近三年全国新课标高考数学考试试题分析————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2011~2013年全国新课标数学试题试卷分析高三数学组周继轩纵观2011~2013年的新课标高考数学试题，整体感觉是：试卷结构保持稳定；考查内容相对稳定，仍然遵循主干知识重点考查的原则；对能力的考查力度逐年提升。
现把2011~2013年全国课标卷所考查的知识点的情况以及相邻两年的对比分析如下。
一、2011~2013年全国课标卷考查的知识点对比：高考数学试卷考点分析题型题号2013 2012 2011选1 集合集合复数的运算择2 复数的运算排列组合函数基本性质3 三角函数恒等变换复数的运算命题框图4 框图圆锥曲线（椭圆）概率5 平面向量（夹角）数列三角函数角的终边6 三角函数图像平移框图三视图7 排列组合三视图圆锥曲线（双曲线）离心率8 线性规划圆锥曲线（双曲线）二项式定理9 三视图三角函数单调性定积分10 解析几何（抛物线）函数的图象平面向量命题11 函数命题立体几何三角函数函数的基本性质12 立体几何（体积）函数函数填13 不等式的解法平面向量线性规划空14 圆锥曲线（双曲线）线性规划圆锥曲线（椭圆）15 概率统计（正态分布）概率统计（正态分布）立体几何16 三角函数等差数列数列前n项和三角函数（解三角形)解17 数列通项公式求角数列通项公式答数列前n项和解三角形数列前n项和18 统计的数字特征函数解析式线线垂直概率概率数字特征二面角的大小19 面面垂直线线垂直概率二面角的大小二面角的大小概率数字特征20 椭圆圆的半径抛物线圆的方程轨迹方程圆的方程点到直线的距离点到直线的距离21 函数解析式单调区间函数解析式单调区间参数求值不等式恒成立问题不等式恒成立问题最值恒成立取值范围22选考圆的切线证明线线相等四点共圆切割线定理中位线三角形相似圆的半径23选考直角坐标系与极坐标系间方程的转化极坐标化直角坐标轨迹方程公共弦、参数方程参数方程参数方程24选考解含绝对值的不等式解含绝对值的不等式解含绝对值的不等式恒成立、分段函数恒成立已知解集求参数二、2011年与2012年全国高考课标卷的对比：（一）题型题量稳定，难度偏大2012年新课标全国高考数学试卷与2011年全国高考数学试卷结构相同。
选择题比去年略难：填空题比去年多一个难题，特别是文科12题（理科16题）相对难度较大，超出了当前考纲对数列部分的要求，文科16题考查的只是比较灵活，也超出了文科学生的实际水平，很多考生在此题上浪费了时间、影响了情绪；解答题整体难于去年一个档次。
（二）重点热点知识，重点考查2012年新课标全国高考数学试卷既考查全面又突出重点，考查内容涵盖了函数、数列】不等式、立体几何、解析几何、概率统计等高中数学模块，对于支撑学科知识体系的主干知识点，如函数的性质、导数的应用、空间几何体、空间直线与平面位置关系、圆锥曲线、概率、统计的考查保持了较高的比例，对于其他非主干知识点也注意适度考查，对新增内容的考查与去年比重相当，重点考查算法、三视图、概率与统计等知识点。
（三）突出应用创新，区分度大2012年新课标全国高考数学试卷对数据处理意识要求比去年高，第15题（考查正态分布、概率计算）相比去年的第4题不论从知识还是能力上都高一个档次，第18题虽然与去年的第19题在形式上类似，但从学生答卷反馈来看，由于对阅读理解与转化要求比去年的第19题要高，所以还是要难一些。
对于创新，首先是命题者的选材新，解答题个个背景新颖，如理科18题，20题，23题等，其次是立意新，如理科12题，理科16题（文科12题）文科16题，、文理科的21题，理科选修24题都为学生提供了展示创新思维的平台，这也是多数考生感觉今年数学试卷难的关键所在，也是试卷区分度高的保障。
（四）试卷结构合理，背景公平本套试题既考查了高中数学的基本概念的理解掌握，基本问题的分析求解，又有常见的基本规律，基本结论的使用，也有各部分知识，各种数学方法的综合运用，最显著的特点是，紧扣教材，注重基础，突出考查了逻辑推理能力和思维的灵活性，严谨性以及对理性思维的考查，所运用的数学知识，解题方法，解题思路与解题技巧上基本没有超出高考说明的范围，注意通解通法，淡化特殊技巧，试题表达语言和表达方式符合学生的实际，通俗易懂，有助于考生的阅读理解，试题背景材料的取向贴近教材和考生的生活实际。
（五）注重数学思想，强化能力整卷注重考查数学能力和思想方法，主要考查数形结合、化归与转化、分类与整合、函数与方程，空间想象能力、运算能力、思维能力、实践能力、如理科第4、8、10、11、12、14、20、22、23考查了数形结合思想，理科第4、5、8、11、12、13、17、20、21、23考查了函数与方程的思想；转化与化归思想几乎贯穿于每一道题目中，尤其是理科第11、12、15、16、17、21题等考查了数与形的转化，边与角的转化等，理科第16、21、24题考查了分类与整合的数学思想。
