【课题】离中趋势的代表值——极差、标准差
【教学目标】
知识目标：1.理解离中趋势统计描述的意义与平均指标和离散程度指标
二者的辩证关系。

2.掌握极差、标准差的计算和分析。

能力目标：1.能理解和掌握极差、标准差的计算过程。

2.能利用极差、标准差的计算结果，对研究总体的离中趋势进行应用分析。

【教学重点、难点】
（参考配套教学用书《统计基础知识教学参考书》P32）
教学重点：离中趋势统计描述的意义、标准差的计算和分析
教学难点：加权式标准差的计算和分析
演示法、讲授法、分组讨论法。

【课时安排】
4课时
【教学过程】
第一环节导入
上一节我们讨论了描述某一变量集中趋势代表值的方法，平均指标反映现象的集中趋势，反映现象的一般水平。

为了揭示标志值间的差异，从相反的角度来揭示现象的离中趋势，应计算标志变异指标，它是变量数量特征的另一个方面。

现在我们一起察看如下例题：
例1:我校04级电算化（1）班的两组同学的英语成绩组成的两个数列如下：甲数列：68 69 70 71 72, x=70分
乙数列：50 60 70 80 90, x=70分
绘制成线段图
[教师提问，学生讨论]
两组同学的英语平均成绩（x）=70分，但有区别吗？你们认为哪一组的标志值分散？哪一组的平均值（x）代表性高？为什么？
第二环节新授课
一、离中趋势统计描述的意义
从例1的计算结果显示得知：由于甲数列变量的离散程度小，说明其集中趋势强，其均值的代表性就高。

（一）离差
1．概念：离差是指同质中各个单位中的某种变量值与中心位置的差异。

2．算术平均数与离差的关系
算术平均数是测定集中趋势最常用的代表值，它的实质是把正负离差相互抵消后反映变量集中趋势的中心点的代表值。

例如：甲数列：68 69 70 71 72, x=70
离差：-2 -1 0 1 2
乙数列：50 60 70 80 90, x=70
离差：-20 -10 0 10 20
（二）离中趋势统计描述的具体作用：
（1）能够反映总体各单位标志值分布的离中趋势；
（2）是衡量平均数代表性的尺度；
（3）可以说明和比较社会经济现象的均衡、稳定和协调性的高低；
（4）是推断统计的重要依据。

二、离中趋势代表值的计算方法：
离散程度测度：极差、标准差、离散系数。

（一）极差
[演示]幻灯片
极差也称为全距（R），是变量分布中最大值与最小值之差。

它是描述变量离散状况最简单的测量值。

其基本计算公式是：
1．根据单项式数列计算极差，公式为：全距(R)=最大变量值－最小变量值2．根据组距数列计算极差，公式为：全距(R)＝最高值组上限值－最低值组下限值
[教师举例讲解]
例如1：甲数列：68 69 70 71 72, x=70, R =72-68=4
乙数列：50 60 70 80 90, x=70, R=90-50=40
例如2：某车间40名工人日产量资料如表3-16所示。

表3－16 某车间40名工人日产量资料表
根据资料计算：R =100-50=50（件）
[分析]
用极差来评价变量离散状况是：极差值较小，说明变量值离散范围小，离
散程度也较小，变量值较集中，平均数的代表性较大；反之，极差值较大，说明变量值离散范围大，离散程度较大，变量值较分散，平均数的代表性较小。

因此甲数列均值的代表性高于乙数列。

[演示]幻灯片
（二）标准差
标准差是测定标志变动程度的主要指标。

标准差（σ）是总体单位各变量值与其平均数的离差平方的算术平均数的平方根。

标准差的计量单位与变量值的计量单位相同。

分为简单式标准差、加权式标准差。

（一）如果算术平均数是采用简单平均法计算的，则标准差也采用简单式。

其计算公式如下：
σ=
()
n
x x
∑-2
式中：σ——标准差。

[教师举例讲解]
例1：以甲、乙两个数列的例子来说明简单式标准差的计算方法。

表3－21 甲组日产量标准差计算表
表3－22 乙组日产量标准差计算表
（1） 705
350
1
==
=
∑=n
x
x n
i i
甲（件） （2）(
)
414.15
10
1
2
≈=
=
∑-=n
n
i i
x
x 甲
甲
σ（件） （3）705
350
1
==
=
∑=n
x
x n
i i
乙
（件） （4）(
)
14.145
1000
1
2
≈=
=
∑-=n
n
i i
x
x 乙
乙
σ（件） [分析]
计算结果表明，甲组标准差比乙组标准差小，所以甲组变量的离散程度比
乙组小，即甲组变量分布范围比乙组集中，甲组平均数的代表性大。

（二）如果算术平均数是采用加权平均法计算的，则标准差也就是加权式。

()
∑∑-==⋅=
n
i i
n
i i
f
f x
x 1
1
2
i σ
[教师举例讲解]
例： 某班组25名工人日产量分组资料如表3-19所示，试计算标准差。

表3－19 单项数列标准差计算表
x ＝
∑∑==n
i i
i
n
i i f
f
x 1
1＝
25
400
＝16（件） ()
∑∑-==⋅=
n
i i
n
i i
i
f
f x
x 11
2
σ=
2425
100
==（件）
表3－20 组距变量数列标准差计算表
==
=
∑∑==100
3100
1
1
n
i i
n
i i
i f
f
x x 31（千克） ()
∑∑-==⋅=
n
i i
n
i i
i
f
f x
x 11
2
σ=
100
4900
=7（千克） 第三环节 课堂练习.
计算题：配套习题集P46第24题，计算职工工资全距、标准差。

第四环节小结.
1．极差计算公式；
2．简单式标准差计算公式和计算过程
3．加权式标准差计算公式和计算过程
第五环节布置作业.：
使用配套《统计原理习题集》（第二版）：
（1）P46第41题，计算职工工资全距、标准差。

（2）P47~48第43题，计算标准差。