（2）设星球的第一宇宙速度为 v，根据万有引力等于重力，重力提供向心力，则有：
mv2 mg
R
v gR 3103m/s
3．如图所示,P、Q 为某地区水平地面上的两点,在 P 点正下方一球形区域内储藏有石油.假 定区域周围岩石均匀分布,密度为 ρ;石油密度远小于 ρ,可将上述球形区域视为空腔.如果没有 这一空腔,则该地区重力加速度(正常值)沿竖直方向;当存在空腔时,该地区重力加速度的大小 和方向会与正常情况有微小偏离.重力加速度在原竖直方向(即 PO 方向)上的投影相对于正常 值的偏离叫做“重力加速度反常”.为了探寻石油区域的位置和石油储量,常利用 P 点附近重力 加速度反常现象.已知引力常数为 G.
(1)设球形空腔体积为 V,球心深度为 d(远小于地球半径), PQ x, 求空腔所引起的 Q 点处的
重力加速度反常; (2)若在水平地面上半径为 L 的范围内发现:重力加速度反常值在 δ 与 kδ(k>1)之间变化,且重 力加速度反常的最大值出现在半径为 L 的范围的中心.如果这种反常是由于地下存在某一球 形空腔造成的,试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积.
(2)由⑤式得,重力加速度反常 Δg′的最大值和最小值分别为
GV (Δg′)max= d 2 ⑥
G Vd (Δg′)min= (d 2 L2 )3/2 ⑦
由题设有(Δg′)max=kδ,(Δg′)min=δ⑧ 联立⑥⑦⑧式得,地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为
d
L k 2/3
V 1
L2k G (k 2/3
GM
R h2
【解析】
【分析】
根据万有引力提供向心力 G
Mm r2
m( 2 )2 r T
m v2 r
m2r
ma 求解角速度、周期、向
心加速度等。
【详解】
（1）设卫星的角速度为 ω，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：
mM
G R h2 ＝mω2(R+h)，
解得卫星角速度 ＝
GM R h R h2
GMT 2 4 2
R
（3）h1=
h2
【解析】
【分析】
（1）根据角速度与周期的关系可以求出静止轨道的角速度；
（2）根据万有引力提供向心力可以求出静止轨道到地面的高度； （3）根据万有引力提供向心力可以求出倾斜轨道到地面的高度； 【详解】
（1）根据角速度和周期之间的关系可知：静止轨道卫星的角速度= 2π T
故人造卫星的角速度 ＝
GM R h ．
R h2
（2）由
G
Mm Rh
2
m（R h）4 2 T2
得周期T 2（R h） R h GM
故人造卫星绕地球运行的周期为T 2（R h） R h ． GM
mM
GM
（3）由于 G R h2 =m a 可解得，向心加速度 a= R h2
GM
(2)由于月球自转的影响，在“赤道”上，有
解得：
。
5．地球的质量 M=5.98×1024kg，地球半径 R=6370km，引力常量 G=6.67×10－11N·m2/kg2，一 颗绕地做圆周运动的卫星环绕速度为 v=2100m/s，求： （1）用题中的已知量表示此卫星距地面高度 h 的表达式
（2）此高度的数值为多少？（保留 3 位有效数字）
（1）求静止轨道卫星的角速度 ω； （2）求静止轨道卫星距离地面的高度 h1； （3）北斗系统中的倾斜同步卫星，其运转轨道面与地球赤道面有一定夹角，它的周期也是 T，距离地面的高度为 h2．视地球为质量分布均匀的正球体，请比较 h1 和 h2 的大小，并说 出你的理由．
【答案】（1） =
2π T
；（2） h1= 3
高考物理万有引力定律的应用答题技巧及练习题(含答案)含解析
一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用
1．2018 年是中国航天里程碑式的高速发展年，是属于中国航天的“超级 2018”．例如，我 国将进行北斗组网卫星的高密度发射，全年发射 18 颗北斗三号卫星，为“一带一路”沿线及 周边国家提供服务．北斗三号卫星导航系统由静止轨道卫星（同步卫星）、中轨道卫星和 倾斜同步卫星组成．图为其中一颗静止轨道卫星绕地球飞行的示意图．已知该卫星做匀速 圆周运动的周期为 T，地球质量为 M、半径为 R，引力常量为 G．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
本题考查考虑天体自转时，天体两极处和赤道处重力加速度间差异与天体自转的关系。
【详解】
(1)科学家在“两极”处竖直上抛物体时，由匀变速直线运动的公式
解得月球“两极”处的重力加速度
同理可得月球“赤道”处的重力加速度
