东南大学土木工程结构设计作业如图所示，预应力混凝土两跨连续梁，截面尺寸b×h = 350mm×900mm，预应力筋线性布置如图所示（二次抛物线），且已知有效预应力为1200kN （沿全长）。

（9根直径为15.2mm 低松弛1860级钢绞线）混凝土的弹性模量为MPa E c 4103.25⨯=，（C40混凝土），抗拉强度MPa f tk3=。

（1）若作用60m kN /向下均布荷载（含自重），试计算此时跨中挠度；（2）若均布荷载增加到120m kN /（含自重），此时跨中挠度是否为60m kN /均布荷载下跨中挠度的两倍？如恒载与可变荷载各为60m kN /，梁跨中需要配HRB400钢筋的面积为多少？单位：mm10010010010000100001. 预应力梁等效荷载法由题意，预应力钢筋的轴线为二次抛物线，则有效预加力N Pe 产生一个与均布荷载作用下梁的弯矩图相似的弯矩图。

预应力筋的轴线为单波抛物线，则有效预加力N Pe 在单波抛物线内的梁中将产生一个等效的均布荷载q e ，其值:（1-1）e pn为该抛物线的垂度，即单波抛物线中点到两端点所连成直线的距离，即：（1-2）l为该抛物线在水平线上的投影长度。

对称结构选取单跨梁进行分析，其中，，，，，，代入式（1-1）和式（1-2），得：，。

作用在双跨连续梁上的等效均布荷载如图1-1所示。

p=50.4 KN/m图1-1：双跨连续梁等效均布荷载图2.连续梁弯矩等效荷载q e及恒活荷载q均为作用在双跨连续梁上的均布荷载，计算简图如图2-1所示，根据结构力学相关知识，对称双跨梁在对称荷载作用下，可以等效为一半结构进行分析，约束可以简化为一端简支、一端固定，如图2-2所示，其弯矩、剪力、支座反力及挠度如下表2-1所列。

q图2-1 连续梁均布荷载计算简图q图2-2 等效计算表2-1 一端简支一端固定梁受均布荷载的反力、剪力、弯矩和挠度荷载qA Bl反力剪力弯矩M2M1Mma x弯矩剪力R AR B扰度根据表2-1所列各式，在各均布荷载作用下，跨中截面及支座截面的弯矩值计算如表2-2所示（不考虑活荷载的最不利布置，即满跨布置均布活荷载）。

表2-2 各均布荷载下跨中截面及支座截面弯矩值（kN·m）荷载（kN/m）M1,k M2,k M max,k1 315 630 354.3752 375 750 421.8753 750 1500 843.754 375 750 421.8755 375 750 421.875对于使用等效荷载法分析后后张法预应力混凝土超静定梁，其综合弯矩可以分为主弯矩和次弯矩两部分，其中，主弯矩为预加力值与偏心距的乘积，次弯矩为综合弯矩减去主弯矩（也可理解为由等效荷载作用下，中间支座反力所产生的附加弯矩）。

预应力筋等效弯矩法的综合弯矩图、主弯矩图、次弯矩图如图2-3至2-5所示。

630315315354.4354.4图2-3 预应力等效荷载的综合弯矩图（kN·m ）420420420图2-3 预应力等效荷载的主弯矩图（kN·m ）210105105图2-4 预应力等效荷载的主弯矩图（kN·m ）3. 裂缝控制验算对于裂缝控制验算，应取支座及跨中最不利截面进行验算。

由于跨内最不利截面的位置及弯矩与多种因素有关，一般情况下，可取跨中截面和荷载作用下的最大弯矩截面进行验算，即对支座截面和跨中弯矩最大截面验算。

3.1. 计算截面特征矩形截面梁的截面几何性质如表3-1所列（不考虑后张法预应力孔道对截面积及截面惯性矩的影响）。

表3-1 矩形截面梁的截面几何性质3.2.验算裂缝控制等级对于问题（1）、（2），可定义三种不同的荷载组合分别计算，荷载组合如表3-2所示。

表3-2 荷载组合荷载组合荷载工况组合1组合2组合33.2.1.按荷载效应的标准组合对于预应力混凝土梁，荷载效应的标准组合下抗裂验算边缘的混凝土法向应力及扣除全部预应力损失后在抗裂度验算边缘的混凝土预压应力计算公式如式（3-1）及式（3-2）所示（考虑到截面积相对于预应力孔道面积及预应力筋的面积大的多，实际计算时用I、A代替I0、I n、A n计算）。

（1）中间支座截面：(3-1) （2）跨中截面：(3-2)梁的标准组合弯矩值为：，按荷载效应的标准组合时的抗裂等级验算如表3-2所示。

表3-2 荷载效应标准组合抗裂等级验算组合截面（kNm）（MPa）（MPa）（MPa）支座750 15.87 17.14 -1.27<0，一级组合1跨中421.88 8.93 11.31 -2.38<0，一级支座1500 31.74 17.14 14.6>f tk=3.0，三级组合2跨中843.75 17.86 11.31 6.55>f tk=3.0，三级支座1500 31.74 17.14 14.6>f tk=3.0，三级组合3跨中843.75 17.86 11.31 6.55>f tk=3.0，三级3.2.2.按荷载效应的准永久组合根据《建筑结构荷载规范》（GB50009-2012）表5.1.1，梁的活荷载准永久值系数取为0.5。

