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不定积分的典型例题

例1.計算 dx x x ⎰++1142解法1).12)(12(1224+-++=+x x x x x而 +++)12(2x x )1(2)12(22+=+-x x x 所以)121121(21112242dx x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰++++-=++.)]12arctan()12[arctan(211)12()12211)12()12(21)21)22(121)22(1[212222c x x x x d x x d dx x dx x +++-=+++++--=++++-=⎰⎰⎰⎰解法2 dx x x x x xx x dx x x ⎰⎰+++-++-=++)12)(12(2)12(1122242.arctan 21)12arctan(211212242c x x dx x xx x dx +++=++++=⎰⎰解法3⎰⎰⎰+-=++=++≠22222421)1(11111,0xx x x d dx x x x dx x x x 当 c x x xx x x d +-=+--=⎰21arctan 212)1()1(22,2221arctan21lim 20π-=-+→xx x Θ,2221arctan 21lim 20π=--→x x x由拼接法可有.02221arctan 2100,2221arctan 21112242⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--=>++-=++⎰x cx x x x c x x dx x x ππ 例2.求 .)1()1(2223dx x x x ⎰+++ 解 将被积函数化为简单的部分分式(*)1)1(1)1()1(222223⋅⋅⋅⋅⋅++++++=+++x DCx x B x A x x x两边同乘以2)1(+x ,约去1+x 的因子后令1-→x 得.211)1(2)1(23=+-+-=B 两边同乘以2)1(+x ,对x 求导,再令1-→x ,施以上运算后,右端得A,而左端为.2.2426)1()2(2)1(3lim ]12[lim )1()1()1(2[lim 22322123122231=∴=+=++-+=++=++++-→-→-→A x x x x x x x dx d x x x x dx d x x x 在分解式(*)中令,0=x 得,2D B A ++=所以.21-=D 分解式(*)两边同乘以x ,再令,+∞→x 得.1,1-=⇒+=C C A 故有.arctan 21)1ln(21)1(211ln 2]1)1(1[)1()1(2222223c x x x x dxx DCx x B x A dx x x x +-+-+-+=++++++=+++⎰⎰例3. 求 .)()1(2424dx x x x x⎰++ 解 令 ,2x u =再用部分分式,則⎰⎰++=++))(1(21)()1(22244u u u dudx x x x x,11)()1(1222+++++=++u D Cu u B u A u u u 两边乘以,u 再令,0→u 得.1=A 两边乘以,1+u 再令,1-→u 得.21-=B 两边乘以,u 再令,+∞→u 得.21,0-=⇒++=C C B A 令.21,1-=⇒=D u.arctan 41)1()1(ln 81arctan 41)1ln(81)1ln(41ln 21arctan 41)1ln(811ln 41ln 21]12121)1(211[21))(1(21)()1(2422824222222244c x x x x c x x x x cu u u u du u u u u u u u dudx x x x x +-++=+-+-+-=+-+-+-=+--++-=++=++∴⎰⎰⎰ 例4 828872882815)1(1181)1()1(dx x x dx x x x dx x x ⎰⎰⎰+-+=⋅+=+ )1(])1(111[818288++-+=⎰x d x x .)1(81)1ln(8188c x x ++++= 例5.求 .sin cos 1cos 1dx x x x⎰-++解 令 ,2tan t x =则=-++⎰dx x x xsin cos 1cos 1.2)sin 1ln(21arctan )1ln(211ln )1111()1)(1(21212111111222222222c x x ct t t dtt t t dtt t dx t t t t t t t ++--=++++--=+++--=-+=+⋅+-+-++-+⎰⎰⎰ 例6 dx x x 122+⎰ ⎰+=22421dx x x .1ln 811)12(81))21(ln(161)21(41)21(21)21()21()21(212222222222222c x x x x x c u u u u du u x d x +++-++=+-+--=-=+-+=⎰⎰分部积分例7.25342)2()1(25232121232c x x x dxx x x dx x x ++-=+-=-⎰⎰-分项例8dxx x dx x ]1111[2111224++-=-⎰⎰.arctan 2111ln 41c x x x ++-+=例9.dx xx dx x x ⎰⎰+-+=+1111.134132111c x x x dx xdx x ++-+=+-+=⎰⎰例10.⎰⎰⎰---=-+=+)24(cos )24()2cos(1sin 12xx d x dx x dx πππ.)24tan(c x+--=π例 11c t tdt x xdx tx +=-=-⎰⎰=arcsin 11212μμ⎪⎩⎪⎨⎧-<+>+-=.1,1arcsin 1,1arcsin x c x x c x例12. 求,))((dx x b a x ⎰-- 其中.b a < 解 由配方得2,)2())((22ab R b a x R x b a x -=+--=--其中,令,2ba u x ++=则有原式 .))((4)(2)(2arcsin )(41cos sin 22)2sin 412(22cos 1cos 2222222sin 22c x b a x b a x ab b a x a b ct t R t R c t t R dt tR tdt R du u R tR u +--+-+-+--=++=++=+==-=⎰⎰⎰= 例13.求⎰⎰+=+=,sin cos sin ,sin cos cos 33dx xx xJ dx x x x I 解 .2cos 41)2sin 211(c x x dx x J I ++=-=+⎰dx x x x x x dxxx x x x J I ⎰⎰++-=++-=-222)sin (cos )2sin 211)(sin (cos sin cos )2sin 211)(sin (cos.)12ln(sin 412sin 412sin 12cos )2sin 211(c x x dx x xx +++=++=⎰解上面的联立方程可得出.,J I 例14. 计算.113dx x I ⎰+= ).(,)1ln(31)1ln(1111111,)21(332arctan 332.1,1111111332322333233略从而可解出可求出令I c x x dx x x dx x dx x x x x dx x x J I c x J I dx xx J dx x x dx x x dx xx x dx x I ++-+=+-+=+-+-=+-=-+-=++=+-+-=+-+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 例15. )1(12arcsin 12arcsin++=+⎰⎰x d xxdx x x .212arcsin)1(112arcsin1c x xxx dx xx x x ++++=+++=⎰)(分部积分例16. 