在“两极”没有月球自转的影响下，万有引力等于重力，
解得月球的质量
（2）求 B 做圆周运动的周期TB
（3）如卫星 B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻 A、B 两卫星相距最近（O、B、A 在 同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？
【答案】（1） TA
2 0
（2） TB
2
r3
t
（3）
GM
【解析】 【分析】
2
GM r3
0
【详解】
（1）A
的周期与地球自转周期相同
故人造卫星的向心加速度为 R h2 ．
【点睛】
解决本题的关键知道人造卫星绕地球运行靠万有引力提供向心力，即
2．如图所示，假设某星球表面上有一倾角为 θ＝37°的固定斜面，一质量为 m＝2.0 kg 的小 物块从斜面底端以速度 9 m/s 沿斜面向上运动，小物块运动 1.5 s 时速度恰好为零.已知小物 块和斜面间的动摩擦因数为 0.25，该星球半径为 R＝1.2×103km.试求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
【答案】(1)
GVd (d 2 x2 )3/2
(2)V
L2k G(k 2/3
. 1)
【解析】 【详解】 (1)如果将近地表的球形空腔填满密度为 ρ 的岩石,则该地区重力加速度便回到正常值.因此, 重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力来计算,
G
Mm r2
mΔg①
式中 m 是 Q 点处某质点的质量,M 是填充后球形区域的质量.M=ρV②
GMm ＝mg R2
M＝ gR2 G
（2）根据
G
Mm r2
＝m
v2 r
其中 M
gR 2 G
，r=R+h
解得
vR g Rh
8．用弹簧秤可以称量一个相对于地球静止的小物体 m 所受的重力，称量结果随地理位置 的变化可能会有所不同。已知地球质量为 M，自转周期为 T，万有引力常量为 G．将地球
视为半径为 R、质量均匀分布的球体。 （1）求在地球北极地面称量时弹簧秤的读数 F0，及在北极上空高出地面 0.1R 处称量时弹 簧秤的读数 F1； （2）求在赤道地面称量时弹簧秤的读数 F2； （3）事实上地球更接近一个椭球体，如图所示。如果把小物体放在北纬 40°的地球表面 上，请定性画出小物体的受力分析图，并画出合力。
【答案】（1） h
GM v2
R （2）h=8.41×107m
【解析】
试题分析：（1）万有引力提供向心力，则
解得： h
GM v2
R
（2）将（1）中结果代入数据有 h=8.41×107m
考点：考查了万有引力定律的应用
6．已知某半径与地球相等的星球的第一宇宙速度是地球的 1 倍．地球表面的重力加速度 2
F2
GmM R2
4 2Rm T2
（3）如图所示
9．如图所示，A 是地球的同步卫星．另一卫星 B 的圆形轨道位于赤道平面内．已知地球自
转角速度为0 ，地球质量为 M ，B 离地心距离为 r ，万有引力常量为 G，O 为地球中
心，不考虑 A 和 B 之间的相互作用．（图中 R、h 不是已知条件）
（1）求卫星 A 的运行周期TA
是
T，根据牛顿运动定律， G
Mm (R h2 )2
=m(R
h2
)(
2 T
)2
解得： h2 = 3
GMT 2 4 2
R
因此 h1= h2．
故本题答案是：（1） =
2π T
；（2） h1= 3
GMT 2 4 2
R
（3）h1= h2
【点睛】
对于围绕中心天体做圆周运动的卫星来说，都借助于万有引力提供向心力即可求出要求的 物理量．
【答案】(1)
g星
=
1 4
g0
(2) v0Leabharlann s 42g0 H L
(3) T
1 [1 4
s2 2(H
L)L ]mg0
【解析】
【分析】
【详解】
（1）由万有引力等于向心力可知 G
Mm R2
m
v2 R
G
Mm R2
mg
可得 g v2 R
则
g星＝
1 4
g0
（2）由平抛运动的规律：
H
L
1 2
g星t 2
s v0t
7．一颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，离地高度为 h．已知地球半径为 R，地球表面 的重力加速度为 g，万有引力常量为 G．求： （1）地球的质量； （2）卫星绕地球运动的线速度.
【答案】（1） gR2 （2） R g
G
Rh
【解析】
【详解】
（1）地表的物体受到的万有引力与物体的重力近似相等即：
解得：
解得 v0
s 4
2g0 H L
（3）由牛顿定律，在最低点时： T
mg星＝m
v2 L
1
s2
解得： T
4
1
2(H
L)L