数学物理方程第三版答案第一章． 波动方程§1 方程的导出。

定解条件1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程()⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。

证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ∆。

现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。

在时刻t 这段杆两端的坐标分别为：),();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u xxt x u x t x x u x x x ∆+=∆∆-+-∆++∆+θ令0→∆x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。

由虎克定律，张力),(t x T 等于),()(),(t x u x E t x T x =其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。

设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ∆+两端的力分别为x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).,(t x x ∆+于是得运动方程 tt u x x s x ⋅∆⋅)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-∆+∆+ 利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得tt u x s x )()(ρx∂∂=x ESu () 若=)(x s 常量，则得22)(t u x ∂∂ρ=))((xu x E x ∂∂∂∂即得所证。

2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。

解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 .0),(,0),0(==t l u t u(2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力xux E t l T ∂∂=)(),(|l x =等于零，因此相应的边界条件为xu∂∂|l x ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为xu∂∂∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。

由虎克定律有xuE∂∂∣)](),([t v t l u k l x --== 其中k 为支承的刚度系数。

由此得边界条件)(u x u σ+∂∂∣)(t f l x == 其中Ek =σ 特别地，若支承固定于一定点上，则,0)(=t v 得边界条件)(u xuσ+∂∂∣0==l x 。

同理，若0=x 端固定在弹性支承上，则得边界条件x uE∂∂∣)](),0([0t v t u k x -== 即 )(u xuσ-∂∂∣).(0t f x -= 3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 2222)1(])1[(t u h x x u h x x E ∂∂-=∂∂-∂∂ρ 其中h 为圆锥的高(如图1)证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x 点处截面的半径l 为：hxl -=1所以截面积2)1()(hx x s -=π。

利用第1题，得])1([)1()(2222xuh x E x t u h x x ∂∂-∂∂=∂∂-ππρ 若E x E =)(为常量，则得2222)1(])1[(t uh x x u h x x E ∂∂-=∂∂-∂∂ρ 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。

解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为)()(x l g x T -=ρ且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。

仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ∆+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为)(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ∆+∆+--θρθρ其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角又 .sin x utg ∂∂=≈θθ 于是得运动方程x u x x l tu x ∂∂∆+-=∂∂∆)]([22ρ∣x ux l g x x ∂∂--∆+][ρ∣g x ρ利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得])[(22x ux l x g t u ∂∂-∂∂=∂∂。

5. 验证 2221),,(y x t t y x u --=在锥222y x t -->0中都满足波动方程222222y u x u t u ∂∂+∂∂=∂∂证：函数2221),,(yx t t y x u --=在锥222y x t -->0内对变量t y x ,,有二阶连续偏导数。

且 t y x t tu ⋅---=∂∂-23222)(2252222322222)(3)(t y x t y x t t u ⋅--+---=∂∂--)2()(22223222y x t y x t ++⋅--=-x y x t xu⋅--=∂∂-23222)(()()22522223222223x y x t y xt xu ----+--=∂∂()()222252222y x t y x t -+--=-同理 ()()22225222222y x t y x t yu +---=∂∂-所以 ()().222222252222222tu y x t y x t yu xu ∂∂=++--=∂∂+∂∂- 即得所证。

6. 在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力) 与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为b), 但方向相反,试导出这时位移函数所满足的微分方程.解: 利用第1题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段()x x x ∆+,上所受的摩阻力.由题设,单位质量所受摩阻力为tub∂∂-,故()x x x ∆+,上所受摩阻力为 ()()tuxx s x p b ∂∂∆⋅⋅-运动方程为:()()()()t u x x s x b x x u ES t u ES t ux x s x x x ∂∂∆⋅-∂∂-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=∂∂⋅∆∆+ρρ22利用微分中值定理，消去x ∆,再令0→∆x 得()()()().22tux s x b x u ES x t u x s x ∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂ρρ 若=)(x s 常数，则得()()t ux b x u E x tu x ∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂ρρ22若 ()()则得方程令也是常量是常量,.,2ρρρEa E x E x ===.22222xu a t u b t u ∂∂=∂∂+∂∂§2 达朗贝尔公式、 波的传抪1. 证明方程()常数011122222φh t uh x a x u h x x ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂ 的通解可以写成()()xh at x G at x F u -++-=其中F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:()().,:0x tux u t ψ=∂∂==ϕ 解：令()v u x h =-则()()()⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+-=∂∂-∂∂+=∂∂-x v u x h xu x h xv u xu x h 2,))(()()()()[(2222xv u x h x u x h x u x h x v u x u x h x ∂∂+-=∂∂-+∂∂-+∂∂+-=∂∂-∂∂又 ()2222tv t u x h ∂∂=∂∂-代入原方程，得()()222221tv x h a x v x h ∂∂-=∂∂-即 222221t va x v ∂∂=∂∂由波动方程通解表达式得()()()at x G at x F t x v ++-=,所以 ()()()x h at x G at x F u -++-=为原方程的通解。

由初始条件得()()()[])1(1x G x F x h x +-=ϕ()()()[]x aG x aF xh x //1+--=ψ所以 ()()()())2(1cd h a x G x F xx +-=-⎰ααψα由)2(),1(两式解出()()()()()22121cd h a x x h x F xx o+-+-=⎰ααψαϕ()()()()()22121c d h a x x h x G xx o+---=⎰ααψαϕ 所以 )]()()()[()(21),(at x at x h at x at x h x h t x u +--+-+--=ϕϕ+⎰+---at x atx h x h a ()()(21ψα.)ααd即为初值问题的解散。

２．问初始条件)(x ϕ与)(x ψ满足怎样的条件时，齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波组成解：波动方程的通解为u=F(x-at)+G(x+at)其中F ，G 由初始条件)(x ϕ与)(x ψ决定。

初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对 于任何t x ,有 G(x+at)≡常数.即对任何x, G(x)≡C 0又 G （x ）=⎰-+x x aCd a x 02)(21)(21ααψϕ 所以)(),(x x ψϕ应满足+)(x ϕ⎰=xx C d a 01)(1ααψ（常数） 或 'ϕ(x)+)(1x aψ=03.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂=+=-).()(0022222x u x u x u a t u at x at x ψϕ ())0()0(ψϕ= 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x ϕ=F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0)所以 F(x)=)2(x ψ-G(0). G （x ）=)2(xϕ-F(0).且 F （0）+G(0)=).0()0(ψϕ= 所以 u(x,t)=(ϕ)2at x ++)2(atx -ψ-).0(ϕ 即为古尔沙问题的解。

4．对非齐次波动方程的初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<-∞=∂∂==+∞<<-∞>=∂∂-∂∂)()(),(,0),0(),(22222x x t u x u t x t t x f x u a t u ψϕ证明：（1） 如果初始条件在x 轴的区间[x 1,x 2]上发生变化，那末对应的解在区间[1x ，2x ]的影响区域以外不发生变化；（2） 在x 轴区间[2,1x x ]上所给的初始条件唯一地确定区间[21,x x ]的决定区 域中解的数值。