t秒.〔1〕用含t代数式分刖表示BF、EF、AF的长；〔2〕当t为何值时,四2形ADEF是菱形？判断此时4AFG与4AGB是否相似,并说明理由；〔3〕当4ADF是直角三角形，且地物线的顶点M恰好在BG上时，求抛物线的解析式.国①图②考点：二次国数综合题分析：〔1〕首先求出一次函数y=-√⅛+近与坐标轴交点A、B的坐标，然后解宜角三角形求出BF、EF、AF的长；〔2〕由EF//AD,且EF=AD=t,那么四边形ADEF为平行四边形，假段口ADEF是菱形，那么DE=AD=t∙由DE=20E,列方程求出t的值；如笞图1所示，推出NBAG=NGAF, Z ABG=Z AGF=30o,证明4AFG与4AGB相似.〔3〕当4ADF是直角三角形时，有两抻情形，需要分类济论：①假设NADF=90。

，如答图2所示.首先求出此时t的值；其次求出点G的坐标，利用待定系数法求出直线BG的解析式，得到点M的坐标；最后利用顶点式和待定系数法求出地物线的解析式；②假设NAFD=90。

，如答图3所示.解髭思路与①一机解答：解：〔1〕在直线解析式y=-F×+正中，令χ=o,得卜近；令y=o,得χ=ι..".A [1, 0], B [0, √3), OA=1, OB=√3∙.∙.ta∩Z0AB=√3, ∕.Z0AB=60o ,.∙.AB=2OA=2.∙.∙EG∕∕OA, .∙.ZEFB=Z0AB=60o ..∙.EF=-—=2Z∣l=t, BF=2EF=2t,tan60° √3.".AF=AB-BF=2-2t.〔2〕①∙.∙EF∕∕AD,且EF=AD=t,四边形ADEF为平行四边形.假设。

ADEF是菱形，那么DE=AD=t由DE=20D,即：t=2 (1 - t ],解得t=23.∙.t=2时，四边形ADEF是菱形.3②此时4AFG与4AGB相似,理由如下：如笞图1所示，连接AE,y∙∙∙四边形ADEF是菱形，.∙.ZDEF=ZDAF=60o ,.∙.ZAEF=30o .由棚物线的对称性可知，AG=AE,.∙.ZAGF=ZAEF=30o .在Rt∆BEG 中，BE=2Z⅛ EG=2,3.∙.ta∩ZEBG=^=√3,BE.,.Z EBG=60° ,.∙.ZABG=ZEBG- ZEBF=30o .在4AFG 与4AGB 中，∙.∙∕BAG=NGAF, ZABG=ZAGF=30o , .,.∆AFG∞∆AGB.〔3〕当4ADF是直角三角形时，①假段NADF=90° ,如答图2所示:2.∙.BE=√⅛=立，OE=OB-BE=立，2 2.∙.E [0,爽X G〔2,爽\2 2设直线BG的解析式为y=kx+b,将B[0, √3), G〔2,立〕代人得:2 [b=√3rs λ∕3,解得k= - -, b=^/3,]2k+b 二号 4.,.y= -^χ+√3∙4令x=1,得y=Nβ,4.∙.M C1,”〕.4段地物线解析式为y=a〔x-1〕2+”，点E〔0,1〕在抛物线上，4 2:上a+型,解得a=-Yl2 4 4“一业"2+也一技+妇x+立.4 4 4 2 2②假段NAFD=90° ,如答图3 A示:.∙.BE=√3t=-^, OE=OB - BE=5.∙.E [0,爽∖ G 〔2, ＞〕.5 5 设直线BG 的解析式为y=kx+b, fb≡√3qγ庭,解得k=-2,2k+b=- 55.,.y= --^×+√3∙5令 χ=1,得 y=2√3, .∙.M [1,"].5 5设抛物线解析式为y 二a 〔x-1〕2+刍近，点E 〔0,立〕在抛物线上,5 5.∙.Yla+",解得 a=-"∙5 5 5 .∙.y= 〔X 一 1〕2+国③ ,⅛% 4√3χ+√3.5 5 5 5 5综上所述，符合条件的地物线的解析式为：y= —返&立χ+立或4 2 2y 一雪2+延χ+立.5 5 5点井：此题是中考压轴题，涉及二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相做三角形、解直角三角形、菱形等知识点.第〔3〕问中，有两抻情形存在，需要分 类甘论，防止漏解.（三）【掘物线上的点能否构成梯形】例三.（2021年XX 市）如图，在平面直角坐标系xθy 中，4OAB 的顶点A 的坐标为[10, 0],将 B 〔0, √3λ G 〔2, 土〕代人得:5b:遮，5顶点B在第一象限内，且∣A8卜3百，sinzOAB=-〔1〕假段点C是点B关于x轴的对称点，求经过0、C、A三点的抛物线的函数表达式；〔2〕在⑴中，抛物线上是否存在一点P,使以P、0、C、A为顶点的四边形冰梯形？假段存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由；〔3〕假设将点。

