第五章 不定积分习题 5－11. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221sin , cos 2, cos 2x x x-- 都是同一函数的原函数.解 221(sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x=-=-=因为221sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数.2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x xe e e e e e ---+-+都是的原函数.解 2222[()]'[()]'=2()x x x x xxe e e ee e ---+=-+因为2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数3.已知一个函数的导数是211x -，并且当x = 1时, 该函数值是32π，求这个函数.解 设所求函数为f (x ), 则由题意知'()f x ='(arcsin )x 因为'()()d arcsin f x f x x x C===+⎰所以又当x = 1时，3(1)2f π=，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+.3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程.解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知''()2y f x x == 因为2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C===+⎰⎰又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1故所求曲线方程为 21y x =+.5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程.解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x =因为'(sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C==+⎰又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为()sin 1f x x =+ 与 ()sin 1f x x =-.6. 已知 f (x ) = k tan2x 的一个原函数是2ln cos 23x ，求常数k .解 因为2ln cos 23x是f (x )的一个原函数所以 '2214(ln cos 2)(2sin 2)tan 2()33cos 23x x x f x x =⋅⋅-=-=4tan 2tan 234.3x k xk -==-即 故7. 已知 1(1)d x f x x xe C++=+⎰, 求函数f (x ).解 因为由不定积分的性质, 有'111(1)d (1)(1)x x x f x x f x e xe x e +++⎡⎤+=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰所以, 令t = x+1,有(),().t x f t te f x xe ==即8. 设f (x ) 是(-∞,+∞)内的连续的奇函数, F (x )是它的一个原函数, 证明: F (x )是偶函数.证 由已知F (x )是f (x )的一个原函数, 则'()()F x f x =又因为f (x ) 是(-∞,+∞)内的连续的奇函数, 则[]''()()()()F x F x f x f x -=--=--=于是[]'()[()]'F x F x =- 即()()F x F x C =-+,故F (x )是偶函数.9.设1sin ()f x x 是的原函数, 求'()f x .解 因为 1sin ()f x x 是的原函数, 则'2211111sin cos ()cos ()f x x x x x x ⎛⎫=⋅-=-⋅= ⎪⎝⎭'322321111()cos (sin )()1111(2cos sin ).f x x x x x xx x x x =⋅--⋅-=-所以习题 5－21. 求下列不定积分：2324222(1) (21)d (2)(2)(3) 1)d (4) d331(5) d (6) d11x x xxx xxx x xx x x x+---++++⎰⎰⎰⎰⎰23262(7) (13)d (8) d3cos2(9) cos d (10) d2sin cos1sin(11) d (12) cot(csinx xx xxe x xx xx xx xxx xx--+-⎰⎰⎰⎰⎰22sc sin)d1cos1(13) (1 (14)dcos21x x xxx xxx-+-+⎰⎰⎰解4233(1)(21)d.4x x x x x C+=+-+⎰3122111322222323222222422(2) d2.2(3) 1)d(11)d.3(2)14442(4) d d ln.111(5) d d(1)d arctan.111331(6)1x x x x Cx x x x x x Cxx x x Cx xx x x