腰三角形，则该直三棱柱外接球的体积为（ ）
A. 20 5 3
【答案】A
B. 20 3
C. 25
D. 25 5
【变式 3：改编问法】如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为 2 的等边三角形， 若该简单几何体的体积是 ，则其底面周长为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题意，几何体为锥体，高为正三角形的高 ，因此底面积为
相互垂直的半径.若该几何体的体积是 28 ,则它的表面积是（ ） 3
（A）17 （B）18 （C） 20 （D） 28
【命题意图探究】本题主要考查简单几何体的三视图及球的表面面积与体积计算，是容易题. 【答案】A
【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力 【方法技巧归纳】根据“长对正、宽相等、高平齐”的直观图画法规则，画出对应几何体的 直观图，确定几何体中个元素的量，再计算几何体的表面积. 2.2【典型考题变式】 【变式 1：改编条件】一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是 1 的正方形，俯视图 是直角边长为 1 的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于（ ）
三视图识别、由三视图画出对应的几何体的直观图并计算其体积与表面积、由三视 图画出对应的几何体的直观图并其外接球或内切球的体积或表面积，题型为选择题 或填空题，难度为容易题或中档题，分值为 5 分. 二、题型与相关高考题解读 1.空间几何体的三视图 1.1 考题展示与解读
例 1 【2014 高考湖北卷理第 5 题】在如图所示的空间直角坐标系 O xyz 中，一个四面体
1.3 棱锥、棱台的结构
名称
棱锥
正棱锥
棱台
正棱台
图形
定义
有一个面是多 底面是正多边 用一个平行于 由正棱锥截得
边形，其余各面 形，且顶点在底 棱锥底面的平 的棱台
是有一个公共 面的射影是底 面去截棱锥，底
顶点的三角形 面的射影是底 面和截面之间
的多面体
面和截面之间 的部分
的部分
侧棱
相交于一点但 不一定相等
V 1 3 ( 12 1 2 1) 1，选 A．
3
22
2
【解题能力要求】空间想象力、运算求解能力
【方法技巧归纳】根据“长对正、宽相等、高平齐”的直观图画法规则，画出对应几何体的
直观图，确定几何体中个元素的量，再计算几何体的体积.
3.2【典型考题变式】
【变式 1：改编条件】某几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积等于（ ）
，即
底面为等腰直角三角形，直角边长为 2，周长为
，选 C.
4.与三视图有关的最值问题
4.1 考题展示与解读
例 5【2014 课标Ⅰ，理 12】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体
的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）
（A） 6 2
（B） 6
（C） 6 2
（D） 4
的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四 个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）
A.①和②
B.③和①
C. ④和③
D.④和②
【命题意图探究】本题主要考查简单几何体的三视图及空间想象能, B(2,2,0),C(1,2,1), D(2,2,2) ，在坐标系中标出已知的四个点，根据三
平行四边形
矩形
矩形
平行于底面的截面 与底面全等的多 与底面全等的多 与底面全等的正多
的形状
边形
边形
边形
1.2 圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做
圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什
么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.
.
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，
结合图中数据，计算它的体积为：V=V 三棱柱+V = 半圆柱 ×2×2×3+•π•12×3=（6+1.5π）cm3． 故答案为：6+1.5π．
【变式 2：改编结论】一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为 2 的等 3
1.11 几何体中计算问题的方法与技巧： ①在正棱锥中，正棱锥的高、侧面等腰三角形的斜高与侧棱构成两个直角三角形，有关计算 往往与两者相关； ②正四棱台中要掌握对角面与侧面两个等腰梯形中关于上底、下底及梯形高的计算，另外， 要能将正三棱台、正四棱台的高与其斜高，侧棱在合适的平面图形中联系起来； ③研究圆柱、圆锥、圆台等问题，主要方法是研究其轴截面，各元素之间的关系，数量都可 以在轴截面中得到； ④多面体及旋转体的侧面展开图是将立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段． 2.命题规律展望：空间几何体的三视图与直观图是高考的重点和热点，主要考查简单几何体
【变式 3：改编问法】一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）
【答案】B 【解析】俯视图为几何体在底面上的投影，应为 B 中图形. 2.由三视图求对应空间几何体的表面积 2.1 考题展示与解读 例 2【2016 高考新课标 1 卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条
（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为（ ）
A. ①③④ 【答案】D
B. ②④③
C. ①②③
D. ②③④
【变式 2：改编结论】在下列水平放置的几何体中，正视图是如图的是 （ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】观察四个选择支的四个几何体，A、B、D 对应三个几何体的正视图都为矩形，C 对
应的几何体的正视图为等腰三角形，故选 C.
