江西省宜春市宜丰中学2021-2022高一数学下学期开学考试试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b > B ．a b >C ．a c b c +>+D ．ac bc >【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断A 、B 选项的正误，利用不等式的基本性质可判断C 、D 选项的正误. 【详解】取2a =-，3b =-，则22a b <，a b <，A 、B 选项错误；a b >，R c ∈，由不等式的基本性质可得a c b c +>+，C 选项正确；当0c <时，a b >，则ac bc <，D 选项错误.故选：C. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的基本性质、作差法、特殊值法、函数单调性以及中间值法来判断，考查推理能力，属于基础题. 2．下列函数中，既是奇函数又是周期函数的是 A ．sin y x = B ．cos y x =C ．ln y x =D ．3y x =【答案】A 【解析】根据函数的奇偶性定义可知函数3sin ,y x y x ==为奇函数，sin y x =为周期函数，选A.3．已知32121=0.3log 22a b c -⎛⎫== ⎪⎝⎭，，，则a ，b ，c 的大小关系（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性与1作比较可以得出a 与b 的大小关系，通过对数函数的图像性质可以得到0c <，得到最终的结果. 【详解】由指数函数和对数函数图像可知：32121(0,1),0.31,log 202a b c -⎛⎫=∈=>=< ⎪⎝⎭，则a b c ，，的大小关系是：b a c >>. 故选D ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4．若π02α-<<，则点(cos ,sin )Q αα位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 试题分析：0,cos 0,02sin πααα-<∴<，故点Q 在第四象限.考点：1.三角函数值得符号；2，点在平面直角坐标系中所在象限. 5．不等式240ax ax +-<的解集为R ，则a 的取值范围为（ ） A ．[)16,0- B ．(]8,0-C ．[]8,0-D ．(]16,0-【答案】D 【解析】 【分析】对a 分成0a =，0a <两种情况进行分类讨论，结合判别式，求得a 的取值范围. 【详解】当0a =时，不等式化为40-<，解集为R ，符合题意.当0a <时，一元二次不等式对应一元二次方程的判别式2160a a ∆=+<，解得160a -<<.综上所述，a 的取值范围是(]16,0-. 故选：D 【点睛】本小题主要考查二次项系数含有参数的一元二次不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.6．已知函数()248f x x kx =--在[)5,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),40-∞B ．(],40-∞C ．()40,+∞D ．[)40,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】先求得函数的对称轴，再由函数在[)5,+∞上单调递增，则对称轴在区间的左侧求解． 【详解】函数y ＝4x 2﹣kx ﹣8的对称轴为：x 8k= ∵函数在[)5,+∞上单调递增 ∴8k ≤5 ∴k ≤40 故选B. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及了二次函数的对称性和单调性，在研究二次函数单调性时，一定要明确开口方向和对称轴．7．已知数列{}n a 为等差数列，满足1321...11a a a +++=，则数列{}n a 前21项的和等于（ ） A ．212B ．21C ．42D ．84【答案】B 【解析】 【分析】先由1321...11a a a +++=，根据等差数列的性质，求出11a ，再由等差数列求和公式，即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，满足1321...11a a a +++=， 所以111111a =，即111a =； 所以数列{}n a 前21项的和等于1211121()21212a a a +==.故选B 【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和，熟记等差数列的性质、以及等差数列的求和公式即可，属于常考题型.8．已知过点P(2,2) 的直线与圆22(1)5x y -+=相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ）A ．12-B ．1C ．2D ．12【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：设过点(2,2)P 的直线的斜率为k ，则直线方程(22)y k x -=-，即220kx y k -+-==12k =-，由于直线220kx y k -+-=与直线10ax y -+=，因此112a -⨯=-，解得2a =，故答案为C.考点：1、直线与圆的位置关系；2、两条直线垂直的应用.9．当[0,2]x π时，满足cos 22x π⎛⎫-≥-⎪⎝⎭的x 的取值范围是（ ） A ．40,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．45,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ． 450,,233πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式，化简不等式为sin 2x ≥-，结合正弦函数图像，即可求解. 