平行四边形一、知识点复习平行四边形的判定方法①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

③两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

④对角线相互平分的四边形是平行四边形。

（1）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。

（2）平行线等分线段定理的推论:经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边。

（3）三角形的中位线:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（4）三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

3、三角形的重心（1）重心的定义：三角形的三条中线交于一点，这点就是三角形的重心。

（2）重心的性质：三角形的三条中线相交于一点，这点和各边中点的距离等于相应各边上中线的三分之一。

二、典型例题讲解 模块1：平行四边形的判定题型1：平行四边形的判定例题1：如图所示，在平行四边形ABCD 中，CF AE ,分别是DAB ∠，BCD ∠的平分线，求证：四边形AFCE 是平行四边形。

例题2：如图，在等边三角形ABC 中，D 是BC 的中点，以AD 为边向左侧作等边三角形ADE 。

（1）求CAE ∠的度数。

（2）取AB 的中点F ，连接CF 、EF 。

试证明四边形CDEF 是平行四边形。

例题3：如图，在平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，F E ,是BD 上的点，且DF BE =. 求证：四边形AECF 是平行四边形。

变式练习：1.如图，在ABC ∆中，中线BD ，CE 相交于点O ,F 、G 分别是OB 、OC 的中点，连接DE GD FG EF ,,,，求证：四边形DEFG 是平行四边形。

2.如图，已知DE AB //，DE AB =，DC AF =，求证：四边形BCEF 是平行四边形。

3.如图，四边形ABCD 中，BC AD //，作DC AE //交BC 于E 。

ABE ∆的周长是cm 25，四边形ABCD 的周长是cm 37，那么=AD cm 。

题型2：添加条件证明平行四边形例题4：如图，在四边形ABCD 中，ACB DAC ∠=∠，要使四边形ABCD 成为平行四边形，则应添加的条件不能是（ ）A 、BC AD =B 、OC OA = C 、CD AB = D 、180=∠+∠BCD ABC 例题5：A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①CD AB //；②CD AB =；③AD BC //；④AD BC =这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有 种。

变式练习1.(如图，四边形ABCD 的对角线交于点O ，下列哪组条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形（ ）A 、DO OB OC OA ==, B 、CD AB BCD BAD //,∠=∠ C 、BC AD BC AD =,// D 、CO AO CD AB ==,2. 已知在四边形ABCD 中，CD AB //，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A 、BC AD =B 、BD AC = C 、C A ∠=∠D 、B A ∠=∠ 3.如图所示，平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上两点，连接AE ,AF ,CE ,CF ,添加 条件，可以判定四边形AECF 是平行四边形。

（填一个符合要求的条件即可）4.四边形ABCD 中，BC AD //，要使四边形ABCD 成为平行四边形还需满足的条件是 （横线上只需填一个你认为合适的条件即可）题型3：平行四边形的判定与性质的综合应用例题6：已知：如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，E 是BO 的中点，过点B 作AC 的平行线，交CE 的延长线于点F ，连接BF 。

（1）求证：CO FB =；（2）求证：四边形AOBF 是平行四边形。

例题7：如图所示，O 为等边ABC ∆内任意一点，BC OD //，AC OE //，AB OF //，并且D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 上，求证：BC OF OE OD =++．例题8:如图所示，BD 是ABC ∆的角平分线，点E ,F 分别在边BC ,AB 上，且AC EF AB DE //,//.（1）求证：AF BE =；（2）若6,60==∠BD ABC,求四边形ADEF 的面积。

变式练习1. 如图，P 是等边三角形ABC 外一点，且AB PD //,BC PE //，AC PF //，若ABC ∆的周长是36，则PE PF PD -+= 。

2.如图，在平行四边形ABCD 中，AC 交BD 于点O ,BD AE ⊥，BD CF ⊥，垂足分别为F E ,，求证：四边形AECF 为平行四边形。

3. 如图所示，在平行四边形ABCD 中， 60=∠C ,N M ,分别是BC AD ,的中点，CD BC 2=.（1）求证四边形MNCD 是平行四边形； （2）求证MN BD 3=.题型4：平行四边形中的动点问题例题18：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＞BC ，BC=6cm ，点P 、Q 分别从A 、C 两点的位置同时出发，点P 以1cm/s 的速度由点A 向点D 运动，点Q 以2cm/s 的速度由点C 出发向点B 运动．试探究：几秒后四边形ABQP 是平行四边形？例题19：如图，在四边形ABCD 中，BC AD //,6=AD ，16=BC ，E 是BC 的中点。

点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动；点Q 同时以每秒3个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动。

点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动。

当运动时间t 为多少秒时，以Q P ,D E ,为顶点的四边形是平行四边形。

变式练习1.如图：在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＞BC ，BC=6cm ，AD=9cm ，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，P 以1cm/s 的速度由A 向D 运动，Q 以2cm/s 的速度由C 向B 运动，______秒时直线QP 将四边形截出一个平行四边形．2. 如图，在四边形ABCD 中，BC AD //，90=∠B ,cm AB 8=，cm AD 24=，cm BC 26=，点P 从点A 出发，以S cm /1的速度向点D 运动；点Q 从点C同时出发，以s cm /3的速度向点B 运动。

