河南省郑州市2018届高中毕业年级第一次质量预测数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考试时间120分钟，满分150分。

考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。

交卷时只交答题卡。

第Ⅰ卷一、选择题：共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}1A x x =>，{}216xB x =<，则=B A IA ．(1,4)B ．(,1)-∞C ．(4,)+∞D ．),4()1,(+∞-∞Y2．若复数2(2)(1)z a a a i =--++为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a 的值是A ．2-B ．2-或1C ．2或1-D ．23．下列说法正确的是A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤” B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题 C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x>成立 D ． “若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 4．在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则2x 的系数为A ．50B ．70C ．90D ．1205．等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为32303S x dx =⎰，则公比q 的值是A ．1B ．12-C ．1或12-D ．1-或12-6．若将函数()3sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象上的每一个点都向左平移3π个单位，得到()y g x =的图象，若函数()y g x =是奇函数，则函数()y g x =的单调递增区间为A ．[,]()44k k k Z ππππ-+∈B．3[,]()44k k k Zππππ++∈C．2[,]()36k k k Zππππ--∈D．5[,]() 1212k k k Zππππ-+∈7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m的取值范围是A．(3042]，B．(30,42)C．(42,56]D．(42,56)8．刍薨（ch ú h ōng ），中国古代算数中的一种几何形体， 《九章算术》中记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒 无广.刍，草也.薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩 形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草 屋顶”，如图，为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰 梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考 虑厚度）需要的茅草面积至少为 A ．24 B ．5C ．64D ．69．如图，在ABC △中，N 为线段AC 上靠近A 的三等分点，点P 在BN 上且22=()1111AP m AB BC ++u u u r u u ur u u u r ，则实数m 的值为A ．1B ．31 C ．911D ．51110．设抛物线24y x =的焦点为F ，过点5,0)M 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，3BF =，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比=∆∆ACFBCFS S A ．34B ．45C ．56 D ．6711．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积为3S c =，则ab 的最小值为 A ．28B ．36C ．48D ．5612．已知函数32()92930f x x x x =-+-，实数,a b 满足()12f m =-，()18f n =，则m n +=A ．6B ．8C ．10D ．12第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13一21为必考题，每个考生都必须作答，第22一23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题:本大题共4题，每小题5分.13．设变量,x y 满足约束条件1,40,340,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则目标函数2z x y =-的最小值为 .14．已知函数2,1()ln(1),12,x x f x x x ⎧≤=⎨-<≤⎩若不等式()5f x mx ≤-恒成立，则实数m 的取值范围是 .15．如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为 .16．已知双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若73FM FN =u u u u r u u u r，则双曲线的渐近线方程为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2525a a +=，55n S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设131n n a b n =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（本小题满分12分）为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行，某甲乙两个单位各有200名员工，为了了解员工低碳出行的情况，统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如下： （1）若甲单位数据的平均数是122，求x ；（2）现从右图的数据中任取4天的数据（甲、乙两单位中 各取2天），记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于 130人的天数为1ζ，2ζ，令12=ηζζ+，求η的分布列和期望.19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，6AB =，3BC =6AC =，,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且2AD DB =，2CE EB =，PD AC ⊥. （1）求证：PD ⊥平面ABC ； （2）若PA 与平面ABC 所成的角为4π，求平面PAC 与平 面PDE 所成的锐二面角.20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，以12F F 为直径的圆与直线230ax by ab +-=相切.（1）求椭圆C 的离心率；（2）如图，过1F 作直线l 与椭圆分别交于两点,P Q ，若2PQF ∆的周长为42，求Q F P F 22⋅的最大值.21．（本小题满分12分） 已知函数11()ln f x x ax a=+-，a R ∈且0a ≠. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1[,]x e e∈时，试判断函数()(ln 1)xg x x e x m =-+-的零点个数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

