矢量分析与场论第一章 矢理分析1.1 矢性函数1． 矢性函数的定义：数性变量t 在一范围G 内，对于任意的t 都有唯一确定的矢量A 与其对应则称A 是t 的矢性函数，并称G 为A 的定义域，记作：()A A t = 2． 矢性函数的极限和连续性（1） 矢性函数极限的定义：()A t 在0t 某领域内有定义，对于0ε∀>，0δ∃>，常矢量0A ，只要为0<0t t δ-<就有0()A t A ε-<，则称0A 为()A t 当0t t →的极限，记作：00lim ()t t A t A →= ；极限的性质：（有界性）若00lim ()t t A t A →=,则0δ∃>，M>0，0(;)t U t δ∀∈都有()A t M <。

证明：0lim ()1,0,..(;)t t A t A s t t U t εδδ→=∴=∃>∀∈都有0()1A t A ε-<=，00()()1A t A A t A ∴-<-<， 0()1A t A ∴<+，取M=01A +极限的则运算：0lim ()()lim ()lim ()t t t t t t u t A t u t A t →→→=⋅lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→±=±lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→⋅=⋅lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→⨯=⨯其中()u t ，()A t ，()B t 当0t t →时极限均存在。

证明：设00lim ()t t A t A →=，00lim ()t t u t u →=，00lim ()t t B t B →=；000000()()()()()()u t A t u A u t A t u A t u A t u A -=-+-，00000000000()()()()()()()()()()()u t A t u A t u A t u A u t A t u A t u A t u A u t u A t u A t A -+-≤-+-=-⋅+⋅- 00000()()()()()u t A t u A u t u A t u A t A ∴-≤-⋅+⋅-而11010,0,..(;)M s t t U t δδ∃>>∀∈有1()A t M <；对于任意给定的ε>o ，101010,..(;),()2s t t U t u t u M εδδ''∃>∀∈-<; 同理2020,,..(;)s t t U t δδ∃>∀∈有00()2A t A u ε-<所以取{}112min ,,δδδδ'=，则有0(;)t U t δ∀∈，00()()u tA t u A -<10122M u M u εε⋅+⋅= ε其他证明方法类似，可参看数学分析中相关证明。

极限（0lim ()t t A t →）存在的充要条件：()A t 的三个分量()x A t ，()y A t ，()z A t 当0t t →时极限均存在。

且0ˆˆˆlim ()(lim ())(lim ())(lim ())x y z t t t t t t t t A t A t iA t j A t k →→→→=++ 证明：充分性由极限运算第一条可知：0ˆˆˆlim(()),lim(()),lim(())x y z t t t t t t A t iA t j A t k →→→均存在，所以 0ˆˆˆlim(()()())x y z t t A t i A t j A t k→++也存在且0ˆˆˆˆˆˆlim(()()())lim ()lim ()lim ()x y z x y zt t t t t t t t A t i A t j A t k i A t j A t k A t →→→→++=++即ˆˆˆlim ()(lim ())(lim ())(lim ())x y z t t t t t t t t A t A t i A t j A t k→→→→=++必要性：不妨设00lim ()t t A t A →=，则对于0,0,εδ∀>∃>只要0(;)t U t δ∈就有0()A t A ε-< ;而00,0,0,ˆˆˆˆˆˆ()()()()()x y z x y z A t A A t i A t j A t k A i A j A k -=++-++所以0,0,0,ˆˆˆ(())(())(())x x y y z z A t A i A t A j A t A kε-+-+-<；考虑：0,0,0,0,0,ˆˆˆ(())(())(())ˆ(())()x x y y z z x x x x A t A i A t A j A t A k A t A iA t A -+-+-≥-=-所以：0,()x x A t A ε-<，所以00,lim ()x x t t A t A →=; 其他分量极限存在的证明类似。

综上所述：lim ()t t A t →存在，则0lim (),lim (),lim ()x y z t t t t t t A t A t A t →→→均存在，且00,lim ()x x t t A t A →=0,lim ()y y t t A t A →= ，00,lim ()z z t t A t A →=；自然0ˆˆˆlim ()(lim ())(lim ())(lim ())x y z t t t t t t t t A t A t i A t j A t k→→→→=++由此求矢性函数的极限可转化为求其三分量的极限。

