上海第二工业大学不定积分、定积分 测验试卷姓名： 学号： 班级： 成绩：一、选择题：（每小格3分，共30分）1、设sin xx为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a ⎰应等于（ ）（A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x+2、若xe 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ）（A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -⎧+≥=⎨-+<⎩；（B ）,0()2,0x x e c x F x e c x -⎧+≥=⎨-++<⎩；（C ）,0()2,0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-+<⎩；（D ）,0(),0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-<⎩3、设01,0()0,0,()()1,0x x f x x F x f t dt x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩⎰，则（ ）（A ）()F x 在0x =点不连续；（B ）()F x 在(,)-∞+∞内连续，在0x =点不可导； （C ）()F x 在(,)-∞+∞内可导，且满足()()F x f x '=； （D ）()F x 在(,)-∞+∞内可导，但不一定满足()()F x f x '=。

4、极限02sin limxx x t tdtt dt→⎰⎰＝（ ）（A ）－1； （B ）0； （C ）1； （D ）25、设在区间[,]a b 上()0,()0,()0f x f x f x '''><>。

令1()ba s f x dx =⎰，2()()s fb b a =-31[()()]()2s f a f b b a =+-，则（ ）（A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s <<二、填空题：（每小格3分，共30分）1、设()f x 的一个原函数是2xe -，则它的一个导函数是___________。

2、设2()1,(2)2f x dx f ==⎰，则1(2)_____________xf x dx '=⎰。

3、已知()xxf e xe -'=，且(1)0f =，则()_________________f x =。

4、函数1()(2(0)xF x dt x =>⎰的单调减少区间为________________。

5、由曲线2y x =与y =___________。

三、计算题 （第1，2，3，4题各6分，第5，6，7题各8分，共48分）1、计算22(1)(1)x dx x x ++⎰2、计算2tan x xdx ⎰3、设1x ≥，求1(1)xt dt --⎰4、设21,0(),0x x x f x e x -⎧+≤=⎨>⎩，求31(2)f x dx -⎰5、120ln(1)(2)x dxx +-⎰ 6、计算1+∞⎰7、已知曲线C 的方程为()y f x =，点(3,2)是它的一个拐点，直线12,l l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4)。

设函数()f x 具有三队连续导数，计算定积分320()()x x f x dx '''+⎰。

四、解答题（本题10分）设()f x 连续，10()()x f xt dt ϕ=⎰，且0()lim x f x A x→=（A 为常数），求()x ϕ'，并讨论()x ϕ'在0x =处的连续性。

五、应用题（本题6分）设曲线方程为(0)xy e x -=≥，把曲线,xy e x -=轴、y 轴和直线x ξ=(0)ξ>所围平面图形绕x 轴旋转一周，得一旋转体。

（1）旋转体体积()V ξ；（2）求满足1()lim ()2V a V ξξ→+∞=的a 值。

六、证明题（6分）设()f x 在[,]a b 上连续且单调增加，证明：不等式()()2bbaa ab xf x dx f x dx +≥⎰⎰。

不定积分、定积分 测验卷 答案一．选择题：（每小格3分，共30分）1、（A ）3sin axC a x+；2、（C ）,0()2,0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-+<⎩；3、（B ）()F x 在(,)-∞+∞内连续，在0x =点不可导；4、（C ）1；5、（B ）213s s s <<。

二、填空题：（每小格3分，共30分）1、一个导函数是2()4xf x e -'=。

2、13(2)4xf x dx '=⎰。

3、21()(ln )2f x x =。

4、单调减少区间为1(0,)4。

5、13。

三、计算题 （第1，2，3，4题各6分，第5，6，7题各8分，共48分）1、解：222(1)12()ln 2arctan (1)1x dx dx x x c x x x x+=+=++++⎰⎰ 2、解：222tan (sec 1)tan tan tan 2x x xdx x x dx xd x xdx x x xdx =-=-=--⎰⎰⎰⎰⎰2tan ln cos 2x x x x c =+-+3、解：被积函数1,10()1,0t t f t t t +-≤<⎧=⎨-≤<+∞⎩，当10x -≤<时，原式211(1)(1)2xt dt x -=+=+⎰； 当0x ≥时，原式02101(1)(1)1(1)2x t dt t dt x -=++-=--⎰⎰。

