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END！
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本节内容
牛顿力学：影响机械系统质点运动的因素是力 分析力学：影响机械系统质点运动的因素是力和约束
约束对质点施加了力 牛顿力学：内力和外力 内力不改变系统的动量
分析力学？ 内容1：约束的力学特性-理想约束 内容2：动力学基本方程
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约束的力学性质（例）
质点间的力既是内力，又是约束力
达朗贝尔原理－拉格朗日原理： 设质系的质点Pi受主动力Fi的作用，质系的约束都是理想、 双面约束，可能运动ri = ri(t)是真实运动的充分必要条件是：
n
(Fi mi&r&i ) δri 0 动力学普遍方程
i 1
引入理想约束 将质点运动推广到系统运动
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动力学基本原理与牛顿定律
达朗贝尔－拉格朗日原理和牛顿定律是等价的。
牛顿定律 Fi Ni mir&&i 0, i 1, 2,L , n
对理想约束
n
n
(Fi mir&&i ) δri Ni δri 0
i 1
i 1
n
Ni δri 0
i 1
n
(Fi mi&r&i ) δri 0
i 1
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质点所受的力是外力，不是约束力 质点所受的力是外力，是约束力
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虚功
作用在质点Pi上的力Fi在其虚位移ui上所作的功称为力Fi的虚功：
Wi Fi ui
虚功是一个无限小标量
虚功不是功的变分
拉格朗日力学将力分为作虚功的和不作虚功的 拉格朗日力学将从能量观点研究力学问题
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达朗贝尔原理
达朗贝尔原理是关于非自由质点动力学的原理：
F发动 ma F损失 F ma 达朗贝尔原理:作用于质点上的损失 力在每一瞬时都为约束力所平衡
F损失 N 0 达朗贝尔原理将牛顿定律推广到受约束质点
Fi Ni mir&&i 0
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动力学基本原理
(r1
r2 )2
质点所受的约束力不一定与约束面垂直
单个质点的虚功不为0，但其和为0
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约束力的虚功：质点系、铰接
光滑铰链约束：
牛顿第三定律： R1 R2 0
约束点不分离：： r1 r2
W R1 r1 R2 r2 (R1 R2 ) r1
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取刚杆为 隔离体：
ma (R1 R2 )
d (Iω) L dt
m0 I 0
R1 R2 0 L 0
质点所受的约束力大小相等，方向相反，且沿杆的轴向
R1 R2 (r1 r2 )
W R1 r1 R2 r2 R1 ( r1 r2 )
(r1
r2 ) ( r1
r2 )1 2Pa Nhomakorabeae 7约束力的虚功：质点系、接触
两刚体以光滑表面保持接触而运动：
牛顿第三定律： R1 R2 0
可能位移在接触面法线分量相等。
r1法向 r2法向 W R1 r1法向 R2 r2法向 (R1 R2 ) r1法向
体所受的约束力不一定与约束面垂直
单个体的虚功不一定为0
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约束力的虚功：质点、定常约束
质点沿固定光滑的曲面上运动： f (x, y, z) 0
虚位移满足：
f x
x
f y
y
f z
z
0
约束力沿曲面的法线方向：R f f f T x y z
虚功： Wi Ri ui 0
约束力(外力)的虚功为0
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约束力的虚功：质点、非定常约束
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动力学基本原理与牛顿定律
由理想约束的定义和达朗贝尔－拉格朗日原理：
n
n
(Fi mir&&i ) δri Ni δri 0
i 1
i 1
n
(Fi Ni mi&r&i ) δri 0
i 1
用约束反力代替约束后，质系就变成了自由质系， 所有虚位移都是相互独立的，故
Fi Ni mir&&i 0, i 1, 2,L , n
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约束力的虚功：质点系、纯滚动
两刚体以粗糙表面保持接触而运动(纯滚动)：
牛顿第三定律： R1 R2 0
约束力的方向不定
接触点处的速度相同：v1 v2
r1 r2 (dr1 dr1) (dr2 dr2)
(dr1 dr21) (dr dr2) (v1 v2 )dt (v1 v2)dt
0
W R1 r1 R2 r2 R1 ( r1 r2 )
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理想约束
理想约束：约束反力在质系任意虚位移上所做的虚功恒等 于零的约束。
n
Ri δri 0
i 1
理想约束的定义是从实际约束中抽象出来的。
可以根据理想约束来对作用在质点系上的力进行分类
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质点沿运动光滑的曲面上运动： f (x, y, z,t) 0
虚位移满足：
f x
x
f y
y
f z
z
0
约束力沿曲面的法线方向：R
f x
f y
f z
T
虚功： Wi Ri ui 0
约束力(外力)的虚功为0
可能位移与虚位移的差别？
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约束力的虚功：质点系
刚性约束：两质点用轻质刚杆连接