三、2012年与2013年全国高考课标卷的对比：（一）连续两年的课标卷试题与早先的课标卷试题有很大的区别近两年高考题中大纲卷试题的影子很多，如2012年的11题、12题、16题、所有的解答题（尤其是第17题），2013年的10题、12题、14题、和解答题；这为我们高三备考提供了一定的方向；（二）课标卷试题文理科试题差距逐渐增大2013年高考文理科完全相同的题只有文科第7题（理科第5题）、第11题（理科第8题）、文科第12题（理科第11题）、文科第13题（理科13题）、文科16题（理科15题）、文科21题（理科20题）、三选一试题，文科19题和理科18题为姊妹题，这为高三复习文科教师提出了更高的要求；（三）连续两年理科试卷中数列试题没有作为解答题出现，但作为选择（2013年第12题）和填空（2012年第16题）分别成了压轴题，对数列的复习应该适当的加大难度；（四）2013年试题在考察学生思维能力的基础上对学生的运算能力和化简变形能力的考察更为突出（如 填空题和解答题），考察学生一般方法的基础上更加体现了学生对考试答题技巧的掌握和考场心理状态的考察，如（11题和12题）；（五）教材新增内容在连续两年的高考中连续出现，如程序框图、三视图问题；立体几何中球的接切问题（2012年理科第11题，2013年理科第6题），数列中的递推关系求通项这两部分内容的考察力度在加大，函数的图像、性质及恒成立问题是高考对函数问题考察的主流，尤其是恒成立问题在2013年高考中得到了充分的体现； 四、典型试题分析现选取几个典型试题来对以上观点做一下印证。
（2013年第16题）、若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值是______.利用一般到特殊的数学思想建立关于,a b 的方程组后求出,a b ，并利用导数求高次函数的最值；由于函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线2x =-对称则：(0)(4)(116)(164)(1)(3)0(19)(93)f f b a b f f a b =-⇒=--+⎧⎨-=-⇒=--+⎩解得：8,15a b ==，则22()(1)(815)f x x x x =-++ 解法1：高次函数求最值利用导数进行研究22()(1)(815)f x x x x =-++，则/32()4(672)f x x x x =-++-求导后不能直接判断导函数与0的大小关系，那么能否可以解不等式呢，我们知道高次不等式的求解往往能够因式分解，那么32()672h x x x x =++-能否因式分解呢？利用特殊根的方法进行验证得到：(0)2,(1)4,(2)0h h h =--=--=，则32()672h x x x x =++-中一定有一个因式2x +，则利用多项式除法进行因式分解： 学生会多项式除法吗？如果不会直接因式分解难度不小！ 即：322()672(2)(41)h x x x x x x x =++-=++- 则/322()4(672)4(2)(41)f x x x x x x x =-++-=-++-，/()0f x =的三个根为1232,25,25x x x =-=--=-+令/()0f x >，利用序轴表根法得：在225,25x x -<<-+<--时/()0f x >，则函数()f x 单调递增；在25,25x x <-->-+时/()0f x <，则函数()f x 单调递减则()(25)(25)16f x f f =--=-+=极大值 计算量不小，但结果非常完美！解法2：函数有对称轴2x =-，则2-一定是函数的一个极值点即：/(2)0f -=则，/32()4(672)f x x x x =-++-一定能够因式分解，且一定含有一个因式2x +，利用多项式除法从而得：/322()4(672)4(2)(41)f x x x x x x x =-++-=-++-，其余同【方法1】解法3：把握函数结构特征，直接对函数()f x 因式分解利用整体代换求最值2222()(1)(815)(1)(1)(3)(5)(43)(45)f x x x x x x x x x x x x =-++=-+-++=-+++-令224(2)44t x x x =+=+-≥-，则2()(3)(5)(1)16f t t t t =-+-=--+当1t =时，max max ()16()16f t f x =⇒= 学生解题存在的问题：（1）不能够通过两组特殊值得到,a b 的方程组从而求出,a b ，而是总想只利用一组特殊值建立,a b 的等量关系后通过减元进行处理（2）求出,a b 后不能对导函数进行因式分解，一是不会利用特殊值找根，二是不能够利用/(2)0f -=对高次不等式进行因式分解；（3）求出单调区间后求极大值时（()(25)(25)16f x f f =--=-+=极大值）由于运算量大导致错误。
