东南大学土木工程结构设计作业如图所示，预应力混凝土两跨连续梁，截面尺寸b×h = 350mm×900mm，预应力筋线性布置如图所示（二次抛物线），且已知有效预应力为1200kN （沿全长）。

（9根直径为15.2mm 低松弛1860级钢绞线）混凝土的弹性模量为MPa E c 4103.25⨯=，（C40混凝土），抗拉强度MPa f tk3=。

（1）若作用60m kN /向下均布荷载（含自重），试计算此时跨中挠度；（2）若均布荷载增加到120m kN /（含自重），此时跨中挠度是否为60m kN /均布荷载下跨中挠度的两倍？如恒载与可变荷载各为60m kN /，梁跨中需要配HRB400钢筋的面积为多少？单位：mm10010010010000100001. 预应力梁等效荷载法由题意，预应力钢筋的轴线为二次抛物线，则有效预加力N Pe产生一个与均布荷载作用下梁的弯矩图相似的弯矩图。

预应力筋的轴线为单波抛物线，则有效预加力N Pe 在单波抛物线内的梁中将产生一个等效的均布荷载q e ，其值:q p =8N Pe e pnl 2（1-1）e pn 为该抛物线的垂度，即单波抛物线中点到两端点所连成直线的距离，即：e pn =e pn ，A +e pn ，B2+e pn ，m（1-2）l 为该抛物线在水平线上的投影长度。

对称结构选取单跨梁进行分析，其中，e pn ，A =0，e pn ，A =350 mm ，e pn ，m =−350mm ，l =10m ，N Pe =1200KN ，代入式（1-1）和式（1-2），得： e pn =525mm ， q p =50.4 KN/m 。

作用在双跨连续梁上的等效均布荷载如图1-1所示。

图1-1：双跨连续梁等效均布荷载图2. 连续梁弯矩等效荷载q e 及恒活荷载q 均为作用在双跨连续梁上的均布荷载，计算简图如图2-1所示，根据结构力学相关知识，对称双跨梁在对称荷载作用下，可以等效为一半结构进行分析，约束可以简化为一端简支、一端固定，如图2-2所示，其弯矩、剪力、支座反力及挠度如下表2-1所列。

q p=50.4 KN/mq图2-1 连续梁均布荷载计算简图图2-2 等效计算根据表2-1所列各式，在各均布荷载作用下，跨中截面及支座截面的弯矩值计算如表2-2所示（不考虑活荷载的最不利布置，即满跨布置均布活荷载）。

表2-2 各均布荷载下跨中截面及支座截面弯矩值（kN·m）荷载（kN/m）M1,k M2,k M max,k1q p=50.4315630354.3752g1,k=60375750421.8753g2,k=1207501500843.754q3,k=60375750421.8755g3,k=60375750421.875对于使用等效荷载法分析后后张法预应力混凝土超静定梁，其综合弯矩M p可以分为主弯矩M p1和次弯矩M p2两部分，其中，主弯矩M p1为预加力值N Pe与偏心距e pn的乘积，次弯矩M p2为综合弯矩减去主弯矩（也可理解为由等效荷载作用下，中间支座反力所产生的附加弯矩）。

预应力筋等效弯矩法的综合弯矩M p图、主弯矩M p1图、次弯矩M p2图如图2-3至2-5所示。

图2-3 预应力等效荷载的综合弯矩M p图（kN·m）图2-3 预应力等效荷载的主弯矩M p1图（kN·m）图2-4 预应力等效荷载的主弯矩M p2图（kN·m）3.裂缝控制验算对于裂缝控制验算，应取支座及跨中最不利截面进行验算。

由于跨内最不利截面的位置及弯矩与多种因素有关，一般情况下，可取跨中截面和荷载作用下的最大弯矩截面进行验算，即对支座截面和跨中弯矩最大截面验算。

3.1.计算截面特征矩形截面梁的截面几何性质如表3-1所列（不考虑后张法预应力孔道对截面积及截面惯性矩的影响）。

表3-1 矩形截面梁的截面几何性质b×ℎ350mm×900mmA315000 mm2I 2.12625×1010 mm4y t450mmy c450mm3.2.验算裂缝控制等级对于问题（1）、（2），可定义三种不同的荷载组合分别计算，荷载组合如表3-2所示。

表3-2 荷载组合210荷载组合荷载工况组合1q p+g1,k组合2q p+g2,k组合3q p+q3,k+g3,k3.2.1.按荷载效应的标准组合对于预应力混凝土梁，荷载效应的标准组合下抗裂验算边缘的混凝土法向应力σck及扣除全部预应力损失后在抗裂度验算边缘的混凝土预压应力σpc计算公式如式（3-1）及式（3-2）所示（考虑到截面积相对于预应力孔道面积及预应力筋的面积大的多，实际计算时用I、A代替I0、I n、A n计算）。

（1）中间支座截面：σck=−M k,2∙y0cI0≈−M k,2∙y cI(3-1)σpc=N peA n+−M pc,2∙y ncI n≈N peA+−M pc,2∙y cI（2）跨中截面：σck=M k,max∙y0tI0≈M k,max∙y tI(3-2)σpc=N peA n+M pc,max∙y ntI n≈N peA+M pc,max∙y tI梁的标准组合弯矩值为：M k=M g,k+M q,k，按荷载效应的标准组合时的抗裂等级验算如表3-2所示。

