第十一节函数与方程一、基础知识批注——理解深一点1．函数的零点(1)零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.2．函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．二、常用结论汇总——规律多一点有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．三、基础小题强化——功底牢一点一判一判对的打“√”，错的打“×” (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( ) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac ＜0时没有零点．( )(5)若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )＜0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√(二)选一选1．已知函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1 2 3 4 5 f (x )－4－2147f x A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4)D ．(4,5)解析：选B 由所给的函数值的表格可以看出，x ＝2与x ＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f (2)·f (3)<0，所以函数f (x )在(2,3)内有零点．2．函数f (x )＝(x －1)ln(x －2)的零点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选B 由x －2>0，得x >2，所以函数f (x )的定义域为(2，＋∞)，所以当f (x )＝0，即(x －1)ln(x －2)＝0时，解得x ＝1(舍去)或x ＝3.3．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1和(3,4) D ．(4，＋∞)解析：选B 易知f (x )为增函数，由f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3－23＞0，得f (2)·f (3)＜0，故函数f(x)的零点所在的大致区间是(2,3)．(三)填一填4．已知2是函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ＋m ，x ≥2，2x ，x <2的一个零点，则f [f (4)]的值是________．解析：由题意知log 2(2＋m )＝0，∴m ＝－1，∴f [f (4)]＝f (log 23)＝232log ＝3.答案：35．若函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＝0时，函数f (x )＝1在(－1,1)上没有零点，所以a ≠0.所以函数f (x )是单调函数，要满足题意，只需f (－1)f (1)<0，即(－3a ＋1)·(1－a )<0，所以(a －1)·(3a －1)<0，解得13<a <1，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1考点一 函数零点个数、所在区间[典例](1)(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点[解析] (1)解方程法 令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎨⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎨⎧x >0，1＋1x ＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2. (2)法一：图象法令f (x )＝0得13x ＝ln x ．作出函数y ＝13x 和y ＝ln x 的图象，如图，显然y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在(1，e)内有零点．法二：定理法当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 时，函数图象是连续的，且f ′(x )＝13－1x ＝x －33x <0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 上单调递减．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0，f (e)＝13e －1<0，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内．[答案] (1)C (2)D[解题技法] 掌握判断函数零点个数的3种方法 (1)解方程法若对应方程f (x )＝0可解，通过解方程，即可判断函数是否有零点，其中方程有几个解就对应有几个零点．(2)定理法利用函数零点的存在性定理进行判断，但必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数．(3)数形结合法合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其是否有交点，若有交点，其中交点的个数，就是函数零点的个数．[题组训练]1.[定理法]函数f (x )＝x 3－x 2－1的零点所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(－1,0) C ．(1,2)D ．(2,3)解析：选C 函数f (x )＝x 3－x 2－1是连续函数．因为f (1)＝1－1－1＝－1<0，f (2)＝8－4－1＝3>0，所以f (1)f (2)<0，结合选项可知函数的零点所在的区间是(1,2)．⎧x2＋x－2，x≤0，－1＋ln x，x>0的零点个数为( )2.[解方程法或图象法]函数f(x)＝⎩⎨解析：选B 法一：(解方程法) 由f (x )＝0得⎩⎨⎧ x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎨⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.因此函数f (x )共有2个零点．法二：(图象法)作出函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．3.[图象法]设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B 函数f (x )的零点所在的区间可转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在区间．如图如示，可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)．考点二 函数零点的应用考法(一) 已知函数零点个数求参数范围[典例] (2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞) [解析] 令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象，可知当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．[答案] C考法(二) 已知函数零点所在区间求参数范围[典例] (2019·安庆摸底)若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________．[解析] ∵函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，∴方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解，即方程a ＝4x －2x 在[－1,1]上有解．方程a ＝4x －2x可变形为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122－14， ∵x ∈[－1,1]，∴2x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， ∴⎝⎛⎭⎪⎫2x －122－14∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2. ∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2. [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2[解题技法]1．