（2） 矢性函数连续性的定义：若()A t 在0(;)U t δ内有定义，且00lim ()()t t A t A t →=则称()A t 在0t 处连续；如果()A t 在t 的I 区间上都连续则称()A t 在I 上连续。

连续（()A t 在0t 处）的充要条件：()A t 的三个分量()x A t ，()y A t ，()z A t 在0t 处均连续。

充分性：0lim ()()x x t t A t A t →=，00lim ()()y y t t A t A t →=，00lim ()()z z t t A t A t →=。

000ˆˆˆlim ()()()()()x y z t t A t A t i A t j A t k A t →∴=++=必要性：若0lim ()t t A t →=0()A t ，显然00lim ()()x x t t A t A t →= ，00lim ()()y y t t A t A t →= ，0lim ()()z z t t A t A t →=；1.2 矢性函数的导数与微分1. 矢性的导数定义：()A t 在0(;)U t δ内有定义，若0000()()()limlimt t t A t t A t A t t t t→∆→+∆-∆=-∆存在则称此极限为()A t 在0t 处的导数。

记为：()dA t dt 或()A t '；即()dA t dt=0()lim t A t t ∆→∆∆导数存在的充要条件：()A t 的三个分量()x A t ，()y A t ，()z A t 的导数均存在。

且()dA t dt=()()()ˆˆˆy x z dA t dA t dA t i j k dt dt dt ++充分性：因为00()()()()ˆˆˆlimlim()y x z t t A t A t A t A t i j k t t t t ∆→∆→∆∆∆∆=++∆∆∆∆，而0()lim x t A t t∆→∆∆ ，()limy t A t t∆→∆∆，0()limz t A t t ∆→∆∆均存在。

所以：0()limt A t t∆→∆∆=0()ˆ(lim )x t A t i t ∆→∆∆+0()ˆ(lim )y t A t j t ∆→∆∆+0()ˆ(lim )z t A t k t ∆→∆∆=()()()ˆˆˆy x z dA t dA t dA t i j k dt dt dt++ 必要性：因为00()()()()ˆˆˆlimlim()y x z t t A t A t A t A t i j k t t t t ∆→∆→∆∆∆∆=++∆∆∆∆存在所以0()lim x t A t t∆→∆∆ ，()limy t A t t ∆→∆∆，0()limz t A t t ∆→∆∆也都存在。

且()dA t dt=()()()ˆˆˆy x z dA t dA t dA t i j k dt dt dt ++导矢的几何意义：由定义可知导矢表示的是位矢()A t 末端所画的曲线的切线。

2. 矢性函数的微分：()A t 在0(;)U t δ内有定义，如果00()()()A t t A t C t t +∆-=∆+∆，其中C 为常矢量则称()A t 在0t 处可微，C t ∆为()A t 在0t 处的微分记作dA |0t t ==Cdt可微与可导之间的关系：()A t 在0(;)U t δ内有定义，若()A t 在0t 处可微则它在0t 必可导；反之若()A t 在0t 处可导则()A t 在0t 处可微。

且dA |0t t ==0()A t dt '。

证明：若()A t 在0t 处可微，由定义可知：00()()()A t t A t C t t +∆-=∆+∆； 所以00()lim limt t t t C t t A C t→→∆+∆∆==∆，即若()A t 在0t 处可导并有：0()A t '=C 。

若()A t 在0t 处可导则: 0limt t A t →∆∆=0()A t ',所以00lim(())0t t AA t t→∆'-=∆，从而0()(1)AA t t∆'-=∆，即0()()A A t t t '∆=∆+∆所以()A t 在0t 处可微。

且dA |0t t ==0()A t dt '由导数存在的充要条件及可微与可导之间的关系，可以得到：()A t 在0t 处可微当且仅当它的三分量在0t 处可微。

（可微的充要条件）微分的意义：由微分的定义可知，当0t ∆→时，dA =A ∆。