二、超静定问题的解法
平衡方程
补充方程
不能完全求出约束力 三 方 变形协调 面 的 方程 条 件 物理方程
第九章 扭 转
一、扭转的概念
g——切应变 j——扭转角
外力特征——外力偶作用在杆的横截面上。
变形特征——杆件的纵向线倾斜同一角度，横截面 绕杆轴线转动。
二、传动轴的外力偶矩
已知： 输出功率为P（kW） 轴的转速为n（r/min）
I p dA
2
A
o
x
——截面对o点的极惯性矩
I xy xydA A
——截面对x、y轴的惯性积
y
x
dA y
o
x
2、性质
☻Ix、 Iy 、Ip、 Ixy均相对于坐标轴而言。
☻Ix、 Iy 、Ip永远为正， Ixy可正、可负、可为零。
☻Ix+Iy =Ip 常用单位：m4，mm4
六、梁纯弯曲时横截面上的正应力
☻内力图要求
①受力图与剪力图、弯矩
Fs
F
q
M
图对齐。
②正剪力画在横轴上侧， 正弯矩画在横轴下侧。 ③图上标控制面内力及极 值点内力。
M
x
x
作内力图方法
微分定形； 积分定量； 突变特性。
第十一章 弯曲应力
一、静矩
S x ydA A S y xd A A
性质：
静矩相对于坐标轴而言。 静矩可正、可负、可为零。
通常所说内力指截面上分布内力系的合力。
9、截面法
截面法是确定内力的基本方法 截面法四部曲 —截开 —取出 —代替 —平衡
10、应力
受力杆件某一截面某一点上的内力分布集度。
11、材料力学的四种基本变形形式：
轴向拉伸和压缩 剪切 扭转 弯曲
第八章 轴向拉伸和压缩
一、 轴向拉伸和压缩的概念
1、受力特点

可进行三类强度计算 强度校核； 设计截面； 确定许可载荷。
十一、等直圆杆扭转时的变形
Tl j GI p
十二、 刚度条件
j max Tmax 180 j GI p
三类计算：
1、刚度校核； 2、设计截面 3、确定许可载荷
第十章 弯曲内力
一、弯曲的概念
弯曲特点：杆件受到垂直于杆轴线方向的外 力（或在杆轴平面内的外力偶）作用时，杆 的轴线由直线弯成曲线。
求： 外力偶矩Me（kN.m）
P M e 9550 ( N m ) n
三、扭转轴的内力 扭矩 ——T 扭矩的正负规定：
按右手螺旋法则， 扭矩矢量沿截面外法线方
向为正；反之为负。
3、扭矩图
扭矩图——表示扭矩沿杆件轴线变化规律的图线。
要求：
①扭矩图和受力图对齐；
②扭矩图上标明扭矩的大小、正负和单位。
Fs max A
截面形式
矩形
薄壁圆环
圆

