第五节利用空间向量求点到平面的距离及异面直线间距离 一、 点到平面的距离
设A 是平面α外一点，B 是α内一点，n
为α的一个法向量，则点A 到平面α的
距离n n
AB d ⋅=
例1、 如图，已知ABCD 是边长为4的正方形，
E 、
F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD
且GC=2，求点B 到平面EFG 的距离。

例2、 在三棱锥S-ABC 中，ABC ∆是边长为4的正三角形，
平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=32，M 、N 分别是
AB 、SB 的中点。

（04福建）
（1）证明AC ⊥SB ； （2）求二面角N-CM-B 的大小； （3）求点B 到平面CMN 的距离。

练习：已知ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥平面ABCD 且PD=1，E 、F 分别是AB 、BC 的中点.
(1) 求点D 到平面PEF 的距离；
(2) 求直线AC 到平面PEF 的距离。

二、 异面直线间距离 设n 是异面直线a 、b 的公垂向量，C 为a 上任一点，
D 为b 上任一点，则a 、b 间的距离n
n
CD d
⋅=. 例3、 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长为a. （1） 求异面直线BD 与B 1C 间的距离；
（2） 求异面直线AA 1与BD 1间的距离。

三、 证线面平行 若a 是平面α外一直线，所在向量为a ，n 是α的一个法向量，若a ⊥n ，则a ∥α.
例4、 在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ， AC=3，BC=4，AA 1=4，点D 是AB 的中点。

（1） 求证：AC ⊥BC 1；
（2） 求证：AC 1∥平面CDB 1；
（3） 求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余
弦值。

（05北京文） 作业：1、如图所示，在正方体
ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长为a.
(1)求异面直线AA 1与B 1D 1间的距离；
（2）求异面直线A 1B 与B 1D 1间的距离。

F E
G D C B
A N M S
C
B
A P
F
E D C B A D 1
D C 1 C B 1 B
A A
1
D 1 D C 1 C
B 1
B
A 1
A
2、如图，已知三棱锥O-ABC 的侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E 是OC 的中点。

（1）求点O 到平面ABC 的距离； （2）求异面直线BE 与AC 所成的角； （3）求二面角E-AB-C 的大小。

(06江西)
3、如图，已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为1，M 是底面BC 边上的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝2C 1N.
（1）求二面角B 1－AM －N 的平面角的余弦值；
（2）求点B 1到平面AMN 的距离。

（06湖北文）
4、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上一点，PE ⊥
EC.已知,21
,2,2===AE CD PD 求
（Ⅰ）异面直线PD 与EC 的距离；
（Ⅱ）二面角E —PC —D 的大小.（05重庆文）
5、如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AD
上移动.
（1）证明：D 1E ⊥A 1D ；
（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —的大小为4
π
. 6、如图，直二面角D-AB-E 中，四边形ABCD
是边长为2的 正方形，AE ＝EB ，F 为CE 上的点，且⊥平面ACE ．
（1）求证：AE ⊥平面BCE ； （2）求二面角B-AC-E 的大小；
（3）求点D 到平面ACE 的距离。

(05福建)
7、如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中， 底面是等腰直角三角形，090=∠ACB ，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G.
（1） 求A 1B 与平面ABD 所成角的大小； （2） 求点A 1到平面AED 的距离。

（03全国)
Ａ
Ｏ Ｅ
Ｃ
Ｂ
D
P E C
B A E D 1
D C 1 C
B 1
B A 1 A E G D
C 1
C
B 1
B
A
1
A
E
F
B
A
D C。