第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线 1）Txy=，2）Txy=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得 ⑴ Cxy =，xC y=；⑵ Cyx =+221-2 求下列标量场的等值面 1）ua xb y cz=++1，2） =-uz xy 22+， 3）uxyz =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ kcz by ax =++ ⑵ cyxz=+-22，()222c z yx -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。

解 根据矢量线的定义，可得zz y y x x 2d d d ==解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。

1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。

解 根据矢量线的定义，可得zy z yx y xy x 222d d d ==解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。

1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。

解 l 的方向余弦为1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂MMxzx xu ，620-=-=∂∂MMzyu ，42220=+-=∂∂MMxy z zu据方向导数的定义，可得1714172436212cos cos cos 0=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαMMMMzu yu xu lu1-6 求标量场uxy yz zx=++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。

解 l 的方向余弦为1413211cos 222=++=α，1423212cos 222=++=β，1433213cos 222=++=γ； 又有5=+=∂∂MMzy xu ，4=+=∂∂MMzx yu ，3=+=∂∂MMxy zu据方向导数的定义，可得142214332415cos cos cos 0=⨯+⨯+⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαMMMMzu yu xu lu1-7 设有标量场u xy z=-22，求u 在点(.,.,2010 1.0)-处沿该点至(.,.,3010 -1.0)方向的方向导数。

在点(.,., 1.0)2010-沿什么方向的方向导数达到最大值？其值是多少？解 点(.,.,2010 1.0)-至点(.,.,3010 -1.0)的方向余弦为()()()3111112323c o s 222=--+++--=α，()()()3211112311cos 222=--+++-+=β，()()()3211112311cos 222-=--+++---=γ；又有220-==∂∂MMyxu ，420==∂∂MMxyu ，220-=-=∂∂MMzzu据方向导数的定义，可得3103222412cos cos cos 0=⨯+⨯+⨯-=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαMMMMzu yu xu lu当方向余弦均为1时，方向导数达到最大值，即沿z y x e e e G242-+-=方向导数达最大值，()()6224242222==-++-=G1-8 求下列标量场的∇u1）u xy =2；2）u x y =+22；3）u y x =e sin ；4）u x y z=234； 5）ux yz=-+323222解 据 zy x z u yu xu u e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇，可得1） y x x y u e e 22+=∇ 2） yx y x u e e 22+=∇3） yxx xy e y e u e e cos sin +=∇4） z y x z y x z y x z xy u e e e 33242243432++=∇5） zy x z y x u e e e 646+-=∇1-9 求标量场u xyzx x y=-+222在点(.,., -2.0)-1030处的梯度。

解()()zyx x y z xxzxy yzu e ee 222222++++-=∇，则所求梯度为()()zy x z y x Mue e e e e e 1234121462120+-=++-+--=∇1-10 求标量场223),(yxy x u +=具有最大方向导数的点及方向，所求的点满足x y 221+=。

（提示：最大的方向导数就是在点(,)x y 处的梯度，模最大，且满足x y 221+=，即求条件极值。

）解yx y x y x yu xu u e e e e 26+=∂∂+∂∂=∇，22436yxu+=∇，将21xy-±=代入，可得()43214362222+=-+=∇x xx u ，即 []43222+=∇x u ，当1±=x、0=y 时，有6max±=∇u，即点()0,1-和()0,1为满足条件的点，又()x ue 60,1-=∇-，()xue 60,1=∇，即最大方向导数的方向分别为xe ±1-11 设re e e r =++x y z r nx y z , =, 为正整数，1）求∇∇∇r r f r n 2,,(),2）证明∇=∙（a r a a),(是常矢量）解 1）()()re e e 22222222=++=++∇=∇z y xz y x zyxr()()()()zy xnn nz y x z y x n zy x re e e2222122222222++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∇=∇-rnrrnrn n r r 2122-⎪⎭⎫⎝⎛-==()()()()rr f r r f r r f r f r r '='=∇'=∇-12） 证明 设zz y y x x a a a e e e a ++=，则 za y a x a z y x ++=⋅r a ，因此，可得 ()()zz y y x x z y x a a a z a y a x a e e e r a ++=++∇=⋅∇，证毕。

1-12 设S 为上半球面x y z a 2222++=≥ (z 0),其法向单位矢量e n 与z 轴的夹角为锐角，求矢量场r e e e =++x y z x y z 沿e n 所指的方向穿过S 的通量。

（提示：注意r 与e n 同向）解 将r e e e =++x y z x y z 用球坐标表示，则在S 面上有na e r=，因此，可得3222d aaa sππ=⨯=⋅⎰s r1-13 求均匀矢量场A 通过半径为R 的半球面的通量。

（如图1-1所示）解 设半球面的方程为x y z a 2222++=≥ (z 0),则矢量A 通过S 面的通量等于矢量A 通过S 面在0=z 的平面上的投影的通量，因此，2d R A sπ=⋅⎰s A1-14 计算曲面积分yx x z x z yz yz y xy xSd d )12(d d )2(d d )2(22+-+-+-=Φ⎰⎰,其中S 是球心在原点，半径为a 的球面外侧。

解 设z y x x z yz y xy x e e e A )12()2()2(22+-+-+-=，根据散度定理，可得()()32234d 1222222d d d d )12(d d )2(d d )2(avx z z y y x v y x x z x z yz yz y xy xvvsSπ=+-+-+-=⋅∇=⋅=+-+-+-=Φ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰A sA1-15 求矢量场A 从内穿出所给闭曲面S 的通量： 1）A e e e =++x y z x y z 333，S 为球面x y z a2222++= 2）Ae e e =-++-++-+（x y z y z x z x y x y z )()()，S 为椭球面x ay bz c2222221++=解 1） 根据散度定理，可得()()522222512d 43d 333d d ar r r v zyxvavvsππ=⨯=++=⋅∇=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰A s A2） ()()abcabc vvvvsππ4343d 111d d =⨯=++=⋅∇=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰A s A1-16 求下列空间矢量场的散度： 1）A e e e =-+-+-()()()2332z y x z y x x y z2）A e e e =-+++-()()()3232322xyz y yz xyz xz x y z解 1）=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇z A y A x A z y x A2） xzxy zy x zA yA xA z y x 63622-+++=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A1-17 求div A 在给定点处的值：1）A e e e =++x y z x y z 333在M （1.0，0.0，-1.0)处； 2）A e e e =-+422x xy z x y z,在M （1.0，1.0，3.0）处；3）A r r e e e ==++xyz x y z x y z ()在M （1.0，3.0，2.0）处。

解 1）222333zy xz A y A x A z y x ++=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A ，则633=+=⋅∇MA2）zx z A y A x A z y x 224+-=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A ，则8624=+-=⋅∇MA3）()[]xyzxyz xyz xyz z y x xyz zA yA xA z y x z y x 6222=++=++⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇e e e A ，则362316=⨯⨯⨯=⋅∇M A1-18 求标量场u x y z =342的梯度场的散度。

解zy x z y x z y x z y x z y x zu yu xu u e e e e e e 43233242243++=∂∂+∂∂+∂∂=∇()222222243223246322126y x z x z y xy y x z y x z xy u ++=++=∇⋅∇1-19 已知液体的流速场V e e e =++3523x xy xyz x y z ，问点M （1.0，2.0，3.0）是否为源点？ 解 2356x y z x x ++=⋅∇v ，由于065≠=∇M v ，所以M 是源点。