xx xx x x x x C x x xx xx---==-++-=+--=-+-⎛⎫=-+=+-+⎪⎝⎭+-==-=-+ ++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2321d(3)d arctan.1x x x x x Cx=+=+++⎰(7) (13)d(3)dx x x xe x e e x⎡⎤-=-⎣⎦⎰⎰211 (3)(3).ln 31ln 3622112(8) d 2()d 2()3ln 2ln 2ln 333212 ().ln 2ln 2ln 331cos 11(9)cos d d sin 2222x x x x x x x x x xx x x x e e C e e C e x x C C x x x x x x C =-+=--++-⎡⎤=-=⋅-⋅+⎢⎥-⎣⎦=-+⋅+==++⎰⎰⎰⎰()()()22322.cos 2cos sin (10)d d cos sin d sin cos sin cos sin cos .1sin (11)d =csc sin d cot cos .sin (12) cot (csc sin )d cot csc cot sin d x x xx x x x xx x x x x x C xx x x x x x C xx x x x x x x x x-==-++=++--=-++-=⋅-⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3571444422222csc sin .14(13) (1d 4.7cos 1cos 11(14) d d (1sec )d cos 2122cos 1122x x C x x x x x x C x x x x x x x x xx --=--+⎛⎫ ⎪-=-=++ ⎪⎝⎭++==++=+⎰⎰⎰⎰⎰tan .x C + 2. 21, 0() , ()d .21, 0x x f x f x x x x -≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩⎰已知求.解21, 0()2 1 , 0x x f x x x -≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩由已知 当0x ≤时,21()d (1)d 2f x x x x x x C=-=-+⎰⎰当x >0时, 222()d (21)d 3f x x x x x x C=+=++⎰⎰故 221, 02()d 2, 03x x C x f x x x x C x ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪++>⎪⎩⎰.3. 设某企业的边际收益是 '()1000.01R x x =- (其中x 为产品的产量)，且当产量 x = 0时，收益R = 0. 试求收益函数R (x ) 和平均收益函数. 解 由已知边际收益是 '()1000.01R x x =- 所以在上式两端积分, 得2()(1000.01)d 1000.005R x x x x x C =-=-+⎰将0,0x R ==代入上式, 得C = 0故收益函数为 2()1000.005R x x x =-平均收益函数为 ()1000.005R x x =-.4. 某商品的需求量Q 为价格P 的函数. 已知需求量的变化率为'1()1000ln 3()3pQ p =-⋅且该商品的最大需量为1000.求该商品的需求函数.解 由已知需求量的变化率为'1()1000ln 3()3pQ p =-⋅ 所以在上式两端积分, 得'1()()d 1000ln 3()d 31111000ln 3()1000()(ln 3)33p p p Q p Q p p pC C==-⋅=-⋅⋅+=+-⎰⎰又因为该商品的最大需求量为Q =1000（P = 0时），代入上式, 得C = 0故满足条件的需求函数1()1000()3pQ p =. 5. 一种流感病毒每天以 (240 t – 3 t 2 ) / 天的速率增加, 其中 t 是首次爆发后的天数. 如果第一天有50个病人，试问在第10天有多少个人被感染?解 设()y t 为t 天被感染上的人数, 则由题意得 2d 2403d yt t t =- 所以在上式两端积分, 得223()(2403)d120y t t t t t t C=-=-+⎰又当1,50t y ==时，代入上式, 得C = －692323()12069(10)120(10)106910931()y t t t y =--=⨯--=故 而 人习题 5－3(1)1. 1. 填空：22(1) d ( )d(3) (2) d ( )d(17)(3) d ( )d (4) d ( )d(12)1(5)d ( )d(2ln ) (6) x x x x x x x x x x x x e x -==-==+=11331d ( )d()3x x xe -=-2(7) sin2d ( )d cos 2 (8) cos(13)d ( )d sin(13)1(9) d ( )d arctan 2 (10) 14x x x x x x x x x x =-=-==+解11111111(1);(2);(3);(4);(5);(6)3;(7);(8);(9);(10)2.37242232----2. 