—奥数裂项法同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。

（一）阅读思考例如1314112-=，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：111111 1111n nnn nnn n n nn n n n-+=++-+ =+-+=+()()()():即11111 n n n n-+=+()或11111 n n n n ()+=-+下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。

【典型例题】例1. 计算：119851986119861987119871988119941995⨯+⨯+⨯++⨯……+⨯+⨯+1 199519961 1996199711997分析与解答："1 1985198611985119861 1986198711986119871 1987198811987119881 199419951199411995⨯=-⨯=-⨯=-⨯=-……1 1995199611995119961 199619971199611997⨯=-⨯=-上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。

11985198611986198711987198811995199611996199711997⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+… =-+-+-++-+-+=119851198611986119871198711988119951199611996119971199711985…… 像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。

例2. 计算：1111211231123100+++++++++++…… :公式的变式11221+++=⨯-…n n n ()当n 分别取1，2，3，……，100时，就有112121122231123234112342451121002100101=⨯+=⨯++=⨯+++=⨯+++=⨯ (111121123112100)212223234299100210010121121231341991001100101211212131314199110011001101211101++++++++++=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯-+-+-++-+-=⨯-……………()()()=⨯==2100101200101199101例3. 设符号（ ）、< >代表不同的自然数，问算式1611=+<>()中这两个符号所代表的数的数的积是多少`分析与解：减法是加法的逆运算，1611=+<>()就变成1611-=<>()，与前面提到的等式11111n n n n -+=+()相联系，便可找到一组解，即1617142=+ 另外一种方法设n x y 、、都是自然数，且x y ≠，当111n x y =+时，利用上面的变加为减的想法，得算式x n nx y-=1。

这里1y是个单位分数，所以x n -一定大于零，假定x n t -=>0，则x n t =+，代入上式得t n n t y()+=1，即y n t n =+2。

又因为y 是自然数，所以t 一定能整除n 2，即t 是n 2的约数，有n 个t 就有n 个y ，这一来我们便得到一个比11111n n n n -+=+()更广泛的等式，即当x n t =+，y n t n =+2，t 是n 2的约数时，一定有111n x y=+，即 11n n t t n n t -+=+()上面指出当x n t =+，y n t n =+2，t 是n 2的约数时，一定有111n x y=+，这里n n ==6362,，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。

当t =1时，x =7，y =42-当t =2时，x =8，y =24当t =3时，x =9，y =18 当t =4时，x =10，y =15当t =6时，x =12，y =10当t =9时，x =15，y =10当t =12时，x =18，y =9当t =18时，x =24，y =8当t =36时，x =42，y =7$故（ ）和< >所代表的两数和分别为49，32，27，25。

【模拟试题】（答题时间：20分钟）二.尝试体验：1. 计算：11212313419899199100⨯+⨯+⨯++⨯+⨯… 2. 计算：131611011512112813614515516617819111051120+++++++++++++ 3. 已知x y 、是互不相等的自然数，当11811=+x y 时，求x y +。

{【试题答案】1. 计算：11212313419899199100⨯+⨯+⨯++⨯+⨯… =-+-+-++-+-=-=1121213131419819919911001110099100… 2. 计算：131611011512112813614515516617819111051120+++++++++++++ =+++++++++++++=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯-=-=262122202302422562722902110213221562182221022402123134145156167178189191011011111121121311314114151151621211611878()() 3. 已知x y 、是互不相等的自然数，当11811=+x y时，求x y +。

x y +的值为：75，81，96，121，147，200，361。

；因为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有118111811136136=+⨯+=+() 118121812154127542781118131813172124722496=+⨯+=++==+⨯+=++=()()118161816112612121126147=+⨯+=++=()11819181911801202018020011811818118119134219342361=+⨯+=++==+⨯+=++=()() 1182318231451303045751182918291991222299121=+⨯+=++==+⨯+=++=()() 还有别的解法。

!裂项法（二）前一节我们已经讲过，利用等式11111n n n n -+=+()，采用“裂项法”能很快求出121611212019900+++++…这类问题的结果来，把这一等式略加推广便得到另一等式：11n n t t n n t -+=+()，现利用这一等式来解一些分数的计算问题。

【典型例题】例1. 113135157119931995119951997⨯+⨯+⨯++⨯+⨯… 分析与解：此题如按异分母加法法则来求和，计算量太大，下面用裂项法试一试。

下面我们用11n n t t n n t -+=+()，现在给n 、t 一些具体的值，看看有什么结果。

|当n t ==12,时，有2131113⨯=- 当n t ==32,时，有2351315⨯=- 当n t ==52,时，有2571517⨯=- ……当n t ==19932,时，有2199319951199311995⨯=- 当n t ==19952,时，有2199519971199511997⨯=- 上面这998个等式左边的分数，其分母分别与题目中各加数的分母一样，只是分子是2不是1，但是很容易将题目中各数的分子变为2，例如1131221313512235⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯,，……，这样采用裂项法也能较快求出结果来。

因为1131221313512235⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯,，……，11993199512219931995⨯=⨯⨯，11995199712219951997⨯=⨯⨯ !所以113135119931995119951997⨯+⨯++⨯+⨯… =⨯-+-++-+-=⨯-=⨯=121131315119931199511995119971211199712199619979981997()()…例2.1123123419899100⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯…… 因为112123311232123⨯-⨯=-⨯⨯=⨯⨯ 所以112312112123⨯⨯=⨯⨯-⨯() 同样可得123412123134⨯⨯=⨯⨯-⨯() 134512134145⨯⨯=⨯⨯-⨯() -一般地，因为11112n n n n ()()()+-++ =+-++=++n n n n n n n n 212212()()()()1121211112n n n n n n n ()()[()()()]++=⨯+-++ 这里n 是任意一个自然数。

利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例2的结果。

11231234198991001211212312313419899199100121121231231341989919910012112199100⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=⨯⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯=⨯⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯=⨯⨯-⨯………[()()()]()() =⨯-=⨯=124950199001249499900494919800@例3. 计算：121231234123451234200+++++++++++++++…… 分析与解：1232232225123422432361234522542471234112212122122112+=+⨯=⨯++=+⨯=⨯+++=+⨯=⨯++++=+-=-+-+=⨯-+()()()()()()()()()()()…n n n n n n n n n而11122112312n n n n n n n n --+=+---+=-+()()()()()()即112131112()()()n n n n -+=⨯--+ 连续使用上面两个等式，便可求出结果来。

12123123420012225236219920212233253363199202122312151316141715181711011991202++++++++=+⨯+⨯++⨯=+⨯⨯+⨯++⨯=+⨯-+-+-+-+-++-……………()() [=+⨯+++++-++++12231213141511991516171202[()()] (122312131415119915161200120112021223121314120012011202)12239920066201994041233100442013320214309332030100+⨯+++++-+++++=+⨯++---=+⨯++=+++=[()()]()()…… 【模拟试题】（答题时间：15分钟）二. 尝试体验1. 求和：13134134513456134520+++++++++++++++…… 2. 求和：1110314051887115491238111340+++++ 3. 求和：1123412345117181920⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯…【试题答案】1. 求和：13134134513456134520 +++++++++++++++……687836 8412252. 求和：1110314051887115491238111340 +++++363 203. 求和：1123412345117181920⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯…1139 20520。