& && & ∆PC = ( −mg sin θ − RgC ) ∆vC + ( -M gC ) ∆ϕC = - ( mgr sin θ + 1.5mr 2ϕ ) ∆ϕ
虚功率方程： 虚功率方程： ∆PO + ∆PC = 0
&& ϕ=
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( M O − mO ρ 2ϕ ) - ( mgr sin θ + 1.5mr 2ϕ ) ∆ϕ = 0 && && &
杆O1O3：
r 16 && mO1 ( F ) = M 2 − M 1 + M12 − M13 + Rτ 2 2r + Rτ 3 4r + M g1 = M 2 − M1 − ( m2 + 20m1 )r 2ϕ g g 3
δ AF 1 = mO
1
(
2
r r 16 && F , Fg δϕ = M 2 − M 1 − m2 + 20m1 r 2ϕ δϕ 3
Ⅰ
M2
O1
Ⅱ
Ⅲ Ⅰ
& ϕ
O1
& ϕ2
Ⅱ
r vD
O2
O3
r vO2
O2
D
Ⅲ
r vO3
O3
& ϕ3
解： （1）运动分析 ） & && 为广义坐标， & ϕ 左正右负， & 取ϕ为广义坐标，ϕ ， 左正右负，ϕ1 = ϕ
C
& Ⅱ轮： vO 2 = rϕ 2
& & vO 2 = O1O2ϕ1 = 2rϕ1
& & 得：ϕ 2 = 2ϕ1
& ∆vC = r∆ϕ
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& ∆ϕ C =
r & ∆ϕ R
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θ
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§3.2 虚功率形式的动力学方程
虚功率形式的动力学方程 2）受力分析 ） 常力矩M，轮的重力mg，绞车重力m 常力矩 ，轮的重力 ，绞车重力 Og 3）惯性力分析 ） 圆轮： 圆轮： 绞车： 绞车：
RgO = 0
&& && M gO = J Oϕ = mO ρ 2ϕ
如果统一编号
∑( X
r =1
3n
r
− mr &&r ) δ xr = 0 x
注意: 注意 1. 对于非理想约束力可作为主动力处置 2. 方程中不出现约束反力
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§3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程 已知：行星轮系，在平面内运动。三个轮均为均质圆盘， 例3-1 已知：行星轮系，在平面内运动。三个轮均为均质圆盘，质量均为 m1，半径为 ，曲柄为均质杆，质量为 2，长为 ； 各轮在接触点只滚不 半径为r，曲柄为均质杆，质量为m 长为4r； 在轮心轴承O 处摩擦力矩均为M 滑。在轮心轴承 1、O2、O3处摩擦力矩均为 1。在曲柄上作用一常力偶矩 M2。求：曲柄的角加速度
M − mgr sin θ mO ρ 2 + 1.5mr 2
&& aC = rϕ =
r ( M − mgr sin θ ) mO ρ 2 + 1.5mr 2
r r r & ∆Pi = ∑ ( Fi − mi ai ) ⋅ ∆ri = 0 ∑
n n i =1 i =1
虚功率形式的动力学方程(若丹原理) 虚功率形式的动力学方程(若丹原理)
具有理想约束的质点系，在任意瞬时和位形上，作用于各质点上的主动力和 具有理想约束的质点系，在任意瞬时和位形上， 虚加的惯性力在任一虚速度上所做的元功率之和等于零。 虚加的惯性力在任一虚速度上所做的元功率之和等于零。 r r r r r r r r & =δ x i +δ y j +δz k &i &i &i ∆r 上式中： 上式中： Fi = X i i + Yi j + Zi k
§3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程 简化中心O Ⅱ轮：简化中心 2 平面运动
τ && Rτ 2 = −m1aO 2 = −2rm1ϕ g
n n & Rg 2 = −m1aO 2 = −2rm1ϕ 2
1 && && && M g 2 = − J O 2ϕ 2 = − m1r 2ϕ 2 = − m1r 2ϕ1 2 简化中心O Ⅲ轮：简化中心 3
虚功形式的动力学方程，简称动力学普遍方程（达朗伯－拉格朗日方程） 虚功形式的动力学方程，简称动力学普遍方程（达朗伯－拉格朗日方程） 在具有理想约束的质点系中，在任意瞬时和位形上，作用于各质点上的主 在具有理想约束的质点系中，在任意瞬时和位形上， 动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所作的元功之和等于零。 动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所作的元功之和等于零。
