第8讲 分数与循环小数内容概述掌握分数与小数互相转化的方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用；学会通过分数的形式判断相应的小数类型；注意利用周期性分析循环小数的小数部分。
兴趣篇1．把下列分数化为小数：（1）34，138，1325； （2）29，311，433；（2）56，522，790； （4）27，313，437；答案：（l ） 0.75, 1.625, 0.52 (2) .0.2 ，0.27,0.12(3)0.83， 0.227, 0.07 (4) 0.285714,0.230769，0.1082．把下列小数化成分数：(1)0.23，0.479; (2)0.12，0.255.答案：(1)23100，479100(2) 325，512003．把下列循环小数转化为分数：(1)0.1∙，0.4∙；(2)0.01∙∙，0.35∙∙； (3)0.08∙，0.38∙.答案：(1)19,49(2)199,3599(3)445，7184．把下列循环小数转化为分数：0.7∙，0.12∙∙，0.123∙∙，0.123∙∙答案：79，433，41333，614955.计算：（1）0.10.20.3++；（2）0.20.30.4++；（3）0.30.50.7++（4）0.10.120.123++；（5）0.120.23+。
答案：(1)23 (2)1 (3)213(4)107300 (5)39110解析：（1）123620.10.20.399993++=++==。
（2）23490.20.30.419999++=++==。
（3）3571520.30.50.7199993++=++==。
（4）112112312321390.10.120.123990900900110--++=++==；（5）12123351390.120.239099990110-+=+==。
6.计算：0.123450.234510.345120.451230.51234++++。
答案：213解析：把每个数化成分数，分母都是99999，所以计算会很方便．()0.123450.234510.345120.451230.5123412345234513451245123512349999999999999999999999999111111234599999159213++++=++++⨯++++===7.计算下列各式，并用小数表示计算结果：（1）1.860.351⨯；（2）0.380.518÷。
答案：(1) 0.65 (2) 0.75解析：（1）1953515371339651.860.3510.659999999373999⨯⨯⨯⨯=⨯=⨯==⨯⨯。
（2）3835183599957933730.380.5180.75909999051892537274-⨯⨯⨯÷=÷=⨯=⨯==⨯⨯⨯⨯。
8．将算式0.30.60.30.60.30.6+-⨯+÷的计算结果用循环小数表示是多少 答案： 1.27解析：1212122150.30.60.30.60.30.611 1.273333339218+-⨯+÷=+-⨯+÷=-+==9．把分数47化成小数后，从小数点后第一位起连续1000位数字的和是多少？答案：4499解析：40.5714287=，循环节有6位，这6位的数字和为5+7+l+4+2+8=27。
1000÷6=166……4，1000位中有166个循环节，还有4位数字依次是5，7，1，4。
这10OO 位数字的和是27×166+(5+7+1+4)=4499．10．真分数7a化成小数后，如果从小数点后第一位起连续若干个数字之和是2000。
a 应该是多少？答案：2解析：先把17至67都化成循环小数：10.1428577=，20.2857147=，30.4285717=，40.5714287=，50.7142857=，60.8571427=。
发现每个数的循环节都是6位，而且都是由1，2，4，5，7，8这6个数字组成的，因此每个数的循环节各位数字之和都是1+2+4+5+7+8=27.无论a 为多少，7a 化成小数后的每个循环节6个数字之和都是27，而2000÷27=74……2，所以一定包含了74个循环节，还多了2．因此要便数字和为2000，下一个循环节必须以2开始，只能是0.285714，于是a 为2．拓展篇1．将下列分数化为小数：38，56，449，27，1013．答案：0.375,0.83,4.8，0.285714,0.7692302．把下列循环小数转化为分数：0.48，0.1353，3.1703，6.36538461。
答案：1633，41303，233135，19652解析：（1）0.48是一个纯循环小数，循环节有2位，所以分母是99。
循环节是48,所以分子是48.因此48160.489933==。
（2）0.1353也是一个纯循环小数，循环节有4位，所以分母是9999。
循环节是1353，所以分子是1353。
因此1353410.13539999303==。
（3）3.1703是一个混循环小数，循环节有3位，不循环部分有1位，所以分母是9990。
小数点后的部分是1703，不循环的部分是1,，所以分子是1703-1=1702。