利用函数零点求参数范围的3种方法直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围 分离参数法分离参数(a ＝g (x ))后，将原问题转化为y ＝g (x )的值域(最值)问题或转化为直线y ＝a 与y ＝g (x )的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解 数形结合法 先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解2.利用函数零点求参数范围的步骤[题组训练]1．(2019·北京西城区模拟)若函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2)解析：选C 因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3.2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 2＋x －94，x ≤0，x －2，x >0.若方程f (x )＝a 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，－94∪[－2，＋∞) B ．(－2，＋∞)C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－52，－94∪(－2，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，－94∪(－2，＋∞) 解析：选C 方程f (x )＝a 有两个不相等的实数根等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有两个不同的交点，作出函数f (x )的图象如图所示，由图可知，a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－52，－94∪(－2，＋∞)． [课时跟踪检测]1．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( )A ．y ＝log 12xB ．y ＝2x －1C ．y ＝x 2－12D ．y ＝－x 3解析：选B 函数y ＝log 12x 在定义域上单调递减，y ＝x 2－12在(－1,1)上不是单调函数，y ＝－x 3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y ＝2x －1，当x ＝0∈(－1,1)时，y ＝0且y ＝2x －1在R 上单调递增．故选B.2．(2018·重庆一中期中)函数f (x )＝e x ＋x －3在区间(0,1)上的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 由题知函数f(x)是增函数．根据函数的零点存在性定理及f(0)＝－2，f(1)＝e－2>0，可知函数f(x)在区间(0,1)上有且只有一个零点，故选B.3．(2018·豫西南部分示范性高中联考)函数f(x)＝ln x－2x2的零点所在的区间为( )A．(0,1) B．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 解析：选B 易知f (x )＝ln x －2x 2的定义域为(0，＋∞)，且在定义域上单调递增． ∵f (1)＝－2<0，f (2)＝ln 2－12>0， ∴f (1)·f (2)<0，∴根据零点存在性定理知f (x )＝ln x －2x2的零点所在的区间为(1,2)． 4．若函数f (x )＝ax ＋1在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,1)解析：选C 由题意知，f (－1)·f (1)＜0，即(1－a )(1＋a )＜0，解得a ＜－1或a ＞1.5．已知实数a ＞1,0＜b ＜1，则函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选B 因为a ＞1,0＜b ＜1，所以f (x )＝a x ＋x －b 在R 上是单调增函数，所以 f (－1)＝1a－1－b ＜0，f (0)＝1－b ＞0，由零点存在性定理可知，f (x )在区间(－1,0)上存在零点． 6．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内解析：选A 由题意知f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0，由函数零点的存在性定理可知函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内．7．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.8．(2019·郑州质量测试)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x －a ，x ≤0，2x －a ，x >0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则实数a的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(－∞，1]解析：选A 画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为函数f (x )在R上有两个零点，所以f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需0<a ≤1；当x >0时，f (x )有一个零点，需－a <0，即a >0.综上，0<a ≤1.9．已知函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为______． 解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12. 答案：－1210．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ln x ，x ＞0，x 2－x －2，x ≤0，则f (x )的零点为________． 解析：当x ＞0时，由f (x )＝0，即x ln x ＝0得ln x ＝0，解得x ＝1；当x ≤0时，由f (x )＝0，即x 2－x －2＝0，解得x ＝－1或x ＝2.因为x ≤0，所以x ＝－1.综上，函数f (x )的零点为1，－1.答案：1，－111．(2019·太原模拟)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是________． 解析：依题意并结合函数f (x )的图象可知，⎩⎨⎧ m ≠2，f －1·f 0<0，f 1·f 2<0，即⎩⎨⎧ m ≠2，[m －2－m ＋2m ＋1]2m ＋1<0，[m －2＋m ＋2m ＋1][4m －2＋2m ＋2m ＋1]<0，解得14<m <12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1212．已知方程2x＋3x＝k的解在[1,2)内，则k的取值范围为________．解析：令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数．当方程2x＋3x＝k的解在(1,2)内时，f(1)·f(2)<0，即(5－k)(10－k)<0，解得5<k<10.当f(1)＝0时，k＝5.综上，k的取值范围为[5,10)．答案：[5,10)13．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.(1)写出函数y＝f(x)的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求实数a 的取值范围． 解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝x 2＋2x .又因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x .所以f (x )＝⎩⎨⎧ x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.(2)方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，即y ＝f (x )与y ＝a 的图象有3个不同的交点．作出y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图所示，故若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，只需－1＜a ＜1，故实数a 的取值范围为(－1,1)．如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。