dS
螺旋法则确定；
对闭合曲面：闭合面外法线方向
蜒s FvgdSv
s
FvgevndS
?s
v F
cos (rv)dS
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
通过闭合面S的通量的物理意义：
0
0
0
若 0，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发
出矢量线的正源；
z
Az
A
Ay
Ax O
y
x
r A
A(erx
cos
ery
cos
erz
cos
)
erA erx cos ery cos erz cos
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.1.2 矢量的运算
v A
evx
Ax
evy
Ay
evz
Az
v B
evx Bx
evy
By
evz Bz
vv vv v v v vv vv AgB BgA Ag(B C) AgB AgC
2、两个矢量的点积为标量
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
➢ 矢量的矢积（叉积）
v A
v B
evn
AB
sin
AB
evx Ax
evy Ay
evz Az
A B
B
AB sin
evx
( Ay Bz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
三种坐标系有不同适用范围：
1、直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解，如无限大 面电荷分布产生电场分布。
2、柱面坐标系适用于场呈轴对称分布的问题求解，如无限长 线电流产生磁场分布。
3、球面坐标系适用于场呈点对称分布的问题求解，如点电荷 产生电场分布。
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r dS
er dl dlz
er d dz
r dSz
r ez dl dl
r ez
d
d
圆柱坐标系
体积元
dV dddz
圆柱坐标系中的线元、面元和体积元
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
说明：圆柱坐标系下矢量运算方法：
v A
ev
A
ev
A
evz
Az
v B
ev
B
ev B
evz Bz
A
ev
A
v B
evr Br
ev B
ev B
v 加减：A
v B
evr (Ar
Br
)
ev
( A
B
)
ev
( A
B
)
vv 标积：AgB
(evr Ar
ev
A
ev
A
)g(evr Br
ev B
ev B )
Ar Br A B A B
v v evr ev ev 矢积：A B Ar A A
Br B B evr ( A B A B ) ev ( A Br Ar B ) ev ( Ar B A Br )
u
0 l M0
，标量场
u
在
M
处沿
0
l
方向减小率；
u
0 l M0
，标量场 u在M0处沿 l 方向为等值面方向（无改变）
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.3.3 标量场的梯度
梯度的定义
gradu(x, y,
式中：evl 为场量 u
z) evl
u l
max
最大变化率的方向上的单位矢量。
Az By
Bx )
By Bz evy ( Az Bx
Ax Bz
)
evz
A
( AxBy
Ay Bx )
说明：
1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律：
vv vv v v v vv vv A B B A A(B C) A B AC
2、两个矢量的叉积为矢量 3、矢量运算恒等式
vv v vv v vv v Ag(B C) Bg(C A) Cg(A B) v v v vvv vvv A (B C) B(AgC) C(AgB)
sin cos
cos sin
ey
sin sin cos sin
ez
cos sin
e sin
cos
0
y e
ey e
φ ex
φ
o
单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系
ez
θ θ
er e
单位圆
e
r
柱坐标系与球坐标系之间 坐标单位矢量的关系
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
第一章 矢量分析
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
本章内容
本章重点介绍与矢量场分析有关的数学基 础内容。 • 矢量代数 • 常用正交坐标系 • 标量场的梯度 • 矢量场的散度 • 矢量场的旋度 • 拉普拉斯运算 • 亥姆霍兹定理
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x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
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1.2.2 圆柱坐标系
第1章 矢量分析
坐标变量
,, z
坐标单位矢量
r e
,
r e
,
erz
位置矢量
rr er erz z
线元矢量
drv erd er d erzdz
面元矢量
r dS
r e
dl
dlz
r e
d
dz
v 加减：A
v B
ev
( A
B
)
ev
( A
B
)
evz
( Az
Bz
)
标积：AvgBv (ev A ev A evz Az )g(ev B ev B evz Bz )
A B A B Az Bz
矢积：Av
v B
ev A
ev A
evz Az ev ( A Bz Az B ) ev ( Az B A Bz )
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.1 矢量代数
1.1.1 标量和矢量
标量与矢量
标量：只有大小，没有方向的物理量(电压U、电荷量Q、能量W等）
矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）
矢量的代数表示
vv v v
F E Hv 矢v量可表示为：A
B evA
v vD A 其中
eA
A A
A 为模值，表征矢量的大小；
r erdl dl er dlrdl
erdlrdl
r er
r
2sin
d
d
r ez
rsin
drd
errdrd
球坐标系
体积元
dV r2sindrdd
球坐标系中的线元、面元和体积元
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第1章 矢量分析
说明：球面坐标系下矢量运算：
v A
evr Ar
ev
从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：
静态标量场和矢量场可分别表示为：
u(x,
y,
z)、
r F
(x,
y,
z)
r
时变标量场和矢量场可分别表示为： u(x, y, z,t) 、 F (x, y, z,t)
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第1章 矢量分析
1.3.1 标量场的等值面
标量场空间中，由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
若S 为闭合曲面
Ñs Av(rv)
v dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。
说明：1)
面元矢量
v dS
定义：面积很小的有向曲面。
dS ：面元面积，为微分量，无限小
2) 面evn元：法面向元e法vn 线的方确向定，方垂法直：于面元平面。
evn
对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手
1.4.2 矢量场的通量
r F M drr rr rr drr
O
矢量线
问题：如何定量描述矢量场的大小？
引入通量的概念。
若矢量场 Fv(rv) 分布于空间中，在
空间中存在任意曲面S，则定义：
Fv(rv)gdSv
为矢量
Fv(rv)
S
沿有向曲面
S
的通量。
矢量场的通量
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.2.1 直角坐标系
坐标变量
x, y, z
rrr
坐标单位矢量 ex , ey , ez
位置矢量
rr erx x ery y erz z
线元矢量
r dl
r exdx
r eydy
r ezdz
面元矢量
r dSx
r exdlydlz
r exdydz
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.2.4 坐标单位矢量之间的关系
直角坐标与 圆柱坐标系
eeez
ex
cos sin
0
ey
sin cos