《新课标》必修Ⅰ复习第八讲函数与方程2008 年 7 月一．课标要求：1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

二．命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法” 求方程的近似解也一定会是高考的考点。

从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。

高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。

预计 2009 年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。

（1）题型可为选择、填空和解答；（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。

三．要点精讲1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数 y f (x)( x D ) ，把使 f ( x)0 成立的实数 x 叫做函数 y f ( x)( x D )的零点。

函数零点的意义：函数 y f ( x) 的零点就是方程 f (x) 0 实数根，亦即函数 y f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。

即：方程 f ( x) 0 有实数根函数 y f ( x) 的图象与 x 轴有交点函数 y f (x) 有零点。

二次函数 y ax 2bx c(a0) 的零点：１）△＞０，方程ax 2bx c0 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程ax 2bx c0 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程ax 2bx c0 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。

零点存在性定理：如果函数 y f ( x) 在区间 [ a,b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a) f (b) 0 ，那么函数 y f (x) 在区间 (a, b) 内有零点。

既存在c(a, b) ，使得 f (c) 0 ，这个 c 也就是方程的根。

2.二分法二分法及步骤：对于在区间 [ a ， b] 上连续不断，且满足 f (a) · f (b)0 的函数y f ( x) ，通过不断地把函数 f (x) 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度 ，用二分法求函数f ( x) 的零点近似值的步骤如下：（ 1）确定区间 [ a ， b] ，验证 f (a) · f (b) 0 ，给定精度；（ 2）求区间 ( a ， b) 的中点 x 1；（ 3）计算 f (x 1 ) ：①若 f ( x 1 ) = 0 ，则 x 1 就是函数的零点；②若 f (a) · f ( x 1 ) < 0 ，则令 b = x 1 （此时零点 x 0 ( a, x 1 ) ）；③若 f ( x 1 ) · f (b) < 0 ，则令 a = x 1 （此时零点 x 0 (x 1, b) ）；（ 4）判断是否达到精度 ；即若 | a b |，则得到零点值 a （或 b ）；否则重复步骤 2～4。

注：函数零点的性质从“数”的角度看：即是使f (x) 0的实数；从“形”的角度看：即是函数 f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标； 若函数 f ( x) 的图象在若函数 f ( x) 的图象在x x 0 处与 x 轴相切，则零点 x 0 通常称为不变号零点；xx 0 处与 x 轴相交，则零点 x 0 通常称为变号零点。

注：用二分法求函数的变号零点： 二分法的条件 f (a) · f (b) 0 表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。

3．二次函数的基本性质（ 1）二次函数的三种表示法： y=ax 2+bx+c ； y=a(x － x 1)(x － x 2)； y=a(x － x 0)2+n 。

（2）当 a>0 ，f(x)在区间［ p ， q ］上的最大值M ，最小值1 m ，令 x 0= (p+q)。

2若－b<p ，则 f(p)=m ， f(q)=M ；2ab b若 p ≤－<x 0，则 f( －)=m ， f(q)=M ；2a2a若 x 0 ≤－ b<q ，则 f( p)= M ，f(－ b)=m ； 2a2a若－b≥ q ，则f(p)= M ，f(q)=m 。

2a（ 3）二次方程 f(x)=ax 2+bx+c=0 的实根分布及条件。

①方程 f(x)=0 的两根中一根比 r 大，另一根比 r 小a · f( r)<0 ；b 2 4ac0,②二次方程 f(x)=0 的两根都大于rbr ,2aa f ( r ) 0b 24ac 0,pbq,③二次方程 f(x)=0 在区间 (p ， q)内有两根2aa f ( q) 0,a f ( p)0;④二次方程f(x)=0 在区间 (p， q)内只有一根f(p)· f(q)<0 ，或 f(p)=0( 检验 )或 f(q)=0( 检验 )检验另一根若在(p，q)内成立。

【课前预习】1.关于x的方程(1)x1有正根，则实数 a 的取值范围是。

21lg a2.【 07 山东文 11】．设函数y x3与y12x 2的图象的交点为( x0， y0 ) ，则 x0所在的区间是（）A ．(0，1)B ．(12)，C．(2，3) D ．(3，4)3.已知定义域为 (,0)(0,) 的函数 f ( x)是偶函数，并且在(,0) 上为增函数。