其在直角坐标中的投影形式为： 其在直角坐标中的投影形式为：
∑ ( X
i =1
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n
i
− mi &&) ∆xi + (Yi − mi &&) ∆yi + ( Zi − mi &&) ∆zi = 0 x & y & z &
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§3.2 虚功率形式的动力学方程
虚功率形式的动力学方程 已知： 做纯滚动， 例3-2已知：常力矩 ，均质圆轮 做纯滚动，质量为 ，半径为 。绞车半 已知 常力矩M，均质圆轮C做纯滚动 质量为m，半径为R。 径为r，质量为m 回转半径ρ。斜面倾角θ，绳质量、 径为 ，质量为 O，回转半径 。斜面倾角 ，绳质量、轴承摩擦不计 & ϕ 求 ： aC 单自由度系统， 解：单自由度系统，取绞车转角ϕ为广义坐标 1）运动分析、虚速度分析 ）运动分析、 绞车
r r r r & ∆Pi = ∑ ( Fi + N i + Fgi ) ⋅ ∆ri = 0 ∑
n i =1
如果此质点系是理想约束， 如果此质点系是理想约束，则
r r & N i ⋅ ∆ri = 0 ∑
应用力学研究所 李永强 第10页
§3.2 虚功率形式的动力学方程
虚功率形式的动力学方程 理想约束下质点系的虚功率方程为： 理想约束下质点系的虚功率方程为：
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§3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程
动力学普通方程的投影形式： 动力学普通方程的投影形式：
∑ ( X
i =1
n
i
− mi &&i ) δ xi + (Yi − mi &&i ) δ yi + ( Zi − mi &&i ) δ zi = 0 x y z
为计算虚功，可将系统上的力集中到某几个刚体上，如集中到 为计算虚功，可将系统上的力集中到某几个刚体上，如集中到O1O3曲柄上 。
应用力学研究所 李永强 第7页
§3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程
集中后曲柄上的力为：常力偶矩 对它的摩擦力矩为M 集中后曲柄上的力为：常力偶矩M2，轮O1、O2、O3对它的摩擦力矩为 1、M2、M3
τ && && Rτ 1 = −m2aO 2 = −m2 2rϕ1 = −2m2 rϕ g
n n &2 & Rg1 = −m2aO 2 = −m2 2rϕ 1 = −2m2 rϕ 2
（作用在O1） 作用在 作用在O （作用在 1） 右转
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1 16 && && && M gO1 = − J O1ϕ = − m2 (4 r ) 2 ϕ = − m2 r 2ϕ 3 3
)
轮Ⅱ： mO ( F , Fg ) = M g 2 − M 12 = − M1 − m1r 2ϕ && ′
r r && ∴ δ AF 2 = mO2 ( F , Fg ) ⋅ δϕ2 = −2 ( M1 + m1r 2ϕ ) δϕ
r r
Q δϕ2 = 2δϕ1 = 2δϕ
轮Ⅲ：
3
Q δϕ3 ≡ 0
第三章 动力学方程的三种基本形式
东北大学理学院应用力学研究所 李永强
第三章 动力学方程的三种基本形式
虚功形式的动力学方程－ §3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程 §3.2 虚功率形式的动力学方程 §3.3 高斯形式的动力学方程
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§3.1 虚功形式的动力学方程－动力学普遍方程 本方程为虚功原理与达朗伯原理的结合 质点系由n个质点组成 各质点的质量用m 个质点组成， 表示， 质点系由 个质点组成，各质点的质量用 i (i=1,2,…,n)表示， 作用于第 个 表示 作用于第i个 r r 质点上的主动力、 表示，在任意瞬时， 个质点的加速 质点上的主动力、约束力用 Fi 、 N i 表示，在任意瞬时，第i个质点的加速 r 度为 ai 。 r r r r r 在此质点上虚加一惯性力 Fgi = − mi ai 由达朗伯原理可得： 由达朗伯原理可得：Fi + N i + Fgi = 0 对质点系 :
τ && Rτ 3 = −m1aO 3 = −4rm1ϕ g
n n & Rg 3 = −m1aO 3 = −4m1rϕ 2
M g3 = 0
（4）虚位移，虚功，虚功方程 ）虚位移，虚功，