梁的准永久组合弯矩值为：，按荷载效应的准永久组合时的抗裂等级验算如表3-3所示。

表3-3 荷载效应准永久组合抗裂等级验算组合截面（kNm）（MPa）（MPa）（MPa）支座750 15.87 17.14 -1.27<0，一级组合1跨中421.88 8.93 11.31 -2.38<0，一级支座1500 31.74 17.14 14.6>f tk=3.0，三级组合2跨中843.75 17.86 11.31 6.55>f tk=3.0，三级支座1125 23.81 17.14 6.67>f tk=3.0，三级组合3跨中632.81 13.40 11.31 2.09<f tk=3.0，三级对于裂缝控制等级为三级时，需要验算荷载标准组合的裂缝宽度。

根据《混凝土结构设计规范》（GB50010-2010）表3.4.5查环境类别为二类a（一般环境）时预应力混凝土构件裂缝等级为三级时的。

对荷载组合3，即恒活荷载各为60 kN/m时，进行裂缝宽度的验算。

4.正截面受弯承载力计算当内力按弹性理论进行分析时，受弯承载力计算应考虑次弯矩的作用，但次弯矩的荷载系数取为1.0（跨中截面处的应取处对应次弯矩）。

对于正截面受弯承载力计算，应取支座截面和跨内最不利截面进行计算。

由于跨内最不利截面的位置及内力不易确定，因此，在一般情况下可取恒荷载作用下弯矩最大的截面进行计算（不考虑活荷载的不利布置）。

支座截面与跨中截面弯矩设计值计算公式为式（4-1）及式（4-2）（1）中间支座截面：(4-1)（2）跨中截面：(4-2)各工况组合下，预应力梁的正截面弯矩设计值如下表4-1所列。

中间支座弯矩跨中弯矩组合1 -802.5 648.23组合2 -1815 1217.81组合3 -1740 1175.644.1. 中间支座截面根据《混凝土结构设计规范》（GB50010-2010）,连续梁跨中截面相关计算过程如表4-2所列（取为40mm ,取为100mm ,则近似取）。

表4-2 各工况组合下预应力梁中间支座截面配筋计算计算公式 `组合1 组合2 组合3 M B (m kN ⋅)-802.5 -1815 -1740 0h (mm)820 820 820 210Bs c M f bh αα=0.178 0.4040.387112s ξα=--0.198 0.562>ξb =0.518 0.525>ξb =0.518 x=ζh 0162.36 取ξb h 0=424.76取ξb h 0=424.76-1407<03927 3301 2min/mm s A ， 673.31 673.31 673.31 实配钢筋（2mm ）4251964 8253436 72534364.2. 跨中截面跨中截面取距边支座处的截面进行计算，近似取，取，则可取。

计算过程如表4-3所示。

表4-3 各工况组合下预应力梁跨中截面配筋计算计算公式 `组合1 组合2 组合3 M B (m kN ⋅)648.23 1217.81 1175.64 0h (mm)820 820 820 210Bs c M f bh αα=0.144 0.271 0.262 112s ξα=--0.156 0.323 0.310 x=ζh 0127.92 264.86 254.20 <0692 494 2min/mm s A ， 673.31 673.31 673.31 实配钢筋（2mm ）3251473 3251473 32514735. 预应力混凝土受弯构件的变形验算 5.1. 考虑长期影响时刚度B 的计算 5.1.1. 短期刚度B s 计算对于组合1，其裂缝控制等级为一级，即预应力混凝土受拉区不出现拉应力，其短期刚度B s 计算公式见式（5-1），对于组合2和组合3，其裂缝控制等级为三级，允许出现裂缝，其短期刚度计算公式见式（5-2）。

(5-1)(5-2) 其中：()注：1.矩形截面，=1.55，=02.矩形截面，h小于400取400mm，大于1600，取1600mm。

3.为纵向受拉钢筋配筋率，，其中对于灌浆后的后张法，。

对于3种工况组合下梁的跨中截面短期刚度计算如下表5-1所列：计算过程组合1 组合2 组合3 裂缝控制等级一级三级三级计算截面纵筋配筋率6 64.0 4.01.2922.192M k843.75 843.7511.31 11.310.706 0.7061.91 1.91短期刚度B s（Nm2） 5.874×1014 3.080×1014 3.080×1014 5.1.2.考虑长期荷载影响的刚度对于预应力梁，取，对于等截面梁，取处弯矩计算B和挠度f 。

考虑荷载的长期影响下预应力梁的刚度B的计算如式（5-3）所示：(5-3)5.2.计算长期挠度f根据表2-1的连续梁跨中最大挠度计算公式，对于长期荷载影响下连续梁的跨中最大扰度f max计算见式（5-4）。

(5-4)其中为横荷载和活荷载按标准效应组合的梁线荷载。

则三种组合的长期扰度计算如表5-1所列。

表5-2 计算长期扰度f组合1 组合2 组合360 120 120梁线荷载（kN/m）短期刚度B s（Nm2） 5.874×1014 3.080×1014 3.080×1014长期刚度B（Nm2） 2.937×1014 1.540×1014 1.760×1014跨中扰度f max（mm）11.07 42.23 36.955.3.计算使用阶段预应力反拱值预应力筋考虑预应力损失后，对于短期预应力反拱值及考虑长期作用下的预应力反拱值计算见式（5-5）。