若f (3)0，则 f (x)0 的解集是；x4.函数 y log 2 2x a 的对称轴方程为 x 2，则常数 a =。

四．典例解析题型 1：方程的根与函数零点例 1．判断下列函数在给定区间上是否存在零点。

（ 1）f ( x)x 23x18, x[1,8];（ 2）f ( x)x3x1, x[1,2];（ 3）f ( x)log 2 (x2)x, x [1,3].例 2．（ 1）方程 lg x+x=3 的解所在区间为（）A． (0， 1)B． (1， 2)C． (2， 3) D ． (3， +∞ )（ 2）设 a 为常数，试讨论方程lg( x 1) lg( 3 x) lg( a x) 的实根的个数。

题型 2：零点存在性定理例 3．（ 2004 广东 21）设函数 f ( x) x ln( x m) ，其中常数m 为整数。

（1）当m为何值时， f (x)0 ；（2）定理：若函数g (x)在[a,b]上连续，且g( a)与g(b)异号，则至少存在一点x0( a,b) ，使得g (x0 )0试用上述定理证明：当整数m 1时，方程 f ( x) 0 在 e m m, e2m m内有两个实根。

例 4．若函数y f ( x) 在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A．若f (a) f (b)0，不存在实数 c (a, b) 使得 f (c) 0 ；B．若f (a) f (b)0，存在且只存在一个实数 c (a,b) 使得 f (c)0 ；C．若f (a) f (b)0，有可能存在实数 c( a, b) 使得 f (c)0 ；D．若f (a) f (b)0 ，有可能不存在实数 c (a,b) 使得 f (c)0 ；题型 3：二分法的概念例 5．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（）A．“二分法”求方程的近似解一定可将y f ( x) 在[a,b]内的所有零点得到；B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y f ( x) 在[ a,b]内的零点；C．应用“二分法”求方程的近似解，y f ( x) 在[a,b]内有可能无零点；D．“二分法”求方程的近似解可能得到 f ( x)0 在[a,b]内的精确解；例 6．方程f ( x)0 在[0，1]内的近似解，用“二分法”计算到x100.445 达到精确度要求。

那么所取误差限是（）A． 0.05B． 0.005C． 0.0005D． 0.00005题型 4：应用“二分法”求函数的零点和方程的近似解例 7．借助计算器，用二分法求出ln( 2x 6) 23x在区间（1，2）内的近似解（精确到0.1 ）。

例 8．借助计算器或计算机用二分法求方程 2 x3x 7 的近似解（精确到0.1 ）。

题型 5：一元二次方程的根与一元二次函数的零点例 9．（ 1）已知,是方程 x 2(2m1) x 4 2m 0的两个根，且2，求 m 的取值范围。

（ 2）已知关于x的方程325x a 0的一根分布在区间（-2 ， 0）内，另一根分布在区间x（ 1， 3）内，求实数 a 的取值范围。

例 10．已知二次函数 f (x) ax 2bx 1 (a, b R, a 0) ，设方程 f ( x)x 的两个实数根为x1和 x2.（1）如果x12x2 4 ，设函数 f (x) 的对称轴为 x x0，求证： x0 1 ；（2）如果x12， x2x1 2 ，求 b 的取值范围.【课外作业】1．若函数 f (x) x2ax 1有负值，则实数 a 的取值范围是（）A. a 2或a2B. 2 a 2C.a2D. 1 a 32．若f ( x), g ( x)都是定义在实数集 R 上的函数，且方程x f [ g (x)] 0 有实数解，则 f [ g( x)]不可能是（）A. x2x1B. x2x1C. x21D.x 215555x 2bx c, x03 ．设函数f ( x)x ，若 f ( 4) f (0), f ( 2) 2 ，则关于 x 的方程2,0f ( x)x 的解的个数为（）A． 1 B.2 C.3 D.44．f ( x)是定义在 R 上的以 3为周期的奇函数，且 f (2) 0，则方程 f ( x) 0 在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A.2B.3C.4D.55．函数f ( x)x3x 2x1在[0，2]上（）A. 有三个零点B.有两个零点C. 有一个零点D. 没有零点五．思维总结1．函数零点的求法：①（代数法）求方程 f ( x)0 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y f ( x) 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

2．解决二次函数的零点分布问题要善于结合图像，从判别式、韦达定理、对称轴、区间端点函数值的正负、二次函数图像的开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件。