1 1 γ 0 = 180°− 90°− arctg ωc0 − arctg ωc0 = −55.5° 6 2 ϕ (ω g ) = −180° → ω g = 3.464rad / s
h(dB ) = −20 lg Go ( jω g ) = −30dB
例6-3 未校正系统开环传递函数为 G0 ( s ) =
用频率法对系统进行串联滞后校正的一般步骤 根据稳态误差或静态误差系数的要求，确定开环增益 。 根据稳态误差或静态误差系数的要求，确定开环增益K。 确定开环增益K后 画出未校正系统的波特图， 确定开环增益 后，画出未校正系统的波特图， 并计算未校正系统的截止频率 ωc 0、相角裕度 γ c 0
求 b 与T 。 方法一：已知 wc ，求 b 与 T 。 方法二： 已知 γ c ， 未知 wc ， b 与 T 。 求 计算 wc ，
Kv
表明未校正 系统不稳定 看下图
-20dB/dec
100
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-40dB/dec
ωc 0 = 12.6rad / s
50
-60dB/dec
0dB
0
-50
-100 -2 10
10
-1
10
0
2
6
10
1
10
2
-50 -100 -150
γ 0 = −55.5°
−180°
-200 -250 -300 -2 10
K G (s) = s (0.1s + 1)(0.2s + 1)
若要求校正后的静态速度误差系数等于30/s，相角裕度40度， ，相角裕度 度 若要求校正后的静态速度误差系数等于 幅值裕度不小于10dB，截止频率不小于 幅值裕度不小于 ，截止频率不小于2.3rad/s，试设计串联 ， 校正装置。 校正装置。 解：1首先确定开环增益K: K v = lim sG( s) = K = 30 首先确定开环增益
1 = 0.1ωc 再由 bT
得: b=0.09 得:
1 T= = 41.1s 0.1ωc b
bT=3.7s
则滞后网络的传递函数: 则滞后网络的传递函数
Gc ( s ) =
1 + bTs 1 + 3 .7 s = 1 + Ts 1 + 41s
(b − 1)T ωc ϕc (ωc ) = arctg = −5.21° 2 1 + b(T ωc )
1 b= 计算出 200
1 ωc = bT 10
1 1 s ( s + 1)( s + 1) 设计校正装置，使系统满足下列性能指标： 设计校正装置，使系统满足下列性能指标： 6 2
1使 K v ≥ 180 2相位裕度为 45° ± 3° 3幅值裕度不低于10dB；4过渡过程调节时间不超过 幅值裕度不低于 ； 过渡过程调节时间不超过3s 解：1确定开环增益 K = K v = 180 2作为校正系统对数幅频特性渐近曲线，如图6-21所示 作为校正系统对数幅频特性渐近曲线，如图 所示 ω 由图得未校正系统截止频率 c 0 = 12.6rad / s
γ 0 = −55.5°
−180-200 °
-300 -2 10 10
-1
10
0
10
1
10
2
−20 lg a + L0 (ωc ) + 20 lg Tbωc = 0
− 20 lg a + L0 (ω c ) + 20 lg Tb ω c = 0
求出a值 求出 值
可由未校正系统对数幅频特性的-20dB/dec延长线在 ω c 延长线在 可由未校正系统对数幅频特性的 处的数值确定。 处的数值确定。 5根据相角裕度要求，估算校正网络滞后部分的转折频率ω a 根据相角裕度要求， 6校验已校正系统开环系统的各项性能指标。 校验已校正系统开环系统的各项性能指标。
图6-21
10
-1
10
0
10
1
10
2
3分析为何要采用滞后超前校正？ 分析为何要采用滞后超前校正？ 如果采用串联超前校正,要将未校正系统的相位裕度从− 55° → 45° 如果采用串联超前校正 要将未校正系统的相位裕度从 至少选用两级串联超前网络。显然，校正后系统的截止频率 至少选用两级串联超前网络。显然，校正后系统的截止频率 将过大，可能超过25rad/s。利用 将过大，可能超过 。
校正后的相位穿越频率 ω′ = 6.8rad/ s g 幅值裕度 h(dB ) = −20 lg Gc ( jω ′ )Go ( jω ′ ) = 10.5dB > 10dB g g
ωc = 2.7 rad / s
100 50
γ (ωc ) = 90° − arctg (0.1ωc ) − arctg (0.2ωc )
s →0
2画出未校正系统的对数幅频渐近特性曲线,或计算未校正系 画出未校正系统的对数幅频渐近特性曲线 或计算未校正系 统的截止频率和相裕度。 统的截止频率和相裕度。