【详解】由cos sin 2x x π⎛⎫-≥⇔≥⎪⎝⎭，又[0,2]x π，所以4sin3π=，5sin 3π=． 再结合正弦函数图像，可得x 范围为450,,233πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 故选:C ． 【点睛】本题考查了诱导公式，以及利用正弦函数的图象解不等式，属于中档题．10．若偶函数()f x ()x R ∈满足()()2f x f x +=且[]0,1x ∈时,(),f x x =则方程()3log f x x =的根的个数是( )A ．2个B ．4个C ．3个D ．多于4个【答案】B 【解析】 【分析】在同一坐标系中画出函数()y f x =和函数3log y x =的图象，这两个函数的图象的焦点个数，即为所求. 【详解】因为偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数的周期为2， 又当[]0,1x ∈时，()f x x =，故当[1,0)x ∈-时，()f x x =-，则方程()3log f x x =的根的个数，等价于函数()y f x =和函数3log y x =的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示，可得两函数的图象有4个交点， 即方程()3log f x x =有4个根，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，即根的存在性及根的个数的判定，其中解答中把方程()3log f x x =的根的个数，转化为函数()y f x =和函数3log y x =的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 11．已知数列{}n a 满足*n N ∀∈，112333n n na a a n-+++=，则n a 的前n 项和n S =（ ） A ．1332n +-B ．312n -C ．22n n +D ．24n n +【答案】C 【解析】 【分析】根据n S 与n a 的关系求出()212n a n n =+≥，再验证13a =是否满足通项，利用等差数列的前n 项的和公式即可求解. 【详解】由题意知112333n n n a a a n -++⋅⋅⋅+=⋅①，当2n ≥时，()211213313n n n a a a n ---+++=-⋅②，①-②得()()1113313321n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+，故()212n a n n =+≥，当1n =时，13a =，亦满足通项， ∴21n a n =+，所以{}n a 为等差数列， 故()()12321222n n n a a n n S n n +++===+， 故选：C . 【点睛】本题考查了递推关系式求数列的通项公式、等差数列的前n 项的和公式，需熟记公式，属于中档题.12．已知()()()23f x m x m x m =-++，()42xg x =-，若对任意x ∈R ，()0f x <或()0g x <，则m 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．7,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．7,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】先求得()0<g x 的解集12x <，接着用分类讨论方法解不等式()0f x <，只要12x ≥时，()0f x <即可．【详解】由()420xg x =-<得12x <， 因此对任意x ∈R ，()0f x <或()0g x <，只要12x ≥时，()0f x <即可， ()()()23f x m x m x m =-++，∴0m <，()0f x =2x m ⇒=或3x m =--，由23m m =--得1m =-，当10m -≤<时，23m m ≥--，()0f x <⇒2x m >或3x m <+，∴122m <，14m <，∴10m -≤<满足题意，当1m <-时，23m m <--，()0f x <⇒2x m <或3x m >--，∴132m --<，72m >-，∴712m -<<-， 综上，702m -<<．故选：C. 【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数范围，考查含参数的一元二次不等式的解集问题．分类讨论是解决含参数的一元二次不等式的基本方法．第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知数列{}n a 的通项公式(1)(21)nn a n =--，则5a =____________．【答案】9- 【解析】 【分析】将5n =代入即可求解 【详解】令5n =，可得59a =-. 故答案为：9- 【点睛】本题考查求数列的项，是基础题14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1AA 、AB 的中点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是______.【答案】π3【解析】 【分析】将所求两条异面直线平移到一起，解三角形求得异面直线所成的角. 【详解】连接11,A B BC ，根据三角形中位线得到1//EF A B ，所以11BA C ∠是异面直线EF 与11A C 所成角.在三角形11A BC 中，1111A B BC AC ==,所以三角形11A BC 是等边三角形，故11π3BAC ∠=. 故填：π3.【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力，属于基础题.15．