4．1 & 4.2 平均数、中位数、众数、极差、方差 标准差预习课本P25～31，思考并完成以下问题 (1)什么是平均数、中位数、众数？(2)什么是极差、方差、标准差？(3)方差、标准差的计算公式是什么？[新知初探]1．平均数、中位数、众数 (1)平均数如果有n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么x ＝x 1＋x 2＋…＋x nn，叫作这n 个数的平均数． (2)中位数把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数．(3)众数一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个．[点睛] 如果有几个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这几个数据都是这组数据的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数．2．极差、方差、标准差 (1)极差一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据的极差． (2)方差标准差的平方s 2叫作方差．s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．其中，x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数． (3)标准差标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示．s ＝ 1n[x 1－x2＋x 2－x2＋…＋x n －x2].[点睛] (1)标准差、方差描述了一组数据围绕着平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．(2)标准差、方差为0时，表明样本数据全相等，数据没有波动幅度和离散性． (3)标准差的大小不会超过极差．[小试身手]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平均数反映了一组数据的平均水平，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的变化．( )(2)一组数据中，有一半的数据不大于中位数，而另一半则不小于中位数，中位数反映了一组数据的中心的情况．中位数不受极端值的影响．( )(3)一组数据的众数的大小只与这组数据中的部分数据有关．( ) (4)数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定．( ) (5)数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√2．在某次考试中，10名同学的得分如下：84,77,84,83,68,78,70,85,79,95.则这一组数据的众数和中位数分别为( )A ．84,68B ．84,78C ．84,81D ．78,81解析：选C 将所给数据按从小到大排列得68,70,77,78,79,83,84,84,85,95，显然众数为84，而本组数据共10个，中间两位是79,83，它们的平均数为81，即中位数为81.3.某学生几次数学测试成绩的茎叶图如图所示，则该学生这几次数学测试的平均成绩为________．解析：根据茎叶图提供的信息知，这几次测试成绩为53,60,63,71,74,75,80.所以所求的平均成绩为17×(53＋60＋63＋71＋74＋75＋80)＝68.答案：684.如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．解析：依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8,9,10,13,15，其平均数为8＋9＋10＋13＋155＝11.由方差公式得s 2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝15(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8.答案：6.8中位数、众数、平均数的计算及应用[典例职务 董事长 副董事长董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资5 5005 0003 5003 0002 5002 0001 500(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平，结合此问题谈一谈你的看法． [解] (1)平均数是x ＝1 500＋133(4 000＋3 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×20)≈1 500＋591＝2 091(元)，中位数是1 500元，众数是1 500元． (2)平均数是x ′＝1 500＋133(28 500＋18 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×20)≈1500＋1 788＝3 288(元)．中位数是1 500元，众数是1 500元．(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数和众数等，它们作为一组数据的代表各有优缺点，也各有各的用处，从不同的角度出发，不同的人会选取不同的统计量来表达同一组数据的信息，不同的统计量会侧重突出某一方面的信息．[活学活用]1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该小组成绩的平均分、众数、中位数分别是( )A ．85分、85分、85分B ．87分、85分、86分C ．87分、85分、85分D ．87分、85分、90分解析：选C 由题意知，该学习小组共有10人， 因此众数和中位数都是85，平均数为100＋95＋2×90＋4×85＋80＋7510＝87.2．16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断他能否进入决赛．则其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是( )A ．平均数B ．极差C ．中位数D ．方差解析：选C 判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8名，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8个高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8个的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个第8名的成绩就是这15位同学成绩的中位数.方差、标准差的计算与应用[典例] 两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下：甲：7,8,6,9,6,5,9,9,7,4. 乙：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.(1)分别计算甲、乙两人射击命中环数的极差、众数和中位数； (2)分别计算甲、乙两人射击命中环数的平均数、方差、标准差； (3)比较两人的成绩，然后决定选择哪一个人参赛．[解] (1)对于甲：极差是9－4＝5，众数是9，中位数是7； 对于乙：极差是9－5＝4，众数是7，中位数是7. (2)x 甲＝7＋8＋6＋9＋6＋5＋9＋9＋7＋410＝7，s 2甲＝110×[(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝2.8，s 甲＝s 2甲＝ 2.8≈1.673. x 乙＝9＋5＋7＋8＋7＋6＋8＋6＋7＋710＝7，s 2乙＝110×[(9－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2]＝1.2，s 乙＝s 2乙＝ 1.2≈1.095.