例2、关于x的 一元二次 方程
m 1x2 2mx m 0
有实数根，则m的取值范围是什么？
例5、已知关于x的方程
k 2 x2 2k 1x 1 0
有两个不相等的实数根 x1, x2
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数 根互为相反数？若存在，求出k的值； 若不存在，请说明理由。
4、已知关于x的方程（m²-1）x²+（m-1）x2m+1=0， 当m ≠±1 时是一元二次方程, 当 m= -1 时是一元一次方程， 当m= ½ 时，x=0。
5、将方程 3x(x-1)=5(x+2) 化为一元
二次方程的一般式是_3_x_2-_8_x_-_1_0_＝_0.
【典型例题】
例2、关于x的一元二次方程
判别式的情况 根的情况
定理与逆2 4ac 0 两个相等实根 0
b2 4ac 0 无实根(无解)
0
两不相等实根 两相等实根 无实根
一元二次方程根与系数的关系
⑴前提：对于 ax 2 bx c 0而言，当满足
① a 0 ② 0时，才能用根系关系
x2 2 y2 6, 例3、m 为何值时，方程组 mx y 3.
有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？
❖1 下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等 的实数根的方程是( )
A．x2＋1＝0
B．9x2－6x＋1＝0
C．x2－x＋2＝0 D．x2－2x－1＝0
❖2 关于x的一元二次方程（m-1）x2+2（ m+1）x+m=0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m=2时，上述方程有实数根吗？若有， 请求出方程的根；若没有，请说明理由．
⑵主要内容：x1
x2
b a
, x1 x2
c a
⑶应用：整体代入求值。
【典型例题】
例1、若关于x的方程 x 2 2 k x 1 0
有两个不相等的实数根，则 k的取值范围.
变式： 关于x的一元二次方程（m-1）x2+2 （m+1）x+m=0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m=2时，上述方程有实数根吗？若有，请 求出方程的根；若没有，请说明理由
【变式训练】
1 、已知x、y为实数，求代数式
x 2 y 2 2x 4 y 7 的最小值。
2 、已知 x2 y 2 4x 6 y 13 0，x、y
为实数，求 x y 的值。
一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax2 bx c 0a 0根的判式是:
b2 4ac
一元二次方程 ax2 bx c 0a 0
使一元二次方程两边相等的未知数的值，就是 方程的解（根）。
【典型例题】
例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ A ）
A、 3x 12 2x 1
B、 1 1 2 0
x2 x
C、 D、
x2
ax
2
2x x2
bx c
1
0
变式：当k ≠1 时，关于x的方程
kx 2 2x x 2 3 是一元二次方程。
b，则a
＋
b的值为—
❖６、一元二次方程 x2=2x的根是 ( Ｃ )
❖ A．x=2
B. x=0
❖ C．x1=0,x2=2
D.x1=0,x2= -2
❖ ７、已知方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－
a(a≠0)，则是a - b的值为( Ａ)
❖ A．-1
B. 0
C．1 D．2
❖ ８、已知关于x的方程x2+mx-6=0的一个根为
2，则m=__１___,另一个根是__－__３__.
思考：已知关于x的一元二次方程
ax 2 bx c 0a 0
的系数满足 a c b
则此方程必有一根为 。
类型一、直接开方法：
x2 mm 0, x m
对于 x a2 m
ax m2 bx n2
等形式均适用直接开方法
类型二、因式分解法:
则4x+y的值为
。
变式1：
a 2 b2 2 a 2 b2 6 0, 则a2 b2
变式2：
x y2 x y 3 0 ，则x+y的值
变式3：
x 2 xy y 14， y 2 xy x 28
，则x+y的值
【典型例题】
例2、试用配方法说明 x 2 2x 3
的值恒大于0。
1.（07兰州）下列方程中是一元二次方程的是
（ C）
A、2x＋1＝0
B、y2＋x＝1
C、x2＋1＝0
D、 1 x 2 1
x
2.（08青岛）关于x的方程(m 2)xm22 3x 7 0
是一元二次方程，求m的值。 m=-2
注意: 二次项的系数不等于0.
3、若（m+2）x 2 +（m-2） x -2=0是关于x 的一元二次方程则m ≠－ 2 。
⑴条件： a 0,且b2 4ac 0
⑵公式： b b2 4ac x 2a
a 0,且b2 4ac 0
▪ 用合适的方法解下列方程
❖（1） （2x+1)2-25=0 ❖（2） 2x2-7x-2=0 ❖ （3）（x+2)2=3(x+2) ❖（4） x2+x-6=0
例1、若 4x y2 34x y 4 0
a 2x 2 x a 2 4 0
的一个根为0，则a的值为 －２ 。
❖例3、（２０１０．河北中考）已知x=1一元二
次方程x2+mx+n=0的一个根，
m１2+2mn+n2的值为——.
❖【变式训练】 （２０１０．苏州中考）若一元
二次方程 x2一（a＋２）x＋２ a ＝0的两
个实数根分别是３、
５ ———．
x x1 x x2 0 x x1,或x x2
方程特点： 右边为“0”，左边可以分解为两个一
次因式的积，
类型三、配方法
ax2 bx c 0a 0
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
在解方程中，多不用配方法；但常利用 配方思想求解代数式的值或极值之类的 问题。
类型四、公式法
·北师大版
一元二次方程的概念
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2
的整式方程称为一元二次方程.
二次项系数a为
一元二次方程的一般形式
什么不等于0呢？
ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0）
二次项
常数项
a为二次项系数 一次项 b为一次项系数
判别一个方程是 一元二次方程的 重要条件！
一元二次方程的解