求下列不定积分：(1) (2) cos(51)d x x x+⎰22222tan(21)1(3) d (4)dcos (21)91(5) d (6) (19)d 9425(7) d (8) 52x xx x x x x x e x x x x x x +++----+⎰⎰⎰⎰⎰21(9)d (10) d 32(1ln )(11) (12) d 1(13) d (14) ln xxx xxe x x e e ex x xx x x x -+++⎰⎰⎰⎰3223211(15) cos d (16) darctan (17) tan sec d (18) d 111(19) d (20) sin cos x xx x e x x xxx x x xx x x x -+⎰⎰⎰⎰d 1cos xx +⎰⎰231(21) (22) d 251(23) sin d (24) d 1xx xx x x x x e -++⎰⎰⎰⎰12121(1)(25)d(25)51(25).10x x x x C -=---=--+⎰解 222221(2) cos(51)d cos(51)d(51)51sin(51).5tan(21)1(3) d =tan(21)d tan(21)2cos (21)1tan (21).41d 1(4) d a 393x x x x x C x x x x x x C x x x x +=++=++++++=++==++⎰⎰⎰⎰⎰222rctan .3d(2)11132(5) d ln 21232943(2)xC x xx C x x x ++==+---⎰⎰⎰22222222222(6) (19)d (3)d 111(3)22ln 3111(3).221ln 3d(52)25(7)d ln 52.5252(8) 2x x x x x x x x e x e e x e e Ce e e C x x x x x x C x x x x x ⎡⎤-=-⎣⎦=-⋅+=-⋅++-+-==-++-+-+=⎰⎰⎰⎰⎰212222.d(32)11(9) d =ln 32.3332321d (10) d arctan .11(11)(12cos 2).2(1ln )1(12) d (1ln )d(1ln )(3x xxx xxx x x xC e e x e C e e e x e C e e ex x C x x x x x -=+=++++==+++=-=-+++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰31ln ).x C ++122211(13) d d ln ln ln .ln ln 11(14)(23).63x x x C x x xx x C ==+=-=--+⎰⎰333223322311111(15)cos d cos d sin .11(16)d d().33(17)tansec d tand sec (sec 1)d sec 1sec sec .3x x x x C x x x x x x e x e x e C x x x x x x xx x C ---=-=-+=--=-+⋅==-=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222arctan 1(18)d arctan d arctan arctan .211sin cos (19)d d sin cos sin cos (tan cot )d ln cos ln sin ln tan .x x x x x C xx xx xx x x xx x x x x Cx C ==+++=⋅=+=-++=+⎰⎰⎰⎰⎰2222221d 1(20)d sec d 1cos 222(1sin )2sec d tan .222(21)22arctan arctan .d(1(22)d 25xx x x x xx x xC x C x x x x ==+-==+==-=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰21)11arctan .22(1)4x C x -=+-+⎰3223(23)sin d sin d cos (1cos )d cos 1cos cos .3d(1)1d (24)d ln(1).111x x xx x x x x x x x x x x C e e x x e C e e e -----=-=--=-+++==-=-+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰习题 5－3(2)1. 1. 求下列不定积分：2(1) (3) (4) (5) (6) xx x x2(7) (8)(9)(11) (12)x xx ⎰解2d 11(1)2d 11t t t x t t t +-=++⎰⎰22312(1)d22ln(1)12ln(1.