(3)∵x 甲＝x 乙，s 甲＞s 乙，∴甲、乙两人的平均成绩相等，乙的成绩比甲的成绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可以选择乙参赛．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度．在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中、越稳定．[活学活用]某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)： 甲组 60,90,85,75,65,70,80,90,95,80； 乙组 85,95,75,70,85,80,85,65,90,85. (1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差； (2)哪一组的成绩较稳定？解：(1)甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)， 平均分为x 甲＝110×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)，方差为s 2甲＝110×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119，标准差为s 甲＝s 2甲＝119≈10.91(分)．乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)，平均分为x 乙＝110×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)，方差为s 2乙＝110×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25，标准差为s 乙＝s 2乙＝75.25≈8.67(分)．(2)由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差)，因此乙组的成绩较稳定．从(1)中得到的极差也可得到乙组的成绩比较稳定.数字特征与统计图表的综合问题[典例] (1)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m o，平均值为x，则( )A．m e＝m o＝x B．m e＝m o＜xC．m e＜m o＜x D．m o＜m e＜x(2)如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A和x B，样本标准差分别为s A和s B，则( )A.x A＞x B，s A＞s BB.x A＜x B，s A＞s BC.x A＞x B，s A＜s BD.x A＜x B，s A＜s B[解析] (1)由条形统计图可知，30名学生的得分依次为2个3分，3个4分，10个5分，6个6分，3个7分，2个8分，2个9分，2个10分．中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数，即m e＝5.5，5出现次数最多，故m o＝5.x＝2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×1030≈5.97.于是得m o＜m e＜x.(2)观察图形可得：样本A的数据均小于或等于10，样本B的数据均大于或等于10，故x A＜x B，又样本B的波动范围较小，故s A＞s B.[答案] (1)D (2)B(1)由于茎叶图保留了原始数据，因此根据茎叶图进行有关数据计算可以直接进行；另外，在茎叶图中，数据的分布能直观体现数据的平均水平和离散程度，因此给出茎叶图解决与平均数和方差有关的统计问题时，我们也可以直观观察来完成．(2)折线统计图研究样本数据的数字特征与横坐标和纵坐标的意义有关，一般情况下，整体分布位置较高的平均数大，波动性小的方差小．(3)若条形统计图的横坐标是单一数据，则可通过该统计图还原真实的样本数据，进而中位数、众数、平均数均可直接计算得到．(4)当条形统计图的横轴是区间形式，各数字特征就不能直接求出，但是可以近似估计． ①中位数：条形统计图(直方图)中，中位数左边和右边的各矩形的面积和应该相等，由此可以估计中位数的值．②平均数：平均数的估计值等于条形统计图(直方图)中每个小矩形的高度(面积)乘小矩形底边中点的横坐标之积的总和．③众数：在条形统计图(直方图)中，众数是最高的矩形的中点的横坐标． [活学活用]1．样本数为9的四组数据，它们的平均数都是5，它们的条形统计图如图所示，则标准差最大的一组是( )A ．第一组B ．第二组C ．第三组D ．第四组解析：选D 法一：第一组中，样本数据都为5，数据没有波动幅度，标准差为0； 第二组中，样本数据为4,4,4,5,5,5,6,6,6，标准差为63； 第三组中，样本数据为3,3,4,4,5,6,6,7,7，标准差为253；第四组中，样本数据为2,2,2,2,5,8,8,8,8，标准差为2 2. 故标准差最大的一组是第四组．法二：从四个条形图可看出第一组数据没有波动性，第二、三组数据的波动性都比较小，而第四组数据的波动性相对较大，利用标准差的意义可以直观得到答案．2.如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有( )A．a1＞a2B．a2＞a1C．a1＝a2D．a1，a2的大小与m的值有关解析：选B 去掉的最低分和最高分就是第一行和第三行的数据，剩下的数据我们只要计算其叶上数字之和即可．此时甲选手叶上的数字之和是20，乙选手叶上的数字之和是25，故a2＞a1.[层级一学业水平达标]1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A．46,45,56 B．46,45,53C．47,45,56 D．45,47,53解析：选A 样本的中位数是(45＋47)÷2＝46，众数是45，极差为68－12＝56.2．某学校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在每一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用条形统计图表示如下，根据条形统计图估计该校全体学生这一天平均每人的课外阅读时间为( )A．0.6 h B．0.9 hC．1.0 h D．1.5 h解析：选B 由条形统计图可得，这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 5×0＋20×0.5＋10×1.0＋10×1.5＋5×2.050＝0.9(h)，因此估计该校全体学生这一天平均每人的课外阅读时间为0.9 h.3．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为x ，方差为s 2，则( )A.x ＝5，s 2＜2 B.x ＝5，s 2＞2 C.x ＞5，s 2＜2 D.x ＞5，s 2＞2解析：选A ∵18(x 1＋x 2＋…＋x 8)＝5，∴19(x 1＋x 2＋…＋x 8＋5)＝5，∴x ＝5.由方差定义及意义可知加入新数据5后，样本数据取值的稳定性比原来强，∴s 2＜2，故选A.4．小明5次上学途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10，11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为________．解析：由题意可得x ＋y ＝20，(x －10)2＋(y －10)2＝8，设x ＝10＋t ，y ＝10－t ，则t 2＝4，|t |＝2，故|x －y |＝2|t |＝4. 