全等三角形（一）SSS【知识要点】1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质：（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如DEF ABC ∆∆与全等，记作ABC ∆≌DEF ∆（2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． （4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”． 【典型例题】例1．如图，ABC ∆≌ADC ∆，点B 与点D 是对应点，=∠BAC 且︒=∠20B ，1=∆ABC S ，求ACD D CAD ∠∠∠,,的度数ACD ∆的面积．例2．如图，ABC ∆≌DEF ∆，cm CE cm BC A 5,9,50==︒=∠，求EDF∠的度数及CF 的长．例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证：（1）ABC ∆≌DEF ∆（2）AB//DE ，BC//EF例5．如图，在,90︒=∠∆C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证：（1）AB DE ⊥；（2）BD 平分ABC ∠【巩固练习】1．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②若两个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形；④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（ ）A 、①④B 、①②C 、②③D 、③④2．如图，ABD ∆≌CDB ∆，且AB 和CD 是对应边，下面四个结论中 不正确的是（ ）A 、CDB ABD ∆∆和的面积相等 B 、CDB ABD ∆∆和的周长相等C 、CBD C ABD A ∠+∠=∠+∠ D 、AD//BC 且AD=BC3．如图，ABC ∆≌BAD ∆，A 和 B 以及C 和D 分别是对应点，如果︒=∠︒=∠35,60ABD C ，则BAD ∠的度数为（ ）A 、︒85B 、︒35C 、︒60D 、︒80 4．如图，ABC ∆≌DEF ∆，AD=8，BE=2，则AE 等于（ ） A 、6 B 、5 C 、4 D 、35．如图，要使ACD ∆≌BCE ∆，则下列条件能满足的是（ ） A 、AC=BC，AD=CE ，BD=BE B 、AD=BD ，AC=CE ，BE=BD C 、DC=EC ，AC=BC ，BE=AD D 、AD=BE ，AC=DC ，BC=EC6．如图，ABE ∆≌DCF ∆，点A 和点D 、点E 和点F分别是对应点，则AB= ，=∠A，AE= ，CE= ，AB// ，若BC AE ⊥，则DF 与BC 的关系是 ． 7．如图，ABC ∆≌AED ∆，若=∠︒=∠︒=∠︒=∠BAC C EAB B 则,45,30,40 ，=∠D ，=∠DAC ．8．如图，若AB=AC ，BE=CD ，AE=AD ，则ABE ∆ ACD ∆，所以=∠AEB ，=∠BAE ，=∠BAD ．9．如图，ABC ∆≌DEF ∆，︒=∠90C ，则下列说法错误的是（ ）互余与F C ∠∠互补与F C ∠∠互余与E A ∠∠互余与D B ∠∠D第4题图第5题图B第6题图第7题图第8题图第9题题图10．如图，ACF ∆≌DBE ∆，cm CD cm AD ACF E 5.2,9,110,30==︒=∠︒=∠，求D ∠的度数及BC 的长．11．如图，在ABD ABC ∆∆与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ∆≌ABD ∆全等三角形（一）作业1．如图，ABC ∆≌CDA ∆，AC=7cm ，AB=5cm.，则AD 的长是（ ） A 、7cm B 、5cm C 、8cm D 、无法确定2．如图，ABC ∆≌DCE ∆，︒=∠︒=∠62,48E A ，点B 、C 、E 在同一直线上，则ACD ∠的度数为（ ）A 、︒48B 、︒38C 、︒110D 、︒623．如图，ABC ∆≌DEF ∆，AF=2cm,CF=5cm ，则AD= ．4．如图，ABE ∆≌ACD ∆，︒=∠︒=∠25,100B A ，求BDC ∠的度数．5．如图，已知，AB=DE ，BC=EF ，AF=CD ，求证：AB//CD6．如图，已知AB=EF ，BC=DE ，AD=CF ，求证：①ABC ∆≌FED ∆②AB//EF7．如图，已知AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAE BAD ∠=∠AEAD CAB CDEACDFA C E FDE全等三角形（二）【知识要点】定义：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”，几何表示如图，在ABC ∆和DEF ∆中，ABC EF BC E B DE AB ∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=≌)(SAS DEF ∆【典型例题】【例1】 已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：BE=CD.【例2】 如图，已知：点D 、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？给出证明.【例3】 如图已知：AE=AF ，AB=AC ，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE 的度数.【例4】 如图，B ，C ，D 在同一条直线上，△ABC ，△ADE 是等边三角形， 求证：①CE=AC+DC ； ②∠ECD=60°.【例5】如图，已知△ABC 、△BDE 均为等边三角形。