(3)(2)(2)d12(3)d2(3)3t t t CtCtx t ttt t t t C=-=-+++=-++-⋅-=--=--+⎰⎰⎰⎰13221536323211136226(3)(3).36d(3)6d1(1)116d6(1)d112366lnx x Ct t tx t x ttt ttt t t tt tx x x=--+-+==+++-==-+-++=-+-⎰⎰⎰⎰令16(1).x C++221(4) d1d12ln11ttt tt tCtt⋅--==++-⎰.C=+22222222sin(5) sin cot dcot1cos2sin d d21(sin2)22(arcsin2a tx x a t a t ta tta t t a tat t Ca xa=-===-+=⎰⎰⎰令2arcsin.2Ca xCa-+=222(6)2sec 2tan d 2(sec 1)d 2tan 222arccos .11(7)()d x x t tt t t t t t C C xt txt ===-=-+=+=⋅-⎰⎰令令21 2 .C C =-=-=+=+211(8)()d x tt t =-令1arccos3313arccos .3t CC x =-=+=+221d 1(9) d 11111 ln .212t t tt t t t C C t ⋅=---=+=++⎰⎰222(2)(10)(2)d t t t t -⋅-2435135222 2(44)d 82835828(2)(2)(2).35t t t t t t Cx x x C =--+=-+-+=--+---+⎰2(11)1dln 2ln 2ln 1 ln 1).(12)x xxxx x Cx C =⎡⎤=+⎢⎣=+=++=+⎰⎰212212 (1).t C C -=-=-++=+2. 若己知()d ()f x x F x C =+⎰. 求：(1)()d f ax b x +⎰ (2)22()d xx e f e x--⎰(3)cos 3(sin 3)d xf x x⎰(4)x解 （1）因为()d ()f x x F x C =+⎰.11()d ()d()().f ax b x f ax b ax b F ax b C aa +=++=++⎰⎰所以（2）因为()d ()f x x F x C =+⎰2222211()d ()d ().22x x x x x e fe xf ee F e C -----=-=-+⎰⎰所以（3）因为()d ()f x x F x C =+⎰11cos3(sin3)d (sin3)dsin3(sin3).33xf x x f x x F x C ==+⎰⎰所以（4）因为 ()d ()f x x F x C=+⎰.x C ==+所以 3. 下列不定积分：d d (1)(2)2cos 354sin 2x xx x ++⎰⎰解 2222212(1)tan ,sin ,cos ,d 2111x u u duu x x x u u u -====+++令则2222d 12d2cos 3112312d 5tan.xu x u u u u C u x C =⋅+-+⋅++==++=+⎰⎰⎰于是22222222221 (2)tan ,sin ,cos ,d 111d 11d d 254sin 215855411d 5d 945459()1[()]25535u u duu x x x x u u u xu u uxu u u u u uu u -====+++=⋅=+++++⋅+==++++⎰⎰⎰⎰⎰令则于是154154arctan ()arctan (tan )335335u C x C=++=++.习题 5－3(3)1． 1． 下列不定积分：(1)l n dx x x ⎰2(2)ln(1)d x x+⎰l n l n (3)dx x x ⎰2(4)ln d x x⎰(5)a r c s i n d x x ⎰(6)x⎰2(7)s i n d x x x ⎰ 32(8)cos d x x x⎰2(9)d xxe x-⎰(10)x⎰ (11)sin 2d xe x x⎰（12）cos d xe x x -⎰(13)x(14)ln(x x+⎰22(15)cos d 2xx x ⎰22(16)(1)d x x x e x +⎰解 222211111(1)ln ln ln 2224x xdx x x x dx x x x Cx =-⋅=-+⎰⎰.22222222(2)ln(1)d ln(1)d 111 ln(1)2d 1 ln(1)2(arctan ).xx x x x x xx x x x x xx x x x C +=+-⋅++-=+-+=+--+⎰⎰⎰ln ln (3)d ln ln d ln 11 ln ln ln ln d ln ln ln ln ln .xx x x xx x x x x xx x x C ==⋅-⋅⋅=⋅-+⎰⎰⎰2221(4)ln d ln 2ln d ln 2ln 2.x x x x x x xx x x x x x C =-⋅⋅=-++⎰⎰122(5)arcsin d arcsin arcsin (1).x x x x x x x C =-=+-+⎰⎰2222(6)arctan arctan 2d 1arctan d 1 arctan arctan .x t t t t t t ttt t t t C x C ⋅=⋅-+=-++=-+⎰⎰22223222222222(7)sin d cos 2cos d cos 2sin 2sin d cos 2sin 2cos .11(8)cos d cos d (sin sin d )221 si 2x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C x x x x x x x x x x x =-+=-+-=-+++==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222221n cos .211(9)d d 2211.24x x xx x x x C xe x xe e xxe e C -----++=-+=--+⎰⎰222(10)d 3(2d ) 3(22) 6).