由图可得 ωc 0 = 12rad / s
ωc 0 = 12rad / s
100 50 0
γ = −27 °
说明未校正系统 不稳定， 不稳定，且截止 -50 频率远大于要求 -100 -2 值。在这种情况 10 下，采用串联超 前校正是无效的。 前校正是无效的。 -50 也可计算： 也可计算：
) ( T a s + 1 )( T b s + 1 ) ωa ωb G c (s) = = Tb s s (1 + )( 1 + ) ( aT a s + 1 )( s + 1) ωa aω b a a
(1 +
s
)( 1 +
s
−20 log a
串联滞后-超前校正的设计步骤如下： 串联滞后 超前校正的设计步骤如下： 超前校正的设计步骤如下
-40dB/dec
ωc 0 = 12.6rad / s
-40dB/dec -20dB/dec 0dB/dec -20dB/dec
10
0
h = −30dB
h′′ = 27 dB -60dB/dec
0dB
0
-50
-100 -2 10
10
-1
2 3.5 6
10
1
10
2
100
0
-100
γ c = 45.5°
Mr = 1 = 2 sin γ
K = 2 + 1.5( M r − 1) + 2.5( M r − 1) = 3.05
2
ts =
Kπ
ωc
= 0.38s
，比要求的指标提高了近10倍。 比要求的指标提高了近 倍
还有几个原因： 系统带宽过大，造成输出噪声电平过高； 还有几个原因： 系统带宽过大，造成输出噪声电平过高； 需要附加前置放大器，从而使系统结构复杂化。 需要附加前置放大器，从而使系统结构复杂化。
30
10
0
10
1
10
2
γ 0 = 180 ° − 90 ° − arctg ω c 0 × 0.1 − arctg ω c 0 × 0.2
= 90 ° − 50 . 19 ° − 67 . 38 ° = − 27 . 6 °
由给定的相位裕量值 γ c 计算校正后新的截止频率 ωc
γ c = γ (ωc ) − ε
④计算校正前系统在 ω c 处的幅值 L 0 ( ω c ) 30 L0 (ωc ) = 20 lg = 21dB 2 2 ωc (0.1ωc ) + 1 × (0.2ωc ) + 1 计算网络参数b、 。 ⑤根据所确定的 ω c 计算网络参数 、T。 由 20 lg b + L0 (ωc ) = 0
未校正前的相位穿越频率
ωg
ϕ (ω g ) = −180°
满足要 求
ϕ (ω g ) = 90° − arctg (0.1ω g ) − arctg (0.2ω g ) = −180°
arctg 0.1ω g + 0.2ω g 1 − 0.1ω g × 0.2ω g =∞
1 − 0.1ω g × 0.2ω g = 0 , ω g = 7.07 rad / s
γ 0 (ωc ) = γ + ε = 40° + 6° = 46°
是用于补偿因滞后校正装置的引入， 是用于补偿因滞后校正装置的引入，使系统截止频率减小 而造成相角增加。 而造成相角增加。
ε
由 : γ 0 (ωc ) = 180 − 90° − arctg (0.1ωc ) − arctg (0.2ωc ) = 46° 0.1ωc + 0.2ωcc 得 : arctg = 44°, 解得 : ωc = 2.7 1 − 0.1ωcc × 0.2ωc
50° − 46.5°
21dB
0 -50 -100 -2 10 0
G0
Gc
10
-1
10
0
10
1
Gc G0
10
2
-100
-200
-300 -2 10
10
-1
10
0
10
1
10
2
2.6.5
串联滞后串联滞后-超前校正
这种校正方法兼有滞后校正和超前校正的优点， 这种校正方法兼有滞后校正和超前校正的优点，即已校 正系统响应速度快，超调量小，抑制高频噪声的性能也较好。 正系统响应速度快，超调量小，抑制高频噪声的性能也较好。 当未校正系统不稳定， 当未校正系统不稳定，且对校正后的系统的动态和静态性能 响应速度、相位裕度和稳态误差)均有较高要求时，显然， (响应速度、相位裕度和稳态误差)均有较高要求时，显然， 仅采用上述超前校正或滞后校正，均难以达到预期的校正效 仅采用上述超前校正或滞后校正， 此时宜采用串联滞后-超前校正。 果。此时宜采用串联滞后-超前校正。 串联滞后-超前校正， 串联滞后-超前校正，实质上综合应用了滞后和超前校 正各自的特点， 正各自的特点，即利用校正装置的超前部分来增大系统的相 位裕度，以改善其动态性能； 位裕度，以改善其动态性能；利用它的滞后部分来改善系统 的静态性能，两者分工明确，相辅相成。 的静态性能，两者分工明确，相辅相成。