表3-2 荷载效应标准组合抗裂等级验算组合截面M k（kNm）σck（MPa）σpc（MPa）σck−σpc（MPa）组合1支座75015.8717.14-1.27<0，一级跨中421.888.9311.31-2.38<0，一级组合2支座150031.7417.1414.6>f tk=3.0，三级跨中843.7517.8611.31 6.55>f tk=3.0，三级组合3支座150031.7417.1414.6>f tk=3.0，三级跨中843.7517.8611.31 6.55>f tk=3.0，三级3.2.2.按荷载效应的准永久组合根据《建筑结构荷载规范》（GB50009-2012）表5.1.1，梁的活荷载准永久值系数φq取为0.5。

梁的准永久组合弯矩值为：M q=M g,k+φq M q,k，按荷载效应的准永久组合时的抗裂等级验算如表3-3所示。

表3-3 荷载效应准永久组合抗裂等级验算组合截面M k（kNm）σcq（MPa）σpc（MPa）σcq−σpc（MPa）组合1支座75015.8717.14-1.27<0，一级跨中421.888.9311.31-2.38<0，一级组合2支座150031.7417.1414.6>f tk=3.0，三级跨中843.7517.8611.31 6.55>f tk=3.0，三级组合3支座112523.8117.14 6.67>f tk=3.0，三级跨中632.8113.4011.31 2.09<f tk=3.0，三级对于裂缝控制等级为三级时，需要验算荷载标准组合的裂缝宽度w max≤w lim。

根据《混凝土结构设计规范》（GB50010-2010）表3.4.5查环境类别为二类a（一般环境）时预应力混凝土构件裂缝等级为三级时的w lim=0.1mm。

对荷载组合3，即恒活荷载各为60 kN/m时，进行裂缝宽度的验算。

4.正截面受弯承载力计算当内力按弹性理论进行分析时，受弯承载力计算应考虑次弯矩的作用，但次弯矩的荷载系数取为1.0（跨中截面处的M p2应取x=3l处对应次弯矩）。

8对于正截面受弯承载力计算，应取支座截面和跨内最不利截面进行计算。

由于跨内最不利截面的位置及内力不易确定，因此，在一般情况下可取恒荷载作用下弯矩最大的截面进行计算（不考虑活荷载的不利布置）。

支座截面与跨中截面弯矩设计值计算公式为式（4-1）及式（4-2）（1）中间支座截面：M B1=1.2M g,k+1.4M q,k+1.0M p2M B2=1.35M g,k+1.4×0.7M q,k+1.0M p2(4-1)M B=max{M B1,M B2}（2）跨中截面：M max1=1.2M g,kmax+1.4M q,kmax+1.0M p2(4-2) M max2=1.35M g,kmax+1.4×0.7M q,kmax+1.0M p2M max=max{M max1,M max2}各工况组合下，预应力梁的正截面弯矩设计值如下表4-1所列。

表4-1 各工况下预应力梁弯矩设计值（kN·m）4.1.中间支座截面根据《混凝土结构设计规范》（GB50010-2010）,连续梁跨中截面相关计算过程如表4-2所列（αs取为40mm,αp取为100mm,则近似取ℎ0=820mm）。

表4-2 各工况组合下预应力梁中间支座截面配筋计算425 1964 825343672534364.2.跨中截面跨中截面取距边支座x=38l处的截面进行计算，近似取ℎ0p= 760mm，取ℎ0s=860mm，则可取ℎ0=820mm。

计算过程如表4-3所示。

表4-3 各工况组合下预应力梁跨中截面配筋计算325 1473 325147332514735.预应力混凝土受弯构件的变形验算5.1.考虑长期影响时刚度B的计算5.1.1.短期刚度B s计算对于组合1，其裂缝控制等级为一级，即预应力混凝土受拉区不出现拉应力，其短期刚度B s计算公式见式（5-1），对于组合2和组合3，其裂缝控制等级为三级，允许出现裂缝，其短期刚度计算公式见式（5-2）。

B s=0.85E c I0≈0.85E c I(5-1)B s=0.85E c I0k cr+(1−k cr)ω≈0.85E c Ik cr+(1−k cr)ω(5-2)其中：k cr=M crM k =(σpc+γf tk)W0M k(k cr≤1)γ=(0.7+120ℎ)γmω=(1+0.21αEρ)(1+0.45γf)−0.7注：1.矩形截面，γm=1.55，γf=02.矩形截面，h小于400取400mm，大于1600，取1600mm。

3.ρ为纵向受拉钢筋配筋率，ρ=α1A p+A sbℎ0，其中对于灌浆后的后张法，α1=1.0。

对于3种工况组合下梁的跨中截面短期刚度计算如下表5-1所列：表5-1 梁跨中截面短期刚度计算5.1.2.考虑长期荷载影响的刚度对于预应力梁，取θ=2，对于等截面梁，取M max处弯矩计算B和挠度f 。

考虑荷载的长期影响下预应力梁的刚度B的计算如式（5-3）所示：B=M k(θ−1)M q+M kB s=M kM q+M kB s(5-3)5.2.计算长期挠度f根据表2-1的连续梁跨中最大挠度计算公式，对于长期荷载影响下连续梁的跨中最大扰度f max 计算见式（5-4）。