、点A分别变换为点Q〔-2k,0〕、点R〔5k, 0〕〔k>1的常数〕，设过Q、R两点，且以QR的垂宜平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N,其顶点为M,记4QNM的面积为SAQMN »^QNR的面积S AQN R ,求S AQM N• S AQNR的值•解：〔1〕如图，过点B作8DLQ4于点在Rt∕∖ABD中，v∣AB∣=3√5 , sin ZOAB =—,.∙. BD∖ =∣Λβ∣∙sin ZOAB= 3√5 × — = 3.又由勾股定理,得AD= y j∖ABf-∖BDf =7(3>∕5)2-32 =6..∙. OD∖ = ∖θA∖-∖AD∖= ↑0-6 = 4.・・•点5在第一象限内,・・・点3的坐标为(4,3).点5关于x轴对称的点。

的坐标为(4, —3).设经过0(0,0)，C(4,-3), A(10,0)三点的摭物线的函数表达式为y = ax^ + hx(a≠ 0).ι[16fl÷46 = -3 。

一8， 由〈 =＞《100β+ 10⅛ = 0 z 5 i b =——•4.∙.经过。

C, A 三点的抛物线的函数表达式为y 二 〔2〕假段在〔1〕中的抛物线上存在点P,使以P, ①♦.•点C(4,-3)不是抛物线y = 'f 一 *的顶点，8 4 ・・・过点。

作直线。

4的平行线与抛物线交于点［. 那么直线cη的函数表达式为y = —3.在四边形匕40。

中，CP l ∕∕OA f 显然∣C 制≠∣OA 卜 ・•・点々(6,— 3)是符合要求的点.②假设A^〃CO.段直线CO 的函数表达式为y = 1r. 招点C(4,-3)代人，得4占=-3.3 .•・直线C 。

的函数表达式为y =—=尤.4 于是可设直线的函数表达式为y = -qx + 4∙315 招点 A(10,0)代人，得一一xlO + 4=O. .*= 一 .423 15・•・直线AA 的函数表达式为y = —2χ + B.^ 4 23 15 y = — x H -----由［ 42 =>X 2-4X -60 = 0,即(X -10)(X +6) = 0.1 2 5X5 - 4 - 2 X1 而点 C(4,-3), .∙.[(6,-3).5—x. 4C, A 为顶点的四边形为佛形.jx1 =10, jx2=一6,[y↑ =。

；i% = 12；而点A(l 0,0), .•・£(—6,12).过点用作£E_Lx轴于点E,那么比E∣= 12∙在Rt^A^E中，由勾股定理，得∣A周二MG∣A吁=Jd+G =20. 而∣CO∣=∣O,=5∙・•・在四边形鸟OC4 中，AP2∕∕ CO, [g∖AP1∖≠∖CO..∙.点巴(一6,12)是符合要求的点.③假设。