有限单元法基础答案【篇
一：高等有限元课后题答案(1)】
txt> 思考题
2.1 有限元法离散结构时为什么要在应力变化复杂的地方采用较密网
格，而在其他地方采用较稀疏网格？
答：在应力变化复杂的地方每一结点与相邻结点的应力都变化较大，
若网格划分较稀疏，则在应力突变处没有设置结点，而使得所求解
的误差很大，若网格划分较密时，则应力变化复杂的地方可以设置
更多的结点，从而使得所求解的精度更高一些。
2.2 因为应力边界条件就是边界上的平衡方程，所以引用虚功原理必
然满足应力边界条件，对吗？答：对。
2.3 为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题？弹性力学
中受内压和外压作用的圆环能用有限元方法求解吗？为什么？答：有限元法是一种位移解法，故只能求解位移边值问题和混合边值问
题。
而应力边值问题没有确定的位移约束，不能用位移法求解，所
以也不能用有限元法求解。
2.4 矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗？答：能。
矩形单元的插值函数满足单元内部和单元边界上的连续性
要求，是一个协调元。
矩形的插值函数只与坐标差有关，旋转一个
角度后各个结点的坐标差保持不变，所以插值函数保持不变。
因此
矩形单
元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调。
2.5 总体刚度矩阵呈带状分布，与哪些因素有关？如何计算半带宽？
答：因素：总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最大结点号与最小结
点号的差有关。
计算：设半带宽为b，每个结点的自由度为n，各单元中结点整体
码的最大差值为d，则b=n(d+1) ，在平面问题中n=2 。
2.6 为什么单元尺寸不要相差太大，如果这样，会导致什么结果？答：由于实际工程是一个二维或三维的连续体，将其分为具有简单而规则的几
何单元，这样便于网格计算，还可以通过增加结点数提高单元精度。
在几何形状上等于或近似与原来形状，减小由于形状差异过大带来
的误差。
若形状相差过大，使结构应力分析困难加大，误差同时也
加大。
2.7 剖分网格时，在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点
或单元边界，试说明理由。
答：有限元处于弹性力学问题的方法是离散法。
它将一个受外力作
用的连续弹性体离散成一定数量的有限小的单元集合体，单元之间
只在结点上相互联系，即只有结点才能传递力。
所以在边界出现突
变和有集中力作用的地方要设置结点和单元边界。
2.8 为什么说三角形三结点单元是常应变单元，如果在每边中点增加
一个结点，那么单元内应力如何分布？
答：(1)应变矩阵[b] 中的参数bi 、bj 、bm 、ci 、cj、cm 由坐标变量
x、y 之差确定。
当单元的坐标差确定之后，这些参数与坐标变量x、y 无关，
因此[b] 为常量阵。
当单元的结点位移{a} 确定后，由[b] 转换求得的单
元应变都是常量，也就是说在荷载作用下单元中各点具有统一的
?x?y?xy 值。
因此三结点三角形单元称为常应变单元。
、
、
(2)如果在每边中点增加一个结点，单元内的应力为线性分布。
习题
2.1 试证明x、y 与面积坐标的关系证明:设p 点坐标为（x,y ）apij
1?2xxxj iyyyj
i
1 ??xiyj?yix?xjy?xiy?xjyi?xyj?21 ???xiyj?xjyi???yi?y
j?x??xj?xi?y?2
1 ??am?bmx?cmy?2
同理可求得：
apjm
1 ?xj
2 xmx1
?xm
2 xi
1 yj??ai?bix?ciy? 2ym
y
由面积坐标定
apmi 义得：
y 1
apjmym??aj?bjx?cjy?1 ?ai?bix?ciy
?li??2
aijm2ayi lj?lm?
apmi1 ?aj?bjx?cjy? ?
aijm2aapijaijm
1
?am?bmx?cmy? ?2a
由此推出坐标x、y 与面积坐标的函数关系：?2a?cjli?cilj??ajci?aicj?x?
bicj?bjci? ? 2a?bmlj?bjlm??ambj?bmaj??y?bmcj?bjcm?