规定，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，使CD PQ //和CD PQ =,分别需经过多少时间？为什么？模块2：三角形的中位线题型1:直接利用三角形的中位线性质例题1：如图，在ABC ∆中，5=AB ,6=BC ,7=AC ,点D ,E ,F 分别是ABC ∆三边的中点，则DEF ∆的周长为（ ）A 、9B 、10C 、11D 、12例题2：如图，ABC ∆周长为1，连接ABC ∆三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2018个三角形的周长为（ ）A 、20162B 、20172C 、20182D 、20192变式练习1. 已知三角形的3条中位线分别为cm 3、cm 4、cm 6，则这个三角形的周长是（ ） A 、cm 3 B 、cm 26 C 、cm 24 D 、cm 652.如图所示，EF 是ABC ∆的中位线，BD 平分ABC ∠,交EF 于D ,若2=DE ，则=EB 。

题型2：利用三角形的中位线解决图形的面积问题例题3：如图，DE 是ABC ∆的中位线，F 是DE 的中点，CF 的延长线交AB 于点G ,若CEF ∆的面积为212cm ，则DGF S ∆的值为（ ）A 、24cm B 、26cm C 、28cm D 、29cm例题4：如图，ABC ∆的面积是12，点D 、E 、F 、G 分别是BC 、AD 、BE 、CE 的中点，则AFG ∆的面积是（ ）A 、5.4B 、5C 、5.5D 、6 变式练习1. 如图，在ABC ∆中，AC AB =，N M ,分别是AC AB ,的中点，E D ,为BC 上的点，连接DN ,EM 。

若cm AB 13=，cm BC 10=，cm DE 5=，则图中阴影部分面积为（ ）2cm 。

A 、25B 、35C 、30D 、42第1题 第2题2.如图，在ABC ∆中，90=∠BAC ,6,4==AC AB ,点E D ,分别是BC ,AD 的中点，BC AF //交CE 的延长线于F ，则四边形AFBD 的面积为 。

题型3：与三角形中位线有关的动点问题例题4：如图，四边形ABCD 中，90=∠A ,8=AB ,6=AD ,点N M ,分别为线段BC ,AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点F E ,分别为MN DM ,的中点，则EF 长度的最大值为（ ）A 、8B 、6C 、4D 、5变式练习1. 如图，已知四边形ABCD 中，P R ,分别是BC ，CD 边上的点，F E ,分别是RP AP ,的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，下列结论成立的是（ ）A 、EFP ∆的周长不变B 、线段EF 的长与点P 的位置无关C 、点P 到EF 的距离不变D 、APR ∠的大小不变2. 如图，已知四边形ABCD 中，90=∠C ,点P 是CD 边上的动点，连接AP ，F E ,分别是AB ,AP 的中点，当点P 在CD 上从点D 向点C 移动过程中，下列结论成立的是（ ）A 、线段EF 的长先减小后增大B 、线段EF 的长不变C 、线段EF 的长逐渐增大D 、线段EF 的长逐渐减小题型4：三角形中位线性质的综合应用例题5：如图，在ABC ∆中，点D 是边BC 的中点，点E 在ABC ∆内，AE 平分BAC ∠，AE CE ⊥，点F 在边AB 上，BC EF //. （1）求证：四边形BDEF 是平行四边形；（2）线段BF 、AB 、AC 的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论。

变式练习1.如图所示，已知AO 是ABC ∆中BAC ∠的平分线，AO BD ⊥的延长线于点E D ,是BC 的中点。

求证：)(21AC AB DE -=.课后作业 一、选择题。

1. 下列不能判定一个四边形是平行四边形的是（ ） A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形C.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形D.对角线相互平分的四边形是平行四边形2. 能判定四边形ABCD 为平行四边形的条件是（ ） A 、BC AD CD AB =,// B 、D C B A ∠=∠∠=∠, C 、A C CD AB ∠=∠,// D 、CD CB AD AB ==,3. 小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ） A 、①，② B 、①，④ C 、③，④ D 、②，③第3题 第4题 第5题4. 如图，ABC ∆中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，BF 平分ABC ∠，交DE 于点F ，若6=BC ，则DF 的长是（ ）A 、3B 、2C 、25D 、4 5. 如图，M 是ABC ∆的边BC 的中点，AN 平分BAC ∠,AN BN ⊥于点N ,且10=AB ,3,15==MN BC ,则AC 的长是（ ）A 、12B 、14C 、16D 、186. 如图，在ABC ∆中D ，E 分别是AC AB ,的中点，点,F G 在BC 上，且CG BF BC 44==,EF 与DG 相交于点O ，若 40=∠DFE ， 80=∠DGE ，那么DOE ∠的度数是（ ）A 、 100B 、 120C 、 140D 、160第6题 第7题 第8题7. 如图，在四边形ABCD 中，CD AB //,5==BC AD ，7=DC ，13=AB ，点P 从点A 出发以3个单位/s 的速度沿DC AD →向终点C 运动，同时点Q 从点B 出发，以1个单位/s 的速度沿BA 向终点A 运动。