14

( x y z )dzdydx
2 2 2
xyz
f2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,
sqrt(x),x^2),x,1,2)
vf2=vpa(f2)
% 结果用32位数字表示
f2 = 1610027357/6563700-6072064/348075*2^(1/2) +14912/4641*2^(1/4)+64/225*2^(3/4) vf2 = 224.92153573331143159790710032805


了解符号级数和符号积分变换
掌握符号函数图形的绘制

掌握符号方程和方程组的求解
3

13.1 符号极限
极限是微积分的基础，微分和积分都是“无穷
逼近”时的结果。
函数limit用于求极限，其格式为：

limit(f,x,a) —— 计算当变量x趋近于常数a时，f(x) 函数的极限值。
limit(f,a) —— 计算findsym(f)确定的自变量，即x 趋近于a时f(x)的极限值。 limit(f,x,a,'right') —— 变量x从右边趋近于a。 limit(f,x,a,'left') —— 变量x从左边趋近于a。
% 定义符号变量 % 求导运算
8
df =

例4：求导数
t3 d a dx t cos x ln x
syms
[ 0, [ -t*sin(x),
d2 dt 2
0] 1/x ]
a t x;
a t3 t3 d2 a = dfdt2 t cos x ln x dxdt t cos x ln x [ 0, 6*t ] [ 0, 0]
9

2、求偏导数的jacobian命令
设列向量每一个分量
w,v 为
w( x, y ) 自变量 x,y 的函数，即 f v ( x, y )
( w, v) 则jacobian命令计算矩阵 J ( x, y )
Jacobian命令的一般形式为：
11

13.3 符号函数积分
其语法格式分别为：
R = int(S)
R = int(S,v) R = int(S,a,b)
R = int(S,v,a,b)
其中：
S：为符号表达式，可能有多个参数 v：以 S 中的符号 v 进行求积分运算 a,b：定积分下限、上限，不指表示求不定积分
12
1 dx 例6：求积分 2 1 x
5


例2：计算函数的各种极限。
syms x
a t h;
limit(sin(x)/x)
limit(1/x,x,0,‘right’)
% sin(x)/x 趋于0 (默认)
% 1/x趋于0的右极限
limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0) v
= [(1 + a/x)^x, exp(-x)]; % x趋于无穷时的左极限

limit(v,x,inf,'left')
ans = 1
ans = inf ans = cos(x) ans = [ exp(a), 0]
6

13.2 符号函数微分与求导

1、单变量函数

函数的一般引用格式为：
diff(S) —— 由findsym函数确定默认变量 diff(S, 'v')
第13讲 符号微积分 与符号方程求解

数值微积分中可以进行极限、导数、微分、积
分、级数展开等解析运算，也可以进行多元函
数的微积分运算，同样符号运算也可以进行上
述各种操作。

在运算的同时，结合图形的显示可以更好地帮
助我们理解微积分的概念和计算。
2

本讲教学目标


掌握符号极限运算
掌握符号微积分运算
diff(S, n)
diff(S, 'v', n)

其中： S：符号函数表达式，可能有多个符号参数 v：以符号 v 进行微分或求导运算 n：对S进行n次求导，默认为1
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例3：求导数
d sin x dx

2
x = sym('x'); diff(sin(x^2)) ans = 2*cos(x^2)*x
4



例1：求极限
x(e sin x 1) 2(e tgx 1) lim x 0 sin 3 x

syms x;
%定义符号变量
%确定符号表达式

f=(x*(exp(sin(x))+1)-2*(exp(tan(x))-1))/sin(x)^3； %求函数的极限 w=limit(f) w = -1/2
y r cos sin z r sin


% 分别用 l 和 f 来表示两个角度
syms r l f x = r*cos(l)*cos(f); % 定义符号变量


y = r*cos(l)*sin(f);
z = r*sin(l); J = jacobian([x; y; z], [r l f])

syms x

int(1/(1+x^2))
ans = atan(x)

例7：计算二重不定积分
syms x y

xe
xy
dxdy
F = int(int('x*exp(-x*y)','x'),'y') F=
1/y*exp(-x*y)
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例8：求积分
syms

1 x
2
x2
x2 y xy
f=[a,t^3;t*cos(x), df=diff(f) dfdt2=diff(f,t,2)
log(x)];
dfdxdt = %求矩阵f对x的导数 [ 0, 0] [ -sin(x), 0] %求矩阵 f对t的二阶导数
dfdxdt=diff(diff(f,x),t)
%求二阶混合导数
J = jacobian([w;v],[x,y])
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J= [ cos(l)*cos(f), -r*sin(l)*cos(f), -r*cos(l)*sin(f) ] 例5：直角坐标系转化为球形坐标，即， [ cos(l)*sin(f), -r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*cos(f) ] x r cos cos sin(l), [ r*cos(l), 0]