七年级常用几何证明的定理
1、对顶角相等
∵∵1与∵2互为对顶角
∵∵1＝∵2
2、垂直的定义
∵∵AOB＝90°
∵AB∵CD
∵AB∵CD
∵∵AOB＝90°
3、平行公理
平行于同一直线的两直线平行。
∵AB∥EF，CD∥EF
∴AB∥CD
4、同位角相等，两直线平行
∵∠1＝∠2
∴AB∥CD
5、内错角相等，两直线平行
∵∠1＝∠2
∴AB∥CD
6、同旁内角互补，两直线平行
∵∠1+∠2＝180O
∴AB∥CD
7、垂直于同一直线的两直线平行
∵a⊥c，b⊥c
∴a∥b
8、两直线平行，同位角相等
∵AB∥CD
∴∠1＝∠29、两直线平行，内错角相等
∵AB∥CD
∴∠1＝∠2
10、两直线平行，同旁内角互补
∵AB∥CD
∴∠1+∠2＝180°
11、余角的性质：同角或等角的余角相等
∵∠3与∠4互为对顶角
∴∠3＝∠4
∵∠1＋∠3＝90°
∠2＋∠4＝90°
∴∠1＝∠2
12、补角的性质：同角或等角的补角相等
∵∠AOB＋∠BOD＝180°
∠AOC＋∠COD＝180°
且∠BOD＝∠AOC
∴∠AOB＝∠COD
八年级常用几何证明的定理
1、三角形的角平分线
∵BD是△ABC的角平分线
∴∠ABD＝∠CBD=∠ABC
2、三角形的中线
∵BD是△ABC 的中线
∴AD＝BD＝AB
3、三角形的高线：
∵AD是△ABC的高
∴∠ADB＝∠ADC＝90°
4、三角形三边的关系：
三角形两边之和大于第三边，两
边之差小于第三边。
如图：|AB－AC|<BC<AB＋AC
1
2
1
2
5、三角形内角和定理
（证明：用内角转化为平角）
在△ABC中：
∠A＋∠B＋∠C＝180°
6、直角三角形的两锐角互余
∵△ABC中，∠C＝90°
∴∠A＋∠B＝90°
7、有两个角互余的三角形是直角三
角形
∵∠A＋∠B＝90°
∴△ABC是直角三角形
8、三角形的一个外交等于和它不
相邻的两内角之和
∵∠ACD是△ABC的外角
∴∠ACD＝∠A＋∠B
9、多边形的内角和=180°×（n-2）
n边形每增加一条边，内角和的度数就增加180°
10、多边形的外角和等于360°
11、全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等
∵△ABC≌△DEF
∴AB=DE,BC=EF,AC=DF
∠A=∠E，∠B=∠F，∠C=∠G（字母要对应）
12、全等三角形的判定定理：
13、角平分线的性质（角相等推出垂线段相等）角的平分线上的点到角的两边的
距离相等（用AAS证明）
∵OC是∠AOC的平分线
且PD⊥AO，PE⊥BO
∴PD＝PE
14、角平分线的判定（垂线段相等
推出角相等）
角的内部到角的两边的距离相等的
点在角平分线上（用HL证明）
∵ PD ⊥AO ，PE ⊥BO ，PD ＝PE ∴点P 在∠A0B 的平分线OC 上
15、垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等（用SAS 证明） ∵L ⊥AB ，CA=CB ∴PA ＝PB
16、垂直平分线的判定
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上（用HL 证明） ∵PA ＝PB
∴点P 在AB 的垂直平分线L 上
17、对称坐标
点（x ,y ）关于x 轴对称的点的坐标为（x ，-y ） 点（x,y ）关于y 轴对称的点的坐标为（-x ，y ） 关于x 轴称，x 的坐标不变， 关于y 轴称，y 的坐标不变。
18、等腰三角形两个底角相等（等边对等角） ∵AB=AC ∴∠B=∠C
19、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）
中线推角平分线、高（用SSS 证明） ∵AB=AC ，BD=CD
∵∵BAD=∵CAD ，AD∵BC
角平分线推中线、高（用SAS 证明）
∵AB=AC ，∵BAD=∵CAD ∵ BD=CD ，AD∵BC
高推中线、角平分线（用HL 证明） ∵AB=AC ， AD∵BC
∵ BD=CD ，∵BAD=∵CAD
20、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） ∵∠B=∠C ∴AB=AC
20、等边三角形的三个内角相等，并且每一个角都等于60°
∵ △ABC 是等边三角形 ∴ ∠A =∠B =∠C =60°
21、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，三条对称轴交于一点，该点称为“中心”。
22、等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质。
23、等边三角形内心，重心，垂心，外心四心合一。
24、三个角都相等的三角形是等边三角形 ∵ ∵A= ∵ B= ∵ C
∵∵ABC 是等边三角形
25、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
∵ ∵A=60°, AB=BC
∵∵ABC是等边三角形
26、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
∵∠BAC = 90°，∠C＝30°
∴
AB=BC
27、同时加（减）公共边、公共角
∵AB=CD
∴AB+BC=CD+BC
∴AC=BC
∵∠1=∠2
∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD
∴∠BAD=∠CAE
28、三角形中边与角之间的不等关系
三角形中大边对大角。
三角形中大角对大边。
29、线段公理：两点之间，线段最短
垂线公理：垂线段最短
30、将军饮马问题六大模型
1. 如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
2.如图，直线l和l的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON 上作点A，B。
使△PAB的周长最小。
4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。
使四边形PAQB的周长最小。
5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
6.如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
造桥选址问题(旗形)：A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。
桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）。
仿照上例，可以将点A沿与河垂直的方向平移两个河宽分别到到A1、A2，路径中两座桥的长度是固定的。
为了使路径最短，只要A2B最短。
连接A2B，交河流2河岸于N，在此处造桥MN；连接A1M，交河流1河岸于P，在此处造桥PQ。
所得路径AQPMNB最短。
2 1。