证：
Sn
=
1 (1 − 2
1) + 3
1 (1 23
−
1) + 5
1 (1 25
−
1) ++ 7
1( 1 − 2 2n −1
1) 2n + 1
=
1 (1 − 2
1) 2n + 1
=
n 2n + 1
14.求和：
Sn
=
1 1× 4
+
4
1 ×
7
+
7
1 × 10
+
+
(3n
−
1 2)(3n
+
1)
=
n 3n +
98 99 99 100
=1− 1 100
= 99 100
2. 计算： 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120
6
=2+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156 182 210 240
符号所代表的数的数的积是多少？
分析与解：减法是加法的逆运算， 1 = 1 + 1 就变成 1 − 1 = 1 ，与前
6 () <>
6( ) < >
面提到的等式 1 − 1 = 1 相联系，便可找到一组解，即 1 = 1 + 1
n n + 1 n(n + 1)
6 7 42
另外一种方法
设 n、x、y 都是自然数，且 x ≠ y ，当 1 = 1 + 1 时，利用上面的变加为减的想法， nxy
= 2×(1 − 1 ) 2 16
= 1− 1 8
=7 8
3. 已知 x、y 是互不相等的自然数，当 1 = 1 + 1 时，求 x + y 。 18 x y
x + y 的值为：75，81，96，121，147，200，361。 因为 18 的约数有 1，2，3，6，9，18，共 6 个，所以有 1 = 1 + 1 = 1 + 1
11111
11 1 1
= 2 × (1 − + − + − + … + − + − )
22334
99 100 100 101
1 = 2 × (1 − )
101 = 2 × 100
101
= 200 101
= 1 99 101
例 3. 设符号（
）、<
>代表不同的自然数，问算式 1 = 1 + 1 中这两个 6 ( )< >
1996 × 1997 1996 1997
上面 12 个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为 0，这
一来问题解起来就十分方便了。
1
+
1
+
1
+… +
1
+
1
1985 × 1986 1986 × 1987 1987 × 1988
1995 × 1996 1996 × 1997
+1 1997
1
证： Sn
=
1 (1 − 3
1) + 4
1 (1 34
−
1) + 7
1 (1 37
− 1 )++ 10
1( 1 3 3n − 2
−
1) 3n + 1
= 1 (1 − 1 ) = n 3 3n + 1 3n + 1
15.求和：
Sn
=
1 1× 3
+
1 2×
4
+
1 3×5
+
1 4×6
++
1 n(n +
2)
19、1 + 3 + 5 + 7 +（2n − 1）= n2
20、12 + 22 + + n2 = n(n + 1)(2n + 1) 6
21、12 + 32 + 52 + +（2n − 1）2 = n(2n + 1)(2n − 1) = n × (4n2 − 1)
3
3
22、13 + 23 + + n3 = (1 + 2 + n)2 = n2 (n + 1)2
n × (n
1 + 1) ×
(n
+
2)
=
1 2
n×
1 (n
+ 1)
−
(n
1 + 1) × (n
+
2)
n×
(n
+
1)
×
1 (n +
2)
×
(n
+
3)
=
1 3
n×
(n
+
1 1) ×
(n
+
2)
−
(n
+
1)
×
(n
1 +
2)
×
(n
+
3)
5、 a + b = a + b = 1 + 1 a×b a×b a×b b a
6、 a2 + b2 = a2 + b2 = a + b a×b a×b a×b b a
7、 1× 2 + 2 × 3 + 3× 4 + ...... + (n − 1) × n = 1 (n − 1)n(n + 1) 3
8、 1× 2 × 3 + 2 × 3× 4 + 3× 4 × 5 + ...... + (n − 2) × (n − 1) × n = 1 (n − 2)(n − 1)n(n + 1) 4
1
12.求和：
Sn
=
1 1× 2
+
1 2×3
+
1 3×
4
+
1 4×5
+
...... +
1 n(n + 1)
=
n n+1
证
：
Sn
=
(1 −
1) 2
+
(1 2
−
1) 3
+
(1 3
−
1) 4
+
(1 4
−
1) 5
+
+
(1 n
−
1) n+1
=1−
1 n+1
=
n n+1
11 1 1
1
n
13.求和： Sn = 1× 3 + 3× 5 + 5 × 7 + 7 × 9 + + (2n − 1)(2n + 1) = 2n + 1
1( 1 2 2×3
−
1) 3× 4
++
1[ 1 2 n(n + 1)
−
(n
1 + 1)(n
+
] 2)
= 1[1 −
1
]
2 2 (n + 1)(n + 2)
17、1 + 2 + 3n = n(n + 1) 2
18、1 + 2 + 3 + +（n −1）+ n +（n −1）+ + 3 + 2 + 1 = n2
分析与解答：
1
= 1−1
1985 × 1986 1985 1986
1
= 1−1
1986 × 1987 1986 1987
1
= 1−1
1987 × 1988 1987 1988
……
1
= 1−1
1994 × 1995 1994 1995
3
1
= 1−1
1995 × 1996 1995 1996
1
= 1−1
【模拟试题】（答题时间：243; 1 + 1 +…+ 1 + 1
1×2 2×3 3×4
98 × 99 99 × 100
2. 计算： 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120
=
1 (1 + 3
1 2
−
1 n+1
−
n
1 +
) 2
证： Sn
=
1 (1 − 2
1) + 3
1 (1 22
−
1) + 4
1 (1 23
−
1) + 5