求证：BD ＋CD=AD 。

C ADBECABC E【巩固练习】1．在△ABC 和△C B A '''中，若AB=B A ''，AC=C A ''，还要加一个角的条件，使△ABC ≌△C B A '''，那么你加的条件是（ ）A ．∠A=∠A ' B.∠B=∠B ' C.∠C=∠C ' D.∠A=∠B ' 2．下列各组条件中，能判断△ABC ≌△DEF 的是（ ） A ．AB=DE ，BC=EF ；CA=CD B.CA=CD ；∠C=∠F ；AC=EFC ．CA=CD ；∠B=∠E D.AB=DE ；BC=EF ，两个三角形周长相等 3．阅读理解题：如图：已知AC ，BD 相交于O ，OA=OB ，OC=OD.那么△AOD 与△BOC 全等吗？请说明理由.△ABC 与△BAD 全等吗？请说明理由.小明的解答：21∠=∠ AOD ≌△BOC而△BAD=△AOD+△ADB △ABC=△BOC+△ 所以△ABC ≌△BAD（1）你认为小明的解答有无错误；（2）如有错误给出正确解答；4．如图，点C 是AB 中点，CD ∥BE ，且CD=BE ，试探究AD 与CE 的关系。

5．如图，AE 是，BAC 的平分线∠AB=AC（1）若D 是AE 上任意一点，则△ABD ≌△ACD ，说明理由. （2）若D 是AE 反向延长线上一点，结论还成立吗？请说明理由.6．如图，已知AB=AC ，EB=EC ，请说明BD=CD 的理由DOA=OB OD=OC全等三角形（二）作业1．如图，已知AB=AC ，AD=AE ，BF=CF ，求证：BDF ∆≌CEF ∆。

2．如图，△ABC ，△BDF 为等腰直角三角形。

求证：（1）CF=AD ；（2）CE ⊥AD 。

3．如图，AB=AC ，AD=AE ，BE 和CD 相交于点O ，AO 的延长线交BC 于点F 。

求证：BF=FC 。

4．已知：如图1，AD ∥BC ，AE=CF ，AD=BC ，E 、F 在直线AC 上，求证：DE ∥BF 。

5. 如图，已知AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，AB=AC ，AD=AE ， 求证：（1）BE=DC ，（2）BE ⊥DC.6、已知，如图A 、F 、C 、D 四点在一直线上，AF=CD ，AB//DE ，且AB=DE ，求证：（1）△ABC ≌△DEF （2）∠CBF=∠FECAB CE D FA C E FAD E CBFO 1 2 DC ABE FD ABQCPE7、已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE8、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG，（1）观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论。

（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程，若不存在，说明理由。

9、已知:如图,AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．10、已知C为AB上一点,△ACN和△BCM是正三角形.求证：（1）AM=BN（2）求∠AFN大小。