求 .12⎰+++=x x x dx I解 令,)21(12,211,12222dt t t t dx t t x t x x x +++=+-=⇒+-=++.)1212(231212ln 231ln 2])12(23)12(231[2)21(12222222c x x x x x x x x x dt t t t dt t t t t I ++++++++++-+++=+-+-=+++=⎰⎰例17.设)(x f 有一个原函数,sin xx求.)(⎰'dx x f x解 用分部积分法有(*))()()()(⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=='⎰⎰⎰dxx f x xf x xdf dx x f x.sin cos ]sin [])([)(sin )(211xx x x c x x dx x f x f c xxdx x f -='+='=⇒+=⎰⎰Θ代入(*)有1sin sin cos )(c x xx x x dx x f x ---='⎰, 即 .sin 2cos )(c xxx dx x f x +-='⎰例18.求.cos 2sin 5cos sin 12dx xx xx ⎰-+解 .sin 2cos 5]cos 2sin 5[x x x x +='-Θ被积函数的分子是x x sin ,cos 的线性组合,故有.1,2,cos )25(sin )25()cos 2sin 5()cos 2sin 5(cos sin 12==⇒-++='-+-=+B A x A B x B A x x B x x A x x 于是.cos 2sin 5ln 2cos 2sin 5)cos 2sin 5()cos 2sin 5(2cos 2sin 5cos sin 12c x x x dx xx x x x x dx x x x x +-+=-'-+-=-+⎰⎰例19.求 .sin 3sin 2⎰+x xdx解 ⎰⎰⎰-=-+-=+=4cos 13)(cos sin 3sin 2cos 22t dtx x d x xdx t x .cos 2cos 2ln 41]2121[41c x x dt t t ++-=+--=⎰例20.⎰⎰+=+xx dxx dx 222cos )2cos 1(cos 21 .3tan arctan 313arctan 313tan 3)(tan 2cos 1)(tan 222c x c t t dtx x d xx d +=+=+=+=+⎰⎰⎰ 例21..)1ln(18189623266332366c x x x x x dx x x x t x +++-+-=⋅⋅⋅=+-=⎰例22..15arctan 21515ln153215c x xx x x x dx x xx t x x+-------+-=⋅⋅⋅=---=--⎰例23..]1ln [arctan 2112sin 22c x x x x x dx tx t +-++=⋅⋅⋅=-+=≤⎰π 例24.,11ln 21211222tan 232c x x x x x dxx tx t +++-+-=⋅⋅⋅=+=<⎰π 例25.⋅⋅⋅=+-=⎰t e x xxe e dx232 例26..1arcsin arcsin 2c x x x xdx +-+=⎰分部积分例27..)(c e dx e e dx exxx e xe xe +==⎰⎰+例28.”)妙用“1(cos sin 1ln cos sin 1)cos sin 1(cos sin 12cos c x x x x x x d x x xdx ++=++=+⎰⎰例29. .)13()(2dx e x x e x x x x +++⎰.])[(32])[()()13(])[(23222322c e x x e x x d e x x e x x e x x x x x e ++=++=∴++='+⎰原式Θ例30..11)1(arctan .)1(arctan 2111arctan22x x c x dx x x +-='+-=+⎰Θ例31=++-=+⎰⎰x b x a x b x a d a b dxx b x a x22222222222222sin cos )sin cos (1sin cos 2sin .2sin )()sin cos (.sin cos 2222222222222x a b x b x a c x b x a ab -='+++-Θ例32.)ln ()ln (1)ln (ln 1)ln (ln 12222x xx d xx x dxxx x xx dx x x x ---=--=--⎰⎰⎰ .ln ln 1c x x xc xx x +-=+-=例33.c x x xx xx d dx x x x dx x x +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+--=++=++⎰⎰⎰21arctan 212)1()1(11111222242......,0)0(.21arctan 212利用原函数的连续性当=≠+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x c x x 例34..1212ln2211)1(22sin 22c xx xxxdxt x +---+-=-+⎰=例35..111)1(22tan 2323c x x dx x x tx ++++=+=⎰例36..313222sec 0422c x a x a dxx a x t a x a +⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=-=>⎰ 例37 dt tt t dt t t x dx tx ⎰⎰⎰--=+=-+=22sin 2cos 1cos cos cos 1cos 11 .arcsin 112c x xx x ++-+-=例38..ln 212ln 141)1(2)1()2(72717c x x dt t ttx x dxtx +++-=-⋅+=+⎰⎰=例39..13)12(2)431(]43)21[()1(2232121232232c xx x t tdt x dxx x dx tx ++++=+-=++=++⎰⎰⎰=+例40..22)(212)2(2222c e x x dx e x x x e x dx x e x x xx x ++-='+++-=+⎰⎰ 例41..)2ln(201ln 21)2()2(101010910c x x x x dx x x x dx ++-=+=+⎰⎰例42..1ln 72ln )2()1()1()1(71076777c x x x x dx x x x x dx x ++-=+-=+-⎰⎰ 例43..)1ln (1)()111(111112c x x nx d x n dx x x x x dx x n n n n n n n n n ++-=+-=+⋅=+⎰⎰⎰-- 例44..)1(121003dx x x ⎰-+9899111003)1(493)1(1331)1(12----=-+=-⎰x x dx x x u x。

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