(11)sin 2d sin 22cos 2d sin 22(cos 22sin 2d t t t t t t x x x x x x x e t t t e te t t e te e C C e x x e x x e xe x e x e x x ⋅=-=-++=++=-⋅=-+⎰⎰⎰⎰⎰)⎰移项解方程, 得sin 2d (sin 22cos 2)5xx ee x x x x C =-+⎰.(12)cos d cos sin d cos sin cos d x x x x x x e x x e x e x xe x e x e x x------=--=-+-⎰⎰⎰移项解方程, 得1cos d (sin cos ).2x x e x x e x x C --=-+⎰(13)arcsin22.x x xxx C=-=-=++2222(14)ln(ln(1ln(2ln(.1(15)cos d(sin)(sin)d22x x x x x xx xx x Cxx x x x x x x x x+=+-⋅=+-=+-=+-+⎰⎰⎰⎰32332111sin sin d22311sin cos cos d62x x x x x x xx x x x x x x=+--=++-⎰⎰222222223223222211sin cos sin.62(16)(1)d d d11d d2211()22x x xx xx x xx x x x x x Cx x e x xe x x e xe x x e xe x e e C=++-++=+=+=+-+⎰⎰⎰⎰⎰221.2xx e C=+2. 2.已知()f x的一个原函数是sin x，求'()dxf x x⎰.解因为()f x的一个原函数是sin x, 则()d sinf x x x C=+⎰所以两边求导, 得()c o sf x x=于是'()d()()dxf x x xf x f x x=-⎰⎰故'()cos sinxf x dx x x x C=-+⎰.3.已知'()1xf e x=+，求()f x.解设,lnxt e x t==则由已知'()1xf e x=+，则'()1lnf t t=+所以'()()d(1ln)d ln lnf t f t t t t t t t t C t t C==+=+-+=+⎰⎰故()lnf x x x C=+.4. 已知()f x 的一个原函数是ln x x ，求''()xf x dx⎰.解 因为()f x 的一个原函数是ln x x ,则()d ln f x x x x C =+⎰所以两边求导,得'1()ln 1,()f x x f x x =+=且于是 '''''()()()()()xf x dx xf x f x dx xf x f x C=-=-+⎰⎰故 ''()d ln xfx x x C=-+⎰.习题 5－4求下列不定积分：21.d32xx x x -+⎰解22(23)1d =d 23232x xx x xx x xx -+-+-+⎰⎰221311ln(2)(1)()d 22211133ln(2)ln(1)ln(2)ln(1)2222(2) 2ln(2)ln(1)ln .1212.d (1)x x xx x x x x x Cx x x C C x x xx =--+---=-+-+---+-=---+=+-+-⎰⎰ 解222111d 2d 3d 1(1)(1)x x x x x x x +=+---⎰⎰⎰212ln 13.113. d 25x C x x xx x =--+-+-+⎰解 22211222d d d 22525(1)4x x x x x x x x x x +-=+-+-+-+⎰⎰⎰211ln 25arctan .22x x x C -=-+++224. d (1)(4)xxx x ++⎰解222214(1)(4)(1)(4)x A B C Dx x x x x x =+++++++++因为 222 (1)(4)(4)(1)(4)A x x B x C x x x +++++++=则22, 5154 ,,,279279d (1)(4)A B C D xxx x ==-=-=-++⎰比较等式两边的系数解之得所以 22511d 5d 4d d 27192749(1)(4)x x x x x x x x =---++++⎰⎰⎰⎰43511541ln 1ln 4.2791279451114ln ().2749145.d 1x x C x x x C x x x x x x=++-++++++=+++++++⎰解4332113(1)113(1)xx x x x x x x x x +=-=+-+++-+因为4322222211d []d 3(1)13(1)1111ln 1d 23311112111ln 1d d 236211x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x xx +=+-++-++=++--+-=++---+-+⎰⎰⎰⎰⎰所以222221111d ln 1ln 1112362()24111ln 1ln 1.236x x x x x x x x x x C =++--+--+=++--+-+⎰3216. d 1x xx +-⎰解321111x x x x +=+--因为 322111d ()d ln 1.121x x x x x x C x x +=+=+-+--⎰⎰所以2d 7.