已知x ，y 满足02020x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最小值为_________．【答案】8-； 【解析】【分析】画出不等式02020x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩表示的可行域，然后将3z x y =+变形为33x zy =-+，然后即可得出答案. 【详解】不等式组02020x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩表示的可行域如图：由3z x y =+得33x z y =-+，由图可知：当直线33x zy =-+过点(2,2)B --时z 最小 所以z 的最小值为()2328-+⨯-=- 故答案为：8- 【点睛】本题考查的是线性规划的知识，较简单.16．已知,(0,)x y ∈+∞，2133x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则41x y+的最小值为__________． 【答案】92【解析】 【分析】根据指数运算，即可求得,x y 关系，利用均值不等式，即可求得最值. 【详解】因为2133x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故可得2x y -=，即可2,0,0x y x y +=>>；故41x y +()()14114119555422222y x x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫=⨯++=++≥+=+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝. 当且仅当4y x x y =，即42,33x y ==时取得最小值. 故答案为：92. 【点睛】本题考查指数运算，利用均值不等式求和的最小值，属综合基础题.三、解答题17．已知函数()2f x x ax b =-++的图象关于直线2x =对称且()10f =．（1）求a 、b 的值；（2）求函数()f x 在区间[]3,3-上的最小值和最大值．【答案】（1）43a b =⎧⎨=-⎩；（2）最大值1，最小值24-.【解析】 【分析】（1）根据题意得出关于实数a 、b 的方程组，即可解得实数a 、b 的值；（2）分析函数()y f x =在区间[]3,3-上的单调性，进而可得出函数()y f x =在区间[]3,3-上的最小值和最大值．【详解】（1）由于函数()2f x x ax b =-++的图象关于直线2x =对称且()10f =，则()22110af a b ⎧=⎪⎨⎪=-++=⎩，解得43a b =⎧⎨=-⎩；（2）()()224321f x x x x =-+-=--+，[]3,3x ∈-，所以，函数()y f x =在区间3,2上单调递增，在区间[]2,3上单调递减，所以，函数()y f x =在区间[]3,3-上的最大值为()()max 21f x f ==，最小值为()()min 324f x f =-=-．【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，同时也考查了二次函数在区间上最值的求解，考查计算能力，属于基础题.18．（1）计算252525sincos tan()634πππ++- （2）若角α的终边上有一点(),8P m -，且3cos 5α=-.求()()()sin cos 2tan cos ππαααπα⎛⎫++⎪⎝⎭---的值.【详解】(1)252525sincos tan()634111063422sin cos tan ππππππ=+-=++-+=- （2）原式()()()()()()sin cos sin sin 2sin tan cos tan cos ππααααααπααα⎛⎫++ ⎪--⎝⎭===-----，点P 到原点的距离为()222864r m m =+-=+，根据三角函数的概念可得23cos 564mm α==-+，解得6m =-，6m =（舍去）.可得26410r m =+=，84sin 5r α-==-， ∴原式4sin 5α=-=. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，意在考查学生的计算能力. 19．已知集合{}2514A x y x x ==--，集合(){}2|lg 712B x y x x ==---，集合{}|121C x m x m =+≤≤-.（1）求AB ；（2）若A C A ⋃=，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(4,3)--；（2）或．【解析】试题分析：（1）根据定义域求得集合A ，根据值域求得集合B ，再根据数轴求交集（2）先将条件转化为集合包含关系：A C ⊃ ，再根据空集讨论，最后根据数轴研究两集合包含关系. 试题解析：（1）25140x x --≥，27x x ∴≤-≥或即(][),27,A =-∞-⋃+∞27120x x ---> 43x ∴-<<-即 ()4,3B =--()4,3A B ∴⋂=--（2）C A ∴⊆当2112m m m -<+<时即时 C 为空集满足条件2m ∴<; 当211m m -≥+即2m ≥时21217m m -≤-+≥或,162m m ∴≤-≥或;又2m ≥ 6m ∴≥综上或．点睛：(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点．（1）求证：BE 平面PDF ． （2）求证：平面PDF ⊥平面PAB ．【答案】(1)见解析; (2)见解析 【解析】 试题分析：（1）取PD 中点G 点，连EG ，可证得四边形EBFG 是平行四边形，得BE FG ，根据线面平行的判断定理可得BE 平面PDF ．（2）连BD ，由菱形ABCD 可证得DF AB ⊥；由PA ⊥平面ABCD ，可得PA DF ⊥，从而证得DF ⊥平面PAB ，由面面垂直的判断定理可得结论。