第7讲 关系幂运算与关系闭包 北京大学
内容提要 • 关系幂(power)运算 • 关系闭包(closure)
2020/10/4
《集合论与图论》第7讲
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• n次幂的定义 • 指数律 • 幂指数的化简
关系的幂运算
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《集合论与图论》第7讲
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关系的n次幂
• 关系的n次幂(nth power): 设RAA, nN, 则 (1) R0 = IA; (2) Rn+1 = Rn○R, (n1).
•
• Rn表示的关系, 是R的关系图中长度为n的有向路径的起点与终点的关系.
Rn RRR
n个R
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《集合论与图论n》-第17讲 n
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关系幂运算(举例)
• 例: 设A={a,b,c}, RAA, R={<a,b>,<b,a>,<a,c>}, 求R的各次幂. • 解:
b
b
a
c
G( R )
• 又名抽屉原则(Dirichlet drawer principle),
(Peter Gustav Lejeune Dirichlet,1805~18 59)
• 推广形式: 若把m件物品装进k只抽屉, 则至少有一只抽屉装 • 1.8=2, 1.8=1, -1.8=-1, -1.8=-2.
只以上的物品.
这
个集合中, 必有两个是相同的.
所以 s,tN, 并且 使得 Rs = Rt. #
2n2
,
R2n2
2n2 1
0 s t 2n2
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《集合论与图论》第7讲
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鸽巢原理(pigeonhole principle)
• 鸽巢原理(pigeonhole principle): 若把n+1只鸽子装进n只鸽巢, 则至少有一只 鸽巢装2只以上的鸽子.
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R0,R1,R2,R3,…是否互不相等?
R0 R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8
R0 R1 R2 R3 R4 R5=R19=R33=R47=…
R6=R20=R34=R48=…
R7=R21=R35=R49=…
R17
R8=R22=R36
R16
=…
R9
R15
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R14
R10
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《集合论与图论》第7讲
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定理18(说明)
s
泵(pumping):
Rs+kp+i = Rs+i
i p
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《集合论与图论》第7讲
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定理18 (证明(1)(3))
• (1) Rs+k = Rt+k ; (3) 令S={R0,R1,…,Rt-1}, 则qN, RqS.
《集合论与图论》G第(7讲R
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3)
关系幂运算(举例,续3)
• 解(续): R4 = R3○R = R1○R = R2,
R5 = R4○R = R2○R = R3 = R1,
一般地, R2k+1=R1=R, k=0,1,2,…,
R2k=R2,
k=1,2,…,. #
b
b
b
a
c
G( R ) 2020/10/4
m k
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定理18
• 定理18: 设 RAA, 若 s,tN (s<t),使得Rs = Rt, 则 (1) Rs+k = Rt+k ; (2) Rs+kp+i = Rs+i, 其中k,iN, p=t-s; (3) 令S={R0,R1,…,Rt-1}, 则qN, RqS.
R-n = (R-1)n = (Rn)-1 ?
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《集合论与图论》第7讲
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定理17
• 定理17: 设 RAA, m,nN, 则
(1)
Rm○Rn = Rm+n ;
(2)
(Rm)n = Rmn.
• 说明: 可让 m,nZ, 只需IAdomRranR (此时IA=R○R-1=R-1○R)并且定义
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2)
关系幂运算(举例,续2)
• 解(续): R0 = IA, R1 = R0○R = R = {<a,b>,<b,a>,<a,c>}, R2 = R1○R = {<a,a>,<b,b>,<b,c>}, R3 = R2○R = {<a,b>,<a,b>,<a,c>} = R1,
b
b
a
c
a
c
2G02(0/10R/4 )
a
ca
G《(集R合论与图论》第7讲
4)
c
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G( R 5)
关系幂运算是否有指数律?
• 指数律:
(1) Rm○Rn = Rm+n ;
(2) (Rm)n = Rmn.
• 说明: 对实数R来说, m,nN,Z,Q,R.
对一般关系R来说, m,nN.
对满足IAR且AdomRranR的关系R来说, m,nN,Z, 例如R2○R-5=R-3,因为可以定义
Rm○Rn = Rm○R0 = Rm○IA = Rm = Rm+0. 假设 Rm○Rn = Rm+n, 则 Rm○Rn+1 = Rm○(Rn ○R1) = (Rm○Rn)○R1 = Rm+n○R = R(m+n)+1 = Rm+(n+1). • (2) 同样对n归纳. #
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《集合论与图论》第7讲
R-n = (R-1)n = (Rn)-1.
• 回忆: (F○G)-1=G-1○F-1
(R2)-1=(R○R)-1=R-1○R-1=(R-1)2
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《集合论与图论》第7讲
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定理17(证明(1))
• (1) Rm○Rn = Rm+n ; • 证明: (1) 给定m, 对n归纳. n=0时,
《集合论与图论》第7讲
R11
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定理16
• 定理16: 设 |A|=n, RAA, 则 s,tN,P(AA)对幂运算是封闭的n, 2即 R, RP(AA) RkP(AA), (kN).
|P(AA)| =
, 在R0,R1,R2,…,
a
c
G( R 0)
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关系幂运算(举例,续)
• 解(续): R0 = IA, R1 = R0○R = R = {<a,b>,<b,a>,<a,c>}, R2 = R1○R = {<a,a>,<b,b>,<b,c>},
b
b
a
c
a
c
20G20(/10R/4 )
《集合论与图论》G第(7讲R
• 证明: (1) Rs+k = Rs○Rk = Rt○Rk = Rt+k; (3) 若 q>t-1s, 则令 q=s+kp+i, 其中 k,iN, p=t-s, s+i<t; 于是 Rq = Rs+kp+i = Rs+iS.