(1)xx x -⎰解 221111=+ 1(1)(1)x x x x x ----因为22d 111[+]d 1(1)(1)11ln ln 1ln .111x xx x x x x x x x C C x x x =----=---+=-+---⎰⎰所以2d 8.(1)(12)xx x ++⎰解221411215125(1)(12)1x x x x x -=-++++因为22222d 41121d d 5125(1)(12)1211ln 12ln 1arctan 555(12)11ln arctan .5519.xx x x x x x x x x x Cx xC x *-=-++++=+-++++=+++⎰⎰⎰所以解 321(2),d d 3t x t x t t=-=令 2322331d 1(2)3(33)3d 3d 3232t tt t t t tt t t t t =⋅---+==----⎰⎰⎰于是333231ln 323d 3211111119291332(1)11111d ln 2ln 1993132t ttt t t t t t t t t t Ct t t =--+--=---+--+=--++++--⎰⎰又因为 所以2111ln 2(1)ln(2)ln 1331t t tt Ct =-++--++++故 451ln 2ln 133145 2ln 1.33t t Ct C =-+++++=-+++综合习题五1.选择填空：(1) 设3()d ln sin 44f x x x C=+⎰, 则f(x ) = ( ) .① cot4x② －cot4x ③ 3cos4 x ④ 3cot4 x(2) 设(1)sin 2d cos 2k x x k x C -=+⎰, 则k = ( ) .① -1 ② -2 ③ 1 ④ 2(3) 设11()d x xfx e xe C=+⎰ , 则f(x ) = ( ) .① 1x② 1x -③ 21x④ 21x -(4) 如果 xe -是函数f(x ) 的一个原函数, 则()d xf x x =⎰( ).① (1)xe x C --+ ② (1)xe x C --+③ (1) x e x C --++ 1 ④ (1)xe x C -++(5) 设 =⎰-+=⎰dx x xf C x dx x f )1(,)(22则 ( ) .① 222(1)x C -+② 222(1)x C --+③ 221(1) 2x C --+ ④ 221(1) 2x C -+解 (1) ④; (2) ①; (3) ④; (4) ④; (5) ③. 2.计算下列不定积分：1(1) (2) d 1x x x e +⎰3cos 2(3) (4) sin d (5) (6)(7) (8) (arcsin )d (9)x x e x xx x x x x ⎰⎰⎰⎰2102 (10) sin d2cos 2sin (11) d (12) d 1sin cos 1sin d (13) (14) (`1)x xe x x xx xx x xxx x x -+++⎰⎰⎰⎰解211(1) )d x x tt t =- 令-1arcsin arcsin.d(1)1(2)d d ln1.111(3)2.xxxx x xt t C Cxeex x e Ce e ex x x x xx C----=-=-+=-++==-=-+++++=-=-=-⎰⎰⎰⎰3cos3cos3cos1(4)sin d d cos.3(5)arcsin.x x xe x x e x e CC=-=-+==+⎰⎰⎰3222(6)ln)(1ln) .3(7)1ln2x x x Cx x xx C=+=++=+=+++222ln.(8)(arcsin)d(arcsin)2arcsin(arcsin)2arcsinx Cx x x x x xx x x =+++=-=+-⎰⎰⎰2241743333222 (arcsin )2arcsin 2.(9)34d d .73111(10)sin d sin cos d 222222x x x x x x C x xx xx xx x C x x x e x e e x---=+-+==-=-+=-+⎰⎰⎰⎰222222221111sin (cos sin d )2242222111 sin cos sin d 22821622sin d (cos 4sin ).21722cos 2cos 2d sin 2(11)d 2d 1sin cos 2sin 22x x x x x x x x x x xe e e x x x xe e e xx x xe x e C x x xx x x x x --------=-+--=---=-++==++⎰⎰⎰⎰⎰移项得2sin 2 ln 2sin 2.sin 1(12)d (1)d 1sin 1sin 1sin 1sin d d (1sin )(1sin )cos 1tan cos x x C x x xx xx xx x x xx x xx x C x+=++=-++--=-=-+-=-++⎰⎰⎰⎰⎰.21(13) 1 arcsin 21arcsin arcsin .x x tt t t C C x=-=--=-+=++=-++令101022221022d 1d (14) 10(`1)(1)11111(1)(1)d 1111()d 101(`1)(1)x t t xx x t t t t t t t x t t t x x t =++=--+++=--+++⎰⎰⎰⎰令因为所以 1010101010101111 ln ln 110101011111ln ln 1101010111[ln ].1011t t C t x x Cx x C x x =-++++=-++++=++++3. 