做答时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

22．（本小题满分10分）（选修4一4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(1,0)，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是28cos =1cos θρθ-. （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若4πα=，设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求AOB ∆的面积.23．（本小题满分10分）（选修4一5：不等式选讲）设函数()3f x x =+，()21g x x =-. （1）解不等式()()f x g x <；（2）若2()()4f x g x ax +>+对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围.数学（理科）参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ADDCCBABDDCA二、填空题13. -1; 14. 50,;2⎡⎤⎢⎥⎣⎦15. 12;35 16. .210x y ±= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解析：（1）⎩⎨⎧=+===+=+5510552552135152d a a S d a a a ，求得.23,3,51+=∴⎩⎨⎧==n a d a n ...............6分 （2）).231131(31)23)(13(1)13(1+--=+-=-=n n n n n a b n n ...............8分),23121(31)23113181515121(3121+-=+--++-+-=++=n n n b b b T n n ΛΛ.)23(269161+=+-=∴n n n T n ...............12分 18.解析：（1）由题意12210141134132)120(126119115113107105=++++++++++x ，解得8=x ；...............4分 （2）随机变量η的所有取值有0,1,2,3,4.;457)0(2102102627===C C C C p η ;22591)1(210210261317===C C C C C p η;31)2(2102101416131724272623=++==C C C C C C C C C C p η;22522)3(210210241317141623=+==C C C C C C C C p η;2252)4(2102102423===C C C C p η...............9分 η∴的分布列为：57225242252233122259114570)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ηE ...............12分19.（1）证明：连接DE ，由题意知,2,4==BD AD.90,222οΘ=∠∴=+ACB AB BC AC .33632cos ==∠ABC .8cos 322212222=∠⨯⨯-+=∴ABC CD .22=∴CD222AC AD CD =+∴,则AB CD ⊥,...............2分又因为ABC PAB 平面平面⊥，所以,,PD CD PAB CD ⊥∴⊥平面 因为AC PD ⊥，CD AC ,都在平面ABC 内， 所以⊥PD 平面ABC ；...............4分（2）由（1）知,,PD CD AB 两两互相垂直，建立如图所示的直角坐标系D xyz -，且PA 与平面ABC 所成的角为4π，有4=PD ， 则)4,0,0(),0,2,0(),0,0,22(),0,4,0(P B C A -∴)4,4,0(),0,4,22(),0,2,22(--==-=PA AC CB 因为,//,2,2AC DE EB CE DB AD ∴==由（1）知,BC AC ⊥⊥PD 平面ABC ，∴ CB ⊥平面DEP ...............8分 ∴)0,2,22(-=CB 为平面DEP 的一个法向量.设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =v，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥AC∴⎩⎨⎧=--=+0440422z y y x ，令1=z ，则1,2-==y x ，...............10分 ∴)1,1,2(-=n 为平面PAC 的一个法向量. ∴.2312424,cos -=⋅-->=<CB n故平面PAC 与平面PDE 的锐二面角的余弦值为23, 所以平面PAC 与平面PDE 的锐二面角为ο30................12分20.解析：（1）由题意cba ab =+-2243，即).4)(()4(3222222222b a b a b a c b a +-=+=所以222b a =，22=∴e ................4分 （2）因为三角形2PQF ∆的周长为24，所以,2,244=∴=a a由（1）知12=b ，椭圆方程为1222=+y x ，且焦点)0,1(),0,1(21F F -， ①若直线l 斜率不存在，则可得l x ⊥轴，方程为)22,1(),22,1(,1----=Q P x ， )22,2(),22,2(22--=-=Q F P F ，故2722=⋅Q F P F ................6分 ②若直线l 斜率存在，设直线l 的方程为)1(+=x k y ， 由⎩⎨⎧=++=22),1(22y x x k y 消去y 得0224)12(2222=-+++k x k x k ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则.1222,12422212221+-=+-=+k k x x k k x x ...............8分 ,)1)(1(),1(),1(2121221122y y x x y x y x Q F P F +--=-⋅-=⋅则.1))(1()1(221221222+++-++=⋅k x x k x x k Q F P F代入韦达定理可得,)12(292712171)124)(1(1222)1(222222222222+-=+-=+++--++-+=⋅k k k k k k k k k k Q F P F由02>k 可得)27,1(22-∈⋅Q F P F ，结合当k 不存在时的情况，得]27,1(22-∈⋅Q F P F ， 所以Q F P F 22⋅最大值是27...............12分 21.解析：（1）)0(,1)(2>-='x ax ax x f当0a <时，0)(>'x f 恒成立，所以函数()f x 是()0,+∞上的单调递增函数； 当0a >时，()210ax f x ax -'=>，得1x a>， 01)(2<-='ax ax x f ，得ax 10<<， 函数单调递增区间为),1(+∞a，减区间为).1,0(a综上所述，当0a <时，函数()f x 增区间为()0,.+∞.当0a >时，函数单调递增区间为),1(+∞a ，减区间为).1,0(a...............4分 （2）∵],1[e ex ∈，函数m x e x x g x-+-=)1(ln )(的零点， 即方程m x e x x=+-)1(ln 的根. 令()()ln 1e x h x x x =-+，()1ln 1e 1.x h x x x ⎛⎫=+-+⎪⎝⎭'................6分 由（1）知当1a =时， ()1ln 1f x x x=+-在)1,1[e 递减，在[]1,e 上递增，∴()()10f x f ≥=.∴1ln 10x x+-≥在],1[e e x ∈上恒成立.∴()1ln 1e 1010x h x x x ⎛⎫=+-+≥+>⎪⎭'⎝，...............8分 ∴()()ln 1e xh x x x =-+在],1[e ex ∈上单调递增. ∴()1min112e h x h e e e ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，e x h =max )(..........10分所以当112em e e <-+或e m >时，没有零点，当112e e m e e-+≤≤时有一个零点................12分22.(1)直线l 的参数方程为：1cos ,(sin x t t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数）.……2分 28cos sin θρθ=Q ，2sin 8cos ,ρθθ∴=22sin 8cos ,ρθρθ∴=28.y x =即 ……5分 （2）当4πα=时，直线l的参数方程为：1,(x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）,……6分 代入28y x =可得2160,t --= 12,,A B t t 设、两点对应的参数分别为则11t t +=1216t t =-g12AB t t ∴=-== ……8分1sin42O AB d π=⨯=又点到直线的距离11222AOB S AB d ∆∴=⨯=⨯=……10分23.（本小题满分10分） 解：(1)321,x x +<-由已知，可得22321.x x +<-即 ……1分21080,x x -->则有：32 4.3x x ∴<->或 ……3分2(,)(4,).3-∞-+∞U 故所求不等式的解集为： ……4分 45,3,1(2)()2()()23217,3,2145,.2x x h x f x g x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=+=++-=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩由已知，设……6分3454,49,x x ax ax x ≤--->+<--当时，只需恒成立即 499304x x a x x --≤-<∴>=--Q 恒成立.,1,)94(max ->∴-->∴a x a ……7分1374,302x ax ax -<<>+-<当时，只需恒成立即恒成立. .61,61,0321033≤≤-∴⎩⎨⎧≤-≥∴⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤--a a a a a 只需 ……8分 1454,4 1.2x x ax ax x ≥+>+<+当时，只需恒成立即 14110,42x x a x x+≥>∴<=+Q 恒成立. 414>+xΘ,且无限趋近于4， .4≤∴a ……9分综上，a 的取值范围是(1,4].- ……10分。