——圆◆知识讲解一．圆的定义1、在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。

2、圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合。

3、确定一个圆需要两个要素：一是位置二是大小，圆心确定其位置，半径确定其大小。

4、连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

以A、B为端点的弦记作“圆弧AB”，或者“弧AB”。

大于半圆的弧叫作优弧（用三个字母表示，如ABC）叫优弧；小于半圆的弧（如AB）叫做劣弧。

二、垂直于弦的直径、弧、弦、圆心角1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弦。

2、垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

3、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等。

在等圆中，弦心距相等的弦相等。

三、圆周角1、定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角。

2、定理：一条弧所以的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。

3、推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所以的圆周角相等。

（2）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

四、点和圆的位置关系1、设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d。

则d>r ⇔点在圆外，d=r ⇔点在圆上，d<r ⇔点在圆内。

2、确定圆条件：不在一条直线上的三个点。

3、经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫这个圆的内接三角形。

外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等。

4、反证法证题的步骤（1）假设命题的结论不成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

5、锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部。

五、直线和圆的位置关系（一）1、直线与圆的三种位置关系（1）从公共点个数来判断直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相交；直线与圆没有公共点时，直线与圆相离。

（2）从点到直线的距离d与半径r的大小关系来判断d<r时，直线与圆相交；d=r时，直线与圆相切；d>r时，直线与圆相离；2、切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。

六、直线和圆的位置关系（二）1、切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。

2、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等。

这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

3、与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

内心到三角形三边距离相等。

七、圆与圆的位置关系1、位置关系（1）从公共点的个数和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆的位置关系有五种，外离、外切、相交、内切、内含。

（2）从公共点的个数来考虑分三种：相离、相切、相交，并且相离（外离、内含），相切（外切、内切）。

内含 d<r1-r2 无（其中r1和r2是两圆半径，d 是圆心距，且r1>r2）八、正多边形的有关概念及计算1、正多边形的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径。

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

2、正多边形的计算：（1）正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形。

（2）边长（a n ）、半径（R ）、边心距（r n ）、中心角（a n ）、周长（P n ）、面积（S n ）之间的关系为：①中心角a n =；②周长P n =na n ；③面积S n =n r n a n =P n r n..（3）作正多边形：利用、规等分圆周。

九、弧长和扇形面积1、弧长计算公式：在半径为R 的圆中，n 的圆心角所对的弧长为l=2、扇形面积计算公式：S 扇形= (其中R 为扇形半径，n 为圆心角)；3、弧长和扇形面积的关系：S 扇形=R 十、圆锥的侧面积和全面积 1、圆锥的侧面展开图形状:扇形 2、侧面积计算公式：S 侧 =全面积的计算公式：S 全 = +（其中l 为圆锥母线长，r 为底面圆的半径）◆例题解析【例1】在平面直角坐标系内，以原点O 为圆心，5为半径作⊙O ，已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A （3，4），B （－3，－3），C （4，10-）。

试判断A 、B 、C 三点与⊙O 的位置关系。

【分析】要判断点与圆的位置关系就是要比较点到圆心的距离与半径的大小关系。

解：∵OA ＝54322=+=OA523)3()3(22<=-+-=OB526)10(422>=-+=OC∴点A 在⊙O 上，点B 在⊙O 内，点C 在⊙O 外。

【例2】如图，△ABC 中，∠A ＝700，⊙O 截△ABC 的三条边所截得的弦长都相等，则∠BOC ＝ 。

【分析】由于⊙O 截△ABC 的三条边所截得的弦长都相等，则点O 到三边的距离也相等，即O 是△ABC 角平分线的交点，问题就容易解决了。

解：作OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，则OD ＝OE ＝OF ∴O 为△ABC 角平分线的交点 ∵∠A ＝700∴∠ABC ＋∠ACB ＝1100∴∠OBC ＋∠OCB ＝21×1100＝550∴∠BOC ＝1800－550＝1250【例3】如图1，在⊙O 中，AB ＝2CD ，那么（ ） A 、⋂⋂>CD AB 2 B 、⋂⋂<CD AB 2C 、⋂⋂=CD AB 2 D 、⋂AB 与⋂CD 2的大小关系不能确定【分析】如图1，把⋂CD 2作出来，变成一段弧，然后比较⋂CD 2与⋂AB 的大小。