半径 r ，球心到截面圆的距离为 d ，则 R2 r 2 d 2 .
1.7.长方体性质：长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.
1.8 正四面体：侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体.
设正四面体的棱长为 a ，则高为 6 a ，斜高 3 a 为，对棱间的距离为 2 a ，体积为
即高；侧棱与底 面、侧面与底 面、相邻两侧面
都相等
所成角都相等
1.4 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围
成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜
边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面.
1.5.圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的
为： 3 和 1,左视图的面积为 3 3 1 3 ，故选 C.
【变式 3：改编问法】如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面 的面积为（ ）
A. 8 B. 4 【答案】C
C. 4 2 D. 4 3
3.由三视图求对应几何体的体积 3.1 考题展示与解读 例 3【2017 浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位： cm3）是
【命题意图探究】本题主要考查简单几何体的三视图及几何体中的最值问题，是中档题. 【答案】Ｂ 【解析】由正视图、侧视图、俯视图形状，可判断该几何体为四面体，且四面体的长、宽、 高均为 4 个单位，故可考虑置于棱长为 4 个单位的正方体中研究，如图所示，该四面体为
D ABC ，且 AB BC 4 , AC 4 2 , DB DC 2 5 , DA (4 2)2 4 6 ，故
底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴
1.6.球
（1）定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，
简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径.
（2）球的性质
球被平面截得的图形是圆，球心与截面圆圆心的连线与截面圆垂直，球的半径 R，截面圆的
视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选 D.
【解题能力要求】空间想象能力 【方法技巧归纳】根据点的坐标，画出简单几何体的三视图，然后根据三视图的画法规则判 断几何体的三视图. 1.2【典型考题变式】
【变式 1：改编条件】如图，点 M , N 分别是正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱 A1B1, A1D1 的中 点，用过点 A, M , N 和点 D, N ,C1 的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正
3
2
2
2 a3 . 12
1.9 空间几何体的直观图 （1）斜二测画法
①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 OX，OY，建立直角坐标系； ②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的 O’X’,O’Y’,使 X 'O'Y ' =450（或 1350），它们确定的平面表示水平平面； ③画对应图形，在已知图形平行于 X 轴的线段，在直观图中画成平行于 X‘轴，且长度保持 不变；在已知图形平行于 Y 轴的线段，在直观图中画成平行于 Y‘轴，且长度变为原来的一 半； ④擦去辅助线，图画好后，要擦去 X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）. 画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦 确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可 以归结为确定点的位置的画法. （2）平行投影与中心投影：平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一 点. 1.10 简单几何体三视图 （1）三视图 ①正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度； ②侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度； ③俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度. （2）三视图画法规则 高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐 长对正：主视图与俯视图的长应对正 宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等 （3）.解决三视图问题的技巧：空间几何体的数量关系也体现在三视图中，正视图和侧视图 的“高平齐”，正视图和俯视图的“长对正”，侧视图和俯视图的“宽相等”．也就是说正 视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度， 侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度．在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线 都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”．在三 视图的判断与识别中要特别注意其中的“虚线”． （4）要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征， 熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理，才能迅速破解三视图问题，由三视图画出其直观 图． （5）解答三视图题目时： ①可以从熟知的某一视图出发，想象出直观图，再验证其他视图是否正确； ②视图中标注的长度在直观图中代表什么，要分辨清楚； ③视图之间的数量关系：正俯长对正，正侧高平齐，侧俯宽相等．