又由AG∥BE, 所以AG与BD间的距离就是A点到面DBEF的距离 同理可求得AG与BD间的距离为2/3.
总结: 1.求异面直线间的距离的关键 关键是找到经过一条直线与另一直线平 关键 行的平面.把向量通过坐标形式正确表示出来. 2.求异面直线间的距离的难点 难点是求这个平面的法向量. 难点 3.求异面直线间的距离的重点 重点是转化为求点到面的距离. 重点 4.求异面直线间的距离易错的 易错的是找连接直线和平面的向量. 易错的 5.用法向量解题的立几题的优点 优点是不需大量的逻辑推理,完全依 优点 靠计算就可以解决问题.不需要确定垂足的位置. 6.用法向量解题的立几模型 模型一般是:正(长)方体、直棱柱、正棱锥 模型 等.
用法向量求异面直线间的距离
法向量的定义：
如果向量a⊥平面α，那么 向量a叫做平面α的法向量.
异面直线间的距离
如何求A1D和AC 间的距离? ↓ 即求线AC与面 A1C1D的距离 ↓ 即求点A(或C)到 面A1C1D的距离 D1 C1
A1
B1
D C A B
A
求点到平面的距离
设A是平面α外的一点,AB 是α的一条斜线,交平面α于点B, 而n是平面α的法向量,那么向量 BA在方向n上的正射影长就是 点A到平面α的距离h. α h n
r n r n
u u ur DB = 0 u u ur DF = 0
即
x+ y = 0 1 2 y + z = 0
令x=1,y=-1,z=1/2
取n=(1,-1,1/2) , n=(1,-1,1/2)
r u u uu r n D A1 r n = 1
则A1到平面DBEF的距离h=
uuu u r r AA • n 1 3 = r 3 n
第三步：由于线AC平行于面A1C1D，所以点A到平面A1C1D 的距离就是异面直线A1D与AC间的距离. 所以，所求的距离为
3 3
小结：
求两条异面直线间的距离步骤如下 1.先找到经过一条直线并且与另一条直线平行的平面α 2.求α平面的法向量 n 3.找到连接线与面向量 4.求这个向量在法向量 n 上的射影长,即为所求.
D1
C1
作业:
A1 B1
D C A B
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, 求异面直线AA1和BD1间的距离.
r uuu r n • AC = 0 r r uuuu n • A D = 0 1
设法向量n=(x,y,z)
解得 -x+y=0, x+z=0. 即 y=x, z=-x 所以n=(x,x,-x)=x(1,1,-1) 取n=(1,1,-1)
第二步:求A到平面A1C1D的距离 由图知AA1是平面A1C1D的斜线，向量AA1=（0，0，1） 在向量n上的射影长为 h=
练习：
已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1, E、F、G分别为B1C1、 C1D1和A1D1的中点,求：（1）点A1到平面DBEF的距离. （ 2） z 并求直线AG与BD间的距离. C1 D1 F G E A1 B1
D C A x B
y
解:
建立如图的空间直角坐标系, 则由题知
DB=(1,1,0) ,DF=(0,1/2,1) ,DA1=(1,0,1) , 且AG∥BE 设平面DBEF的法向量为n=(x,y,z) ,则有:
)θ B
cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
uuu r r BA• n uuu r uuu r r h = BA ⋅ cos BA, n = r n
注意! 点B必须在平面内
已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1, 求直线 A1D和AC间的距离.
z 解:建立空间直角坐标系 第一步:先求平面 A1C1D的法向量 n 由题知:AC=(-1,1,0), A1D=(1,0,1) D C A x B y A1 B1 D1 C1