3/2
2
4/3
十三、梁的合理设计
梁的强度主要由正应力强度条件控制
max M max Wz
材料确定时，提高梁承载能力的主要途径： ☻提高截面的弯曲截面系数； ☻降低梁的最大弯矩。 1、选择合理截面
2、合理布置载荷及支座
二、基本概念
梁——以弯曲为主要变形的杆件。
工程上常见梁，其截面一般至少有一个对称轴。
如圆形、矩形、T型、工字形
F 挠曲线 q M 纵向对称面 轴线 对称轴
对称弯曲 对称弯曲特点：
外载荷垂直轴线且作用于纵向对称面内。
梁变形后的轴线成为纵向对称面内的曲线。
三、常见静定梁形式
简支梁
悬臂梁
外伸梁
组合梁
Wz
九、剪力弯曲时横截面上的正应力
M( x )y Iz
十、弯曲正应力强度条件
强 度 条 件
t max t
c max c
等直梁
t c
max
M max Wz
强度校核 三类强度计算 设计截面 确定许可载荷
六、胡克定律
FN l l = EA
FNi l i l ∑ i 1 E i Ai
n
e= E
a、轴力或横截面或弹性模量分段为常数时
b、轴力或横截面是位置坐标的连续函数时
FN x dx l l EA x
七、计算拉压杆的变形的其他方法
叠加法
面积法
八、变形与位移的关系 变形：是指杆件几何尺寸的改变，是标量；
0 cos
2
结论： ① 0°横截面，max=0，0； ② 90°纵截面，min=0，=0； ③ 45°斜截面，max=0/2；45°=0/2； ④ 45°斜截面，min=-0/2；45°=0/2； 说明： ——横截面转向斜截面逆时针转向为正，反之负； ——拉应力为正，压应力为负； ——对脱离体内任一点产生顺时针力矩时为正，
反之负。
1 0 sin 2 2
五、材料在拉伸和压缩时的力学性能
一条线
e 曲线
两个规律 ①在线弹性阶段内，应力和应变成正比
②卸载规律 三个现象 ①屈服现象 ②颈缩现象 ③冷作硬化现象
四个阶段 Ⅰ、弹性阶段
Ⅲ、强化阶段
Ⅱ、屈服阶段 Ⅳ、局部变形阶段
五个特征指标 E s b d y
最大正应力在横截面的上、下边缘点处
max Mymax M Wz Iz
Iz Wz ymax
——弯曲截面系数
常用截面的抗弯截面系数 h D
z
b
d
z
z
d D
Iz
bh 12 bh 6
2
3
d 4 64 d 3 32
D 4 ( 1 4 ) 64 D 3 ( 1 4 ) 32
纯弯曲：梁段内各横截 面上的剪力为零，弯矩 为常数，则该梁段的弯 曲称为纯弯曲。
F 剪弯 纯弯 剪弯 F
A
a
B
F
C l
F
a
F
D
剪力弯曲：梁段内剪力 （Fs） ﹣ 不为零的弯曲称为剪力 F Fa 弯曲。（也称横力弯曲）
（ M）
﹢ ﹣
Fa
七、梁纯弯曲时横截面上的正应力公式
My Iz
y
z
八、最大正应力
作用于杆上的合外力的作用线与杆的轴线重合。
2、变形特点
杆件产生轴向的伸长或缩短。
二、 内力· 截面法· 轴力和轴力图 1、内力
指截面上分布内力系的合力。
2、截面法
截面法四部曲 —截开 —取出 —代替 —平衡
3、轴力FN
沿杆轴线方向作用的内力，称为轴力。
轴力正负规定：
压为负 拉为正 以使脱离体受拉为正，使脱离体受压为负。
快速作扭矩图
上上下下
四、薄壁圆筒的扭转
r0/d≥10 时，称为薄壁圆筒。
五、变形
T 2r02 d
gl j r0
六、剪切胡克定律
Gg
2
七、切应力互等定理
过一点的两相互垂直截面上，切应力成 对出现，其大小相等，且同时指向或同 1 时背离两截面的交线。 2
1
八、等直圆杆扭转时横截面的应力
F N3
3 2 A 1
F N2
F
2 A 1
F N1
F N1
三、重心坐标的一般公式
xc P Pi yi yc P Px
i i
zc
Pz P
i i
四、组合形体的重心
1、分割法
如果一个物体由几个简单形状的物体组合而成，而 这些物体的重心是已知的，那么整个物体的重心可 由下式求出。
十一、梁横截面上的切应力
Fs S bIz
z
Fs ——所求横截面上的剪力
S z ——横截面上所求点一侧的截面对中性轴的静矩
b ——中性轴所穿过的横截面的宽度
I z ——横截面对中性轴的惯性矩
十二、切应力强度条件
max
即 或
max
max
Fs max Szmax bI z
c
x
形心
Ax x A A Ay S y A A
Sy
i
i
i
x
i
i
i
四、半圆形截面的形心:
y
R
o
x
x0
Sx 4R y 3 A
五、极惯性矩· 惯性矩· 惯性积
I x y 2dA A
y
dA y
——截面对x轴的惯性矩
I y x 2dA A

——截面对y轴的惯性矩
四、弯曲梁的内力——剪力FS和弯矩M
1、剪力和弯矩的确定 截面法 2、剪力和弯矩的正负规定
FS
﹢
FS
FS
﹣ ﹣
FS
Fs： 剪力对脱离体内任一点取矩，产生顺时针力 矩的为正，反之为负。（左上、右下为正）
M M
﹢
M
M
M：使脱离体下侧受拉、上侧受压为正，反之为 负。（左顺、右逆为正）
五、剪力图和弯矩图
工程力学
第六章 静力学专题
——桁架· 重心
一、平面静定桁架内力的计算
1、节点法
---取桁架中的节点为研究对象 计算的方法。
同平面汇交力系计算法。
此法适合于求桁架所有杆件的内力。
注:
（1）所有杆件均假设受拉。 （2）每次对象只能列出两个方程。
（3）合理确定坐标方位及方程次序。
2、截面法 ---同平面任意力系计算法。 注:
T TR T max Ip I p Wp 其中： 4 d I p 2dA A 32 d 3 Wp 16