已知x xsin 是f (x )的一个原函数, 求'()d xf x x⎰.解 因为 x xsin 是f (x ) 的一个原函数, 则sin ()d xf x x Cx =+⎰'2sin cos sin ()()x x x xf x x x -==两边求导数,得于是'()d ()()d xf x x xf x f x x =-⎰⎰cos sin sin '()d cos 2sin .x x x xxf x x Cx x x x xC x -=-+-=+⎰所以4.试求函数 y = 2x + 1的一条积分曲线, 使此曲线在 x =1 处的切线 刚好通过(2, 1)点.解 设积分曲线为()y f x =, 则由已知得 '()21f x x =+于是 2()(21)d f x x x x x C=+=++⎰又曲线在x =1 处的切线刚好通过(2, 1)点,于是曲线的切线方程为13(2)35y x y x -=-=-即于是曲线在x =1的切线方程的纵坐标为 -2，代入方程, 得 C = －4故满足条件的积分曲线方程为 24y x x =+-.5. 设 ln(1)(ln ),()d x f x f x x x +=⎰计算. 解 由已知ln(1)(ln )x f x x +=令ln t x =，得ln(1)ln(1)(),()t x txe ef t f x e e ++==即()ln(1) ln(1)1 ln(1)1 ln(1)ln 1 x x x xxxxxxxxx x x x f x dx e e dxe e e e dxe e ee dxee e e C e ---------=+=-+++=-+++=-+-++=-⎰⎰⎰⎰所以ln(1)ln 1 (1)ln 1x x x x e x e C x e e C-++-++=-+++6.设F (x ) 为f (x ) 的原函数, 且x ≥0,2()()2(1)xxe f x F x x =+ 已知F (0) = 1, F (x ) > 0, 试求f (x ) .解 因为F (x ) 为f (x )的原函数，'()()F x f x ='222()()()()2(1)111()d d 2212(1)x x x xe f x F x F x F x x xe F x x xe x x ==+==-++⎰⎰11 [d ][]211211 21x x x xx xxe e xe xe x e Cx x x e Cx +=--=--++++=++⎰2()1x e F x Cx =++即又因为 F (0）=1，代入上式, 得C = 0232().2(1)x xe f x x =+所以7.设当x ≠0 时，)('x f 连续，求2'()(1)()d xxf x x f x xx e -+⎰.22'2222'()(1)()'()(1)()d d d ()(1)()1 ()()d d ()()(1)()()d d xx xx x xx x x x x xf x x f x f x x f x x x xx e xe x e f x x f x f x x x xe xe x e f x e xe x f x f x x xxe x e x e -++=-+=---++=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解22()(1)()(1)()d d ().x x xxf x x f x x f x x x xe x e x e f x C xe ++=+-=+⎰⎰2118.()(),()(),'()(),()()()1, ().4F x f xG x f x F x G x f x f x f f x π=-=+==设且求解 '2()()F x G x =因为''222'2()1()()2()()()11()f x f x f x f x f x f x f x +=++=+则 化简得arctan ()()1,04()tan .f x x Cf C f x x π=+===两端边积分, 得将条件 代入上式,得 故9.一公司某产品的边际成本为3x +20, 它的边际收益为44-5x , 当生产与销售80单位产品时的成本为11400元，试求: (1)产量的最佳水平; (2)利润函数; (3)在产量的最佳水平是盈利还是亏损?解 （1）因为产量最佳水平满足的条件是边际成本 = 边际收益所以由 320405,3x x x +=-=解得 （2）成本函数为23 ()(320)d 20280,(80)11400,200C x x x x x C x C C =+=++===⎰将已知条件代入上式,解得即成本函数为 23()202002C x x x =++.收益函数为25()(445)d 4420,(0)0,0R x x x x x Cx R C =-=-+===⎰将已知条件代入上式,解得即收益函数为25()442R x x x =-. 故利润函数为 2()()()244200L x R x C x x x =-=--.（3）由（1）知道最佳产量水平是3x =代入利润函数得2(3)24343200164L =⨯-⨯-=-故在最佳水平时亏损164元.。