例4―3 求矩形脉冲信号gτ(t)的频谱。
g (t) F()
1
－ 2/
2/
－/ 2 0 / 2
(a)
t
0 (b )

图4.6 矩形脉冲信号及其频谱
解 矩形脉冲信号gτ(t)是一个如图4.6（a）所 示的门函数。其定义为
1 g r (t ) 0 gτ(t)的傅里叶变换为 t t
f (t ) 1

t
F ( j ) 1 e jt dt
单位直流信号的频谱
例4―6 求单位直流信号的频谱。 解 幅度为1的单位直流信号可表示为 f(t)=1,-∞<t<∞ (4―44) 它可以看作是双边指数信号在α取极限趋近0时的一个 特例,即
1 lim e
0
t
u (t ), 0 u( t )] lim[ e
0
t
(4―45)
[1] [lim e
0
t
2a u( t )] lim 2 0 a 2
(4―46)
0 0 0
lim

0
2 2 d lim d( ) 2 2 0 1 ( )2
(4―50)
f (t)
F()
1
0 －1 (a )
t
0

(b )
图4.10 符号函数及其频谱
符号函数sgn(t)也可看作是下述函数在α取极限趋近0时的一 个特例: t e t0 (其中α>0) f ( t ) t t0 e
F [ f (t )]
F(j ) 1
f (t )
(t)
o (a )
t
o (b )

图 3.4-5 信号δ(t)及其频谱 (a) 单位冲激信号δ(t); (b) δ(t)的频谱
解
F ( j ) (t )e


jt
dt 1
可见，冲激函数δ(t)的频谱是常数1。也就是说，δ(t)中包含了 所有的频率分量， 而各频率分量的频谱密度都相等。 显然， 信号δ(t)实际上是无法实现的。

1

图 3.4-4 例 3.4-4 图 (a) 信号f(t); (b) 频谱
解 图示信号f(t)可表示为
e f (t ) at e
at
t0 t0

(a>0)
F ( j ) e e

0
at jt
dt e e
0
t jt
dt
叶级数展开式。据
A0 f (t ) An cos(nt n ) 2 n 1
可知，其基波频率Ω=π(rad/s)，基本周期T=2 s，ω=2π、3π、 6 π分别为二、 三、六次谐波频率。且有
A0 1 2
1 0 1 10 2 20
A1 3 A2 2 A3 0.4 A6 0.8
－ 4
0 － (b ) 2

图4.7 单边指数信号及其频谱
偶对称双边指数函数的频谱函数
例 3.4-3 求图 3.4-3(a)所示双边指数函数的频谱函数。
f (t) 1 e t o (a ) e－t ＞0 ) t
2
F(j )
o (b )

图 3.4-3 双边指数函数及其频谱 (a) 双边指数函数； (b) 频谱
n
4 5° 3 0° 2 0° 1 0°

2
3
4
5
6

－1 5° －3 0° －4 5°
图 3.3-2 例 3.3-1 信号的 双边频谱 (a) 振幅谱； (b) 相位谱
单边指数函数f(t)的频谱函数 例 3.4-2 求指数函数f(t)的频谱函数。
at e f (t ) 0
0 T 2
2 1 [ cos(2 nft )] T 2 nf
T 2 0
0, 4 n
n 2,4,6, n 1,3,5,
2 T c 2T f (t )dt 0 T 2 1 1 1 f (t ) [sin 2 ft sin 6 ft sin10 f sin 2 ft ] 3 5 n n 1,3,5, 4
f (t ) e at u(t ), a 0 F ( )

(4―40)
f ( t )e
j t
dt


e e

at
j t
dt
(4―41)
1 j
0
F ( )
1
1


2
arg F() 2 4

－ －
0 (a )


(4―47)
lim 2 arctan 0 [1] 2 ( ) 1 2 ( )


2
(4―48)
(4―49)
f (t) 1 2
F()
0 (a )
t
0 (b )

图4.9 单位直流信号及其频谱
符号函数Sgn(t)的频谱函数
例 3.4-7 求符号函数Sgn(t)的频谱函数。
2 T bn 2T f (t )sin(2 nft )dt T 2 2 0 2 T T ( 1)sin(2 nft )dt 2 1 sin(2 nft )dt 0 T 2 T 2 1 [ cos(2 nft )] T 2 nft 2 (1 n ) n
F() 1
0 (a )
t
0 (b )

图4.5 冲激信号及其频谱
移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数
例4―12求移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数。 解 由于已知冲激函数δ(t)的频谱函数为1, 求移位冲激函数δ(t-t0)的频谱函数，此时可利 用傅里叶变换的时移特性式(4―74)。
[ ( t t0 )] e j t0 1
2 an T 2 T

T 2 T 2 0 T 2
f (t ) cos(2 nft )dt 2 ( 1) cos(2 nft )dt T
0 T 2



T 2
0
1cos(2 nft )dt
T 2 0
2 1 [ sin(2 nft )] T 2 nf 0
2 1 [sin(2 nft )] T 2 nf
t0 t0
( 0)

1 F( )
f (t ) 1 e－t ( ＞0 )
o (a )
t
o

(b ) 图 3.4-2 单边指数函数e-αt及其频谱 (a) 单边指数函数e-αt; (b) e-αt的幅度谱
解
F ( j ) f (t )e


jt
dt e t e jt dt
1 Sgn(t ) 1
考察例 3.4-4 所示信号f(t)
t0 t0
e f (t ) at e
at
t0 t0
( 0)
当 α→0 时，其极限为符号函数 Sgn(t) 。因而可以用求 f(t) 的频 谱函数F(jω)当α→0的极限的方法来求得Sgn(t)的频谱函数。 例 3.4-4 所示信号的频谱函数为 j
|Fn | 2 1 .5 1 0 .4 1 1 .5 1 0 .4
4 5 6
0 .2

2
0 .2
3
－ 6－ 5 － 4 － 3－ 2 － o (a )


4 5° 3 0° 1 5° － 6－ 5 － 4－ 3 － 2 － o －1 0° －2 0° －3 0° －4 5° (b )
其余
3 45 6 30
0 A n
An 3
3
2
2
1 0 .4 o
0 .8

2
3
(a )
4
5
6


4 5°
n
4 5°
3 0°
3 0° 2 0° 1 0°
1 5°
o

2
3
(b )
4
5
6

图 3.3-1 例 3.3-1 信号的频谱 (a) 振幅谱； (b) 相位谱
( t t0 ) e j t
0
(4―75)
直流信号1的频谱函数
例 3.4-6 求直流信号1的频谱函数。
f (t ) 1
F(j ) 2 ( )
o (a )
o (b )

图 3.4-6 直流信号f(t)及其频谱 (a) 直流信号f(t); (b) 频谱
解 直流信号1可表示为
方波信号f(t)展开为傅里叶级数
例4―1 试将图4.2所示的方波信号f(t)展开 为傅里叶级数。
f (t) 1
－T
T 2
0 －1
T 2
T
2T
t
图4.2 方波信号的傅里叶级数
解 我们将信号按式(4―6)分解成傅里叶级数, 并按式(4 ― 7)、(4―8)、(4―9)分别计算an, bn 及c 。

2

2

(4―36)
2
[ g r (t )]


2
e
j t
sin( / 2) dt / 2
(4―37) (4―38)
sin( x ) Sa ( x ) x [ g r (t )] Sa (

2
)
(4―39)
δ(t)的频谱函数
例 3.4-5 求单位冲激函数δ(t)的频谱函数。