4、解：23101211171(2)()(1)3x tt f x dx f t dt t dt e dt e-=----====++=-⎰⎰⎰⎰。

5、解：111102000ln(1)111ln(1)()ln(1)(2)22(1)(2)x dx x d x dx x x x x x +=+=+----+-⎰⎰⎰101111ln 2()ln 23213dx x x =-+=-+⎰。

6、解：因为1lim ()x f x +→=∞，所以1x =为瑕点，因此该广义积分为混合型的。

212112dx I I +∞+∞=+=+⎰⎰⎰212211021122arctan (1)2x t tdtI xt t π-========+⎰⎰2122122arctan 2()(1)24tdt I x t t ππ+∞+∞+∞=====-+⎰⎰；所以121I I π+∞=+=⎰。

7、解：按题意，直接可知(0)0,(3)0,(3)0f f f ''===（拐点的必要条件）。

从图中还可求出()y f x =在点(0,0)与(3,2)处的切线分别为2,28y x y x ==-+。

于是(0)2,(3)2f f ''==-。

所以333222300()()()()()()()(21)x x f x dx x x df x x x f x f x x dx '''''''''+=+=+-+⎰⎰⎰3333000(21)()(21)()2()7(3)(0)2()x df x x f x f x dx f f f x '''''=-+=-++=-++⎰⎰7(2)22(20)20=-⋅-++⋅-=。

四、解答题（本题10分）解：因为0()limx f x A x→=，故0lim ()0x f x →=，而已知()f x 连续，0lim ()(0)0x f x f →==；由于10()()x f xt dt ϕ=⎰，令u xt =，当:01t →时，有:0u x →，du xdt =；当0x ≠时，有10()1()()()x x f u du x f xt dt f u du xxϕ===⎰⎰⎰；当0x =时，有10(0)(0)0f dt ϕ==⎰；所以0(),0()0,0x f u du x x x x ϕ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰。

当0x ≠时，有02()()()xxf x f u dux xϕ-'=⎰；当0x =时，02()()(0)()()limlimlimlim22x x x x x f u du x x f x Ax xx x ϕϕϕ→→→→-====-⎰； 所以02()(),0(),02x xf x f u dux x x A x ϕ⎧-⎪≠⎪'=⎨⎪=⎪⎩⎰。

又因为002200()()()()lim ()limlim()22xxx x x xf x f u duf u du f x A A x A xx x ϕ→→→-'==-=-=⎰⎰， 所以0lim ()(0)2x Ax ϕϕ→''==，即()x ϕ'在0x =处连续。

五、应用题（本题6分）解：（1）2220()()(1)2x V y dx e dx e ξξξπξππ--===-⎰⎰；（2）2()(1)2a V a e π-=-，于是211()lim ()lim (1)2224V a V e ξξξππξ-→+∞→+∞==⋅-=；故211(1)lim ()ln 22242ae V a ξππξ-→+∞-==⇒=。

六、证明题（6分）证：设()()()[,]2xxaa a x F x tf t dt f t dt x ab +=-∈⎰⎰因为()f x 在[,]a b 上连续，所以111()()()()()()[()()]22222x x xa a aa x x a F x xf x f t dt f x f x f t dt f x f t dt ++'=--=-=-⎰⎰⎰因为()f x 在[,]a b 单调增加，0,()()()()0t x f t f x f x f t ≤≤≤⇒-≥，所以()0F x '≥；所以()F x 在[,]a b 单调增加；又()0,F a =所以()()0F b F a ≥=， 即()()02bb aa ab xf x dx f x dx +-≥⎰⎰，所以有()()2b ba a ab xf x dx f x dx +≥⎰⎰。