解：如图1，作⋂⋂=CD DE ，则⋂⋂=CD CE 2 ∵在△CDE 中，CD ＋DE ＞CE ∴2CD ＞CE ∵AB ＝2CD ∴AB ＞CE∴⋂⋂=CE AB ，即⋂⋂>CD AB 2例2图O FEDCB A•例3图1OEDCB A•变式图OEDCBAyx•问题图OCBAM变式：如图，在⊙O 中，⋂⋂=CD AB 2，问AB 与2CD 的大小关系？ 略解：取⋂AB 的中点E ，则⋂⋂⋂==CD BE AB ∴AB ＝BE ＝CD∵在△AEB 中，AE ＋BE ＞AB ∴2CD ＞AB ，即AB ＜2CD 探索与创新：【问题】已知点M （p ，q ）在抛物线12-=x y 上，若以M 为圆心的圆与x 轴有两个交点A 、B ，且A 、B 两点的横坐标是关于x 的方程022=+-q px x 的两根（如上图）。

（1）当M 在抛物线上运动时，⊙M 在x 轴上截得的弦长是否变化？为什么？ （2）若⊙M 与x 轴的两个交点和抛物线的顶点C 构成一个等腰三角形，试求p 、q 的值。

【分析】（1）设A 、B 两点的横坐标分别是1x 、2x ，由根与系数的关系知p x x 221=+，q x x =⋅21，那么：q p x x x x x x x x AB -=-+=-=-=2212212212124)()(，又因为M 在抛物线12-=x y 上，所以12-=p q 。

故AB ＝2，即⊙M 在x 轴上截得的弦长不变。

（2）C （0，－1），122+=x BC ，121+=x AC①当AC ＝BC ，即21x x -=时，0=p ，1-=q ；②当AC ＝AB 时，4121=+x ，31±=x ，31+=p ，323+=q 或13-=p ，323-=q③当BC ＝AB 时，32±=x ，13-=p ，323-=q 或13+-=p ，323+=q◆强化训练 一、选择题：1、两个圆的圆心都是O ，半径分别为1r 、2r ，且1r ＜OA ＜2r ，那么点A 在（ ）A 、⊙1r 内B 、⊙2r 外C 、⊙1r 外，⊙2r 内D 、⊙1r 内，⊙2r 外 2、一个点到圆的最小距离为4cm ，最大距离为9cm ，则该圆的半径是（ ） A 、2.5 cm 或6.5 cm B 、2.5 cm C 、6.5 cm D 、5 cm 或13cm 3、三角形的外心恰在它的一条边上，那么这个三角形是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、不能确定 4、如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A 、B 两点）上移动时，点P （ ） A 、到CD 的距离保持不变 B 、位置不变C 、等分⋂DB D 、随C 点移动而移动 二、填空题：1、若d 为⊙O 的直径，m 为⊙O 的一条弦长，则d 与m 的大小关系是 。

2、△ABC 的三边分别为5 cm 、12 cm 、13 cm ，则△ABC 的外心和垂心的距离是 。

3、如图，⊙O 中两弦AB ＞CD ，AB 、CD 相交于E ，ON ⊥CD 于N ，OM ⊥AB 于M ，连结OM 、ON 、MN ，则∠MNE 与∠NME 的大小关系是∠MNE ∠NME 。

第3题图NMOE DB第4题图F OE D CBA4、如图，⊙O 中，半径CO 垂直于直径AB ，D 为OC 的中点，过D 作弦EF ∥AB ，则∠CBE ＝ 。

5、在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为2和3，则∠BAC 的度数为 。

三、计算或证明：1、如图，⋂AB 的度数为900，点C 和点D 将⋂AB 三等分，半径OC 、OD 分别和弦AB 交于第4题图PODC BAE 、F 。

求证：AE ＝CD ＝FB 。

第1题图F OE DCBA•第2题图QPODC BA•第3题图MODCBA2、如图，在⊙O 中，两弦AB 与CD 的中点分别是P 、Q ，且⋂⋂=CD AB ，连结PQ ，求证：∠APQ ＝∠CQP 。

3、如图，在⊙O 中，两弦AC 、BD 垂直相交于M ，若AB ＝6，CD ＝8，求⊙O 的半径。

4、如图，已知A 、B 、C 、D 四点顺次在⊙O 上，且⋂⋂=BD AB ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM ＝DC ＋CM 。

•第4题图M ODC BA参考答案一、选择题：CABB 二、填空题：1、d ≥m ；2、6.5cm ；3、＞；4、300；5、150或750三、计算或证明：1、提示：连结AC 、BD ，先证AC ＝CD ＝BD ，再利用角证AC ＝AE ，BD ＝DF 即可；2、提示：连结OP 、OQ∵P 、Q 是AB 、CD 的中点，∴OP ⊥AB ，OQ ⊥CD ∵⋂⋂=CD AB ，∴OP ＝OQ∴∠OPQ ＝∠OQP ，∴∠APQ ＝∠CQP3、提示：连结CO 并延长交⊙O 于E ，连结ED 、AE ，设⊙O 的半径为R ，则∠EDC ＝∠EAC ＝900，∴2224R ED CD =+。