答案：4[层级二 应试能力达标]1．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )A.65B.65C. 2D ．2解析：选D 由题可知样本的平均值为1， 所以a ＋0＋1＋2＋35＝1，解得a ＝－1，所以样本的方差为15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2. 2．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁解析：选C 由表可知，乙、丙的成绩最好，平均环数都为8.9，但乙的方差大，说明乙的波动性大，所以丙为最佳人选．3．如果5个数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是7，那么x 1＋1，x 2＋1，x 3＋1，x 4＋1，x 5＋1这5个数的平均数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选D 法一(定义法)：依题意x 1＋x 2＋…＋x 5＝35，所以(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋…＋(x 5＋1)＝40，故所求平均数为405＝8.法二(性质法)：显然新数据(记为y i )与原有数据的关系为y i ＝x i ＋1(i ＝1,2,3,4,5)，故新数据的平均数为x ＋1＝8.4．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登记错了，甲实得80分，却记了50分，乙实得70分，却记了100分，更正后平均分和方差分别是( )A ．70,75B ．70,50C ．75,1.04D ．62,2.35解析：选B 因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为s 2，则由题意可得s 2＝148[(x 1－70)2＋(x 2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x 48－70)2]，而更正前有75＝148[(x 1－70)2＋(x 2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x 48－70)2]，化简整理得s 2＝50.5.某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数的茎叶图如图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91.复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清．若记分员计算无误，则数字x 应该是________．解析：由茎叶图可知最低分为88.若90＋x 为最高分，则平均分为8 8 9 9923x21489＋89＋91＋92＋92＋93＋947≈91.4≠91.故最高分为94.则去掉最高分94和最低分88，平均分为89＋89＋91＋92＋92＋93＋90＋x 7＝91，解得x ＝1. 答案：16．一农场在同一块稻田中种植一种水稻，其连续8年的产量(单位：kg)如下：450,430,460,440,450,440,470,460，则该组数据的方差为________．解析：根据题意知，该组数据的平均数为18×(450＋430＋460＋440＋450＋440＋470＋460)＝450，所以该组数据的方差为18×(02＋202＋102＋102＋02＋102＋202＋102)＝150. 答案：1507．由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________(从小到大排列)．解析：不妨设x 1≤x 2≤x 3≤x 4且x 1，x 2，x 3，x 4为正整数，则由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 3＋x 44＝2，x 2＋x 32＝2， 即得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8，x 2＋x 3＝4， 又∵x 1，x 2，x 3，x 4为正整数， ∴x 1＝x 2＝x 3＝x 4＝2或x 1＝1，x 2＝x 3＝2，x 4＝3或 x 1＝x 2＝1，x 3＝x 4＝3， ∵s ＝14[x 1－22＋x 2－22＋x 3－22＋x 4－22]＝1，∴x 1＝x 2＝1，x 3＝x 4＝3.由此可得这四个数为1,1,3,3.答案：1,1,3,38．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．(1)请填写下表：平均数方差中位数命中9环及9环以上的次数甲乙(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和方差相结合看(谁的成绩更稳定)；②从平均数和中位数相结合看(谁的成绩好些)；③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(谁的成绩好些)；④从折线统计图上两人射击命中环数的走势看(谁更有潜力)．解：(1)由图可知，甲打靶的成绩为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7，乙打靶的成绩为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.甲的平均数为7，方差为1.2，中位数是7，命中9环及9环以上的次数为1；乙的平均数为7，方差为5.4，中位数是7.5，命中9环及以上次数为3.如下表：平均数方差中位数命中9环及9 环以上的次数甲7 1.27 1乙7 5.47.5 3(2)②甲、乙的平均数相同，乙的中位数较大，所以乙的成绩好些；③甲、乙的平均数相同，乙命中9环及9环以上的次数比甲多，所以乙的成绩较好；④从折线统计图上看，在后半部分，乙呈上升趋势，而甲起伏不定，且均未超过乙，故乙更有潜力．9．某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67；乙：1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.经预测，跳高1.65 m就很可能获得冠军．该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测跳高1.70 m方可获得冠军呢？解：甲的平均成绩和方差如下：x 甲＝18(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)＝1.69，s 2甲＝18[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.000 6. 乙的平均成绩和方差如下： x 乙＝18(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)＝1.68，s 2乙＝18[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋…＋(1.75－1.68)2]＝0.003 15. 显然，甲的平均成绩好于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定．由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若跳高1.65 m 就很可能获得冠军，应派甲参赛．在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70 m 以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但成绩突破1.70 m 的可能性大于甲，所以若跳高1.70 m 方可获得冠军，应派乙参赛．。