（2013年11题）已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，若|()f x |≥ax ，则a 的取值范围是A .(,0]-∞B .(,1]-∞C .[2,1]-D .[2,0]-解法1：注意到0x ≤时函数()f x 为二次函数的结构特征，因此采用特殊到一般的思路得到部分答案，利用答案C 、D 的区别验证1是否满足即可：∵|()f x |=22,0ln(1),0x x x x x ⎧-≤⎨+>⎩，∴由|()f x |≥ax 得，202x x x ax ≤⎧⎨-≥⎩且0ln(1)x x ax >⎧⎨+≥⎩，由202x x x ax ≤⎧⎨-≥⎩可得2a x ≥-，则a ≥-2，排除Ａ，Ｂ，当a =1时，易证ln(1)x x +<对0x >恒成立，故a =1不适合，排除C ，故选D. 解法2：数形结合法，即作出函数()f x 的图象，利用图象直观得到答案：作出函数|()|y f x =的图象，如图，|()|f x ax ≥恒成立，需函数|()|y f x =的图象永远在函数y ax =图象的上方，而函数y ax =图象是一条过原点的直线，图中的两条红线均不满足要求，而蓝线表示函数22(0)y x x x =-≤在原点处的切线，此时切线的斜率为2-，则a 的取值范围为[2,0]-.备注：在利用数形结合解决问题时，部分同学对斜率大于0的红线产生疑问，即当01a <<且a 很小时，在y 轴的左侧满足|()|f x ax ≥，在y 轴的右侧是不是也满足|()|f x ax ≥？|()|y f x =y ax=xyO即判断方程ln(1)x ax +=在0,01x a ><<的情况下是否一定有解？ 解决如下：不妨将方程转化为ln(1)x a x +=，令ln(1)()x h x x+= /2(1)ln(1)()(1)x x x h x x x -++=+，令()(1)ln(1)g x x x x =-++，则/()ln(1)0g x x =-+<，所以函数()g x 单调递减，又(0)0g =，则/()0()0g x h x <⇒<，则函数()h x 单调递减;利用极限知识可知：0ln(1)ln(1)lim1,lim 0x x x x x x →→+∞++==（涉及到了洛密达法则）则0()1h x <<，即ln(1)x a x+=在0,01x a ><<上一定有解.解法三：分离参数法解决恒成立问题由于函数()f x 为分段函数，则分两段考虑即可当0x ≥时，原命题等价转化为：ln(1)x ax +≥恒成立，分离参数得：ln(1)x a x +≤恒成立，令ln(1)()x g x x+= 由解法二中备注知识可得：0()1g x <<，则需0a ≤；当0x <时，原命题等价转化为：22x x ax -≥恒成立，即2a x ≥-恒成立，从而得到2a ≥- 综上可得：选D解法四：构造函数法解决恒成立问题当0x <时，原命题等价转化为：22x x ax -≥恒成立，即20x a --≤恒成立，令()2h x x a =--，则()h x 在0x <时单调递增，则需max ()(0)202h x h a a ==--≤⇒≥- 当0x ≥时，原命题等价转化为：ln(1)0x ax +-≥恒成立，令()ln(1)h x x ax =+-/1()1h x a x =-+ 令/11()11ax a h x a x x +-=-=-++ 分母大于0，分子中x 系数为a 与0大小关系不定，故需分类讨论： 当0a <时，显然分子小于0，则/()0h x >，故函数()h x 单调递增，则min ()(0)0h x h ==成立；当0a =时也成立当0a >时，令/111()0111ax a h x a x x x a+-=-=->⇒<-++ 由于不知道11a -与定义域中0的大小关系，故分类 （1）当11001a a->⇒<<时，函数()h x 在1(0,1)a -单调递增，在1(1,)a -+∞单调递减由于(0)0h =，则函数()h x 的图象大致如下图1或2；若为图象1，显然成立 ，若为图象2，则不成立，需要考虑函数()h x 在x →+∞的极限，显然为无穷减无穷型，不妨考虑两个函数图象的变化即ln(1),y x y ax =+=的图象变化，如下图： 当x →+∞时ln(1)0x ax +-<，则不成立； 备注：或者利用解法二中的备注来解决； （2）当1a ≥时，()h x 在11x a <-递增，在11x a>-上单调递减，则在0x >上递减，又(0)0h =，故不成立综上可得：a 的取值范围为[2,0]-.知识点与方法整理：该题虽然为小题，但在解题过程中用到了大量的知识点与方法，现整理如下： （1）当1x >-时，基本不等式ln(1)x x +≤； （2）高等数学中的洛密达法则求,0∞∞型函数的极限； （3）分离参数法； （4）构造函数法此题最好的方法是利用图象或特殊到一般结合排除法最为简单，尤其是在考场上，建议用最直接的方法得到答案，而且在构造函数时发现当01a <<时不容易解决，但能够解决。