11、已知如图，F在正方形ABCD的边BC边上，E在AB的延长线上，FB＝EB，AF交CE于G，求∠AGC的度数.12、如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.(1)观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC 的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.CNMBAEDFFDACE BFDACGEB全等三角形（三）ASA【知识要点】ASA如图，在ABC∆与DEF ∆中EB DE AB D A ∠=∠=∠=∠ ∴)(ASA DEF ABC ∆≅∆ASA公理推论（AAS 公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．【典型例题】【例1】下列条件不可推得ABC ∆和'''C B A ∆全等的条件是（ ） A 、 AB=A 'B '，'A A ∠=∠，'C C ∠=∠B 、 AB= A 'B '，AC=A 'C '，BC='B C 'C 、 AB= A 'B '，AC=A 'C '，'B B ∠=∠ D 、 AB= A 'B '，'A A ∠=∠，'B B ∠=∠【例2】已知如图，DE AB DE AB D A //,,=∠=∠，求证：BC=EF【例3】如图，AB=AC ，C B ∠=∠，求证：AD=AE【例4】已知如图，43,21∠=∠∠=∠，点P 在AB 上，可以得出PC=PD 吗？试证明之．【例5】如图，321∠=∠=∠，AC=AE ，求证：DE=BCAD A B【例6】如图，21,∠=∠∠=∠D A ，AC ，BD 相交于O ， 求证：①AB=CD ②OA=OD【巩固练习】1．如图，AB//CD ，AF//DE ，BE=CF ，求证：AB=CD2．如图，AD//BC ，O 为AC 中点，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点M ，N ，求证：AM=CN3．求证：两个全等三角形ABC 与A 'B 'C '的角平分线AD 、A 'D '相等4．如图，AB ，CD 相交于O ，E ，F 分别在AD ，BC 上，若FOB EOD ∆≅∆，求证：COF AOE ∆≅∆5．如图，AB//CD ，AD//BC ，求证：AB=CD6．已知，如图AB=DB ，21,∠=∠∠=∠E C ，求证：AC=DEAD'B 'C 'CBABD全等三角形（三）作业1．已知，如图，CD AF D A =∠=∠∠=∠,21,，求证：AB=DE2．如图，已知CAD BAE ADE AED ∠=∠∠=∠,，求证：BE=CD3．已知如图，AB=AD ，CAE BAD D B ∠=∠∠=∠,，求证：AC=AE4．已知如图，在ABC ∆中，AD 平分BC AD BAC ⊥∠,，求证：ABD ACD ∆≅∆5．已知如图，cm AC ABD DCA DBC ACB 10,,=∠=∠∠=∠，求BD 的长（要求写出完整的过程）6、如图ABC △中，∠B ＝∠C ，D ，E ，F 分别在AB,BC,AC 上，且BD=CE,∠DEF=∠B 求证：ED=EFECEA D ECBF7、 (1)如图１，以的边、为边分别向外作正方形和正方形，连结，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由．(2)园林小路，曲径通幽，如图２所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？8、已知：如图 , AD 为CE 的垂直平分线 , EF ∥BC.求证：△EDN ≌△CDN ≌△EMN ．9、 已知：如图 , AB=AC , AD=AE , 求证：△OBD ≌△OCE10、已知：如图 , AB=CD , AD=BC ,O 为BD 中点 , 过O 作直线分别与DA 、BC 的延长线交于E 、F ．求证：OE=OF11、如图在△ABC 和△DBC 中 , ∠1=∠2 , ∠3=∠4 , P 是BC 上任意一点．求证：PA=PD.12、已知 ：如图 , 四边形 ABCD 中 , AD ∥BC , F 是AB 的中点 , DF 交CB 延长线 于E , CE=CD ． 求证：∠ADE=∠EDC ．13、已知：如图 , OA=OE , OB=OF , 直线FA 与BE 交于C , AB 和EF 交于O ,求证：∠1=∠2．AG FC BD E （图１）全等三角形（四）强化训练1、如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 、F 分别是线段AB 、BC 、CA 上的点， （1）若AD BE CF ==，问△DEF 是等边三角形吗？试证明你的结论； （2）若△DEF 是等边三角形，问AD BE CF ==成立吗？试证明你的结论．2、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ）3、△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，D 为BC 中点，E 、F 分别在AC 、AB 上，且DE ⊥DF ，试判断DE 、DF 的数量关系，并说明理由．4、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ．（1）求证：BF AC =；（2）求证：12CE BF =；5、 如图，点O 是等边ABC △内一点，110AOB BOC α∠=∠=，．将BOC △绕点C 按顺时针方向旋转60得ADC △，连接OD ． （1）求证：COD △是等边三角形；（2）当150α=时，试判断AOD △的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？BDA E F C H GB A BCDO110 α7、过等腰直角三角形直角顶点A 作直线AM 平行于斜边BC ，在AM 上取点D ，使BD=BC ，且DB 与AC 所在直线交于E ，求证：CD=CE 。