面积：
式（2.1）2a?ai?aj?am?bicj?bjci?bjcm?bmcj?bmci?bicm 代入式（2.1）有：
x?cjli?cilj?
ajci?aicjbicj?bjciambj?ajbmbmcj?bjcm
y?bjlm?bmlj?
其中形状参数由下式确定：
ai?
xjxm
yjym ?xjym?xmyj
bi??
yj ?yj?ymym
ci???xj?xm xm
代入上式（2.1）可转化为：
x?xili?xjlj?xmlmy?yili?yjlj?ymlm 再加上
1?li
?lj?lm
所以用面积坐标表示直角坐标矩阵形式如下：
?1??1????x???xi?y?????yi 1xjyj 1xm
??li??????lj? ???ym??lm?
2.2 试证明两相似三角形的单元刚度矩阵相同。
a1
?h ，h 为一常数。
证明：由于两个三角形相似，故设a2
三角形：a1?
1 ?bi1cji?bj1ci1? 2
bi1?yj1?ym1ci1??xj1?xm1 bj1?ym1?yi1
cj1??xm1?xi1
参数bi 、bj 、ci 、cj? ，只与坐标差有关，所以
【篇二：有限单元法基础习题】
. 简述有限单元法的分析过程。
2
【篇三：有限元考试试题及答案】
xt> 学院专业学号姓名一、简答题（共40 分，每题10 分）
1. 论述单元划分应遵循的原则。
2. 说明形函数应满足的条件。
3. 说明四边形等参数单元中“等参数”的含义，即为什么要引入等参数单元。
4. 阐述边界元法的主要优缺点。
二、计算题（共60 分，每题20 分）
1. 一杆件如图 3 所示，杆件上方固定后，在下方受垂直向下的集中力作用，已
272
a?5.25ine?e?3.0?10lbf/in2 知：杆件材料的杨氏模量1，截面积1，
度l1?l2?12in ，集中力p?100lbf ，用有限元方法求解 b 点
和c 点位移。
备注：（1）1 lbf （磅力，libra force ）= 4.45 n 。
（2）杨氏模量、
弹性模量、young 氏弹性模量具有相同含义（10 分）
y
图1 2. 如图2
t=1m ，载荷
图2
3. 图示结点三角形单元的124 边作用有均布侧压力q，单元厚度为t，求单元的等效结点荷载。
图3
一、简答题 1. 答：
1）合理安排单元网格的疏密分布2）为突出重要部位的单元二次划分3）划分单元的个数4）单元形状的合理性
5）不同材料界面处及荷载突变点、支承点的单元划分6）曲线边界的处理，应尽可能减小几何误差7）充分利用结构及载荷的对称性，以减少计算量 2. 答：
形函数应满足的三个条件：
a. 必须能反映单元的刚体位移，就是位移模式应反映与本单元形变
无关的由其它单元形变所引起的位移。
b. 能反映单元的常量应变，所谓常量应变，就是与坐标位置无关，
单元内所有点都具有相同的应变。
当单元尺寸取小时，则单元中各
点的应变趋于相等，也就是单元的形变趋于均匀，因而常量应变就
成为应变的主要部分。
c. 尽可能反映位移连续性；尽可能反映单元
之间位移的连续性，即相邻单元位移协调。
3. 答：
含义：所谓的等参数单元，就是在确定单元形状的插值函数和确定
单元位移场的插值函数中采用了完全相同的形函数。
意义：构造出一些曲边地高精度单元，以便在给定地精度下，用数
目较少地单元，解决工程实际地具体问题。
4. 答：
有限单元法是基于变分原理的里兹（ritz ）法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用子有限单元法，确认了有限单元
法是处理连续介质问题的一种普遍方法．利用变分原理建立有限元
方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在
全求解域而是在单元上规定的，面且事先不要求满足任何边界条件，
因此它可以用来处理很复杂的连续介质问题。
有限单元法中所利用。