因此170223 3.1703339990135==。
（4）6.36538461是一个混循环小数，循环节有6位，不循环部分有2位，所以分母是99999900。
小数点后的部分是36538461，不循环的部分是36,，所以分子是36538461-36=36538425。
因此3653842599196.36538469999001652==。
3．(1)把下面这些分数化为小数后，哪些是有限小数？哪些是纯循环小数？哪些是混循环小数？34，3150，217，1577，17150，18192，84308，135625，11111；(2)把下列分数化成循环小数：335，1437，12143。
答案:(1) 34，3150，18192， 135625是有限小数；217，1577，84308，11111是纯循环小数； 17150是混循环小数 （2）0.0857142，0.378，0.083916解析：（1）除了直接计算除法外，分数化循环小数还有其他一些巧妙的办法。
例如31620.6250100==，135272782160.21662512512581000⨯====⨯，11990.0099111999==。
对于其他的分数，可以直接利用除法计算：30.754=，1830.0937519232==是有限小数；20.117647058823529417=，150.19480577=，8430.2730811==，它们是纯循环小数；170.113150=是混循环小数。
综上所述，34，3150，18192， 135625是有限小数；217，1577，84308，11111是纯循环小数；17150是混循环小数。
（2）363570=，因为67等于0.0857142，所以30.085714235=。
1437的分母是37，注意到999=27×37，所以1414273780.378373727999⨯===⨯。
12143的分母是143，因为143×7=1001，而1001×999=999999。
所以12127999839160.0839161431437999999999⨯⨯===⨯⨯。
4.计算 :(1) 0.020.310.45++；(2) 0.10.120.1234++；(3)0.120.530.69++； (4) 0.670.2120.111020++。
答案：（1）2633（2）8832475（3）35199（4）1解析：(1) 2314578260.020.310.459999999933++=++==。
(2) 1121134350.10.120.123419909999-++=++=。
(3)125369134350.120.530.6919999999999++=++==。
(4) 672121110209999990.670.2120.111020199999999999999999++=++==。
5. 计算：(1) 0.010.120.230.340.780.89++++++；(2) 0.010.120.230.340.780.89+++++答案：（1）1411（2）2.4解析：(1) 0.010.120.230.340.780.89++++++112233445566778899999999999999999991899299991411=++++++++⎛⎫=+⨯÷ ⎪⎝⎭=； (2) 0.010.120.230.340.780.89+++++11121317181909090909090216902.4=+++++==6.计算：（1）(4.20.48) 2.05-÷； (2) 0.132(0.1350.135)⨯+。
答案：（1）9111（2）2988325解析：（1）(4.20.48) 2.05-÷248542999907337370183991899379111⎛⎫=-÷ ⎪⎝⎭=÷=⨯=(2) 0.132(0.1350.135)⨯+1321341229999909001322682429899999003331002988325⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭=⨯=⨯=7．计算：(1.21690.18) 2.0981+÷．（将结果表示为分数和小数两种形式）答案：23；0.6解析：把算式化为分数来计算：(1.21690.18) 2.0981+÷21691898112999999999912618181820979999999999999139869999999920979139862097923⎛⎫=+÷ ⎪⎝⎭⎛⎫=+÷⎪⎝⎭=⨯== 结果用小数表示为0.6。
8．将算式11119101112+++的计算结果用循环小数表示是多少？答案：0.3853。
解析：把4个分数都化成循环小数：11110.10.10.090.0839101112+++=+++，然后列竖式计算，要注意这些小数的循环节不一样，因此需要多写出几位来寻找它们的规律：0.1 1 1 1 1 1… 0.10.0 9 0 9 0 9… + 0.0 8 3 3 3 3…0.3 8 5 3 5 3…于是11119101112+++的结果用循环小数表示为0.3853。