2 2
1 2 dp du +gdz+ dq+ 2 ρ
1 2 dp ＝0 du +gdz+ 2 ρ
∫ρ
1
dp
=0
∫ρ
1
dp
=
1 (p 2 − p1 ) ρ
则
1 1 2 1 w+wf+ ( u 2 u 1 )+g(z2-z1)+ (p 2 − p1 ) =0 2 − 2 2 ρ 流动过程中不作功和无摩擦功时： p p2 1 2 1 =常数 u 1 +gz1+ 1 ＝ u 2 2 ＋gz2+ 2 ρ 2 ρ （2）等压过程 p＝常数 dp=0
§8-1 气体动力学诸方程
一、连续性方程 取图示微元控制体，由质量守恒定律， ρAu=const 对上式微分得
(ρAu )′ = 0
即 dρ dA du + + =0 ρ A u 或对上式求导得 d (ρAu ) = 0 dx 1 dρ 1 dA 1 du + + =0 ρ dx A dx u dx
二、
声速
1、 定义 声速是微弱扰动在介质中的传播速度。 2、说明 （1） 牛顿(Newton)在 1687 年曾认为音速的传播过程是一个等温过程。初看 起来，这个看法似乎是合理的，但是由此得出的结果确与事实不符，这是因为假定等温就相当于假 定空气热传导的能力非常大，而实际空气热传导的能力很小，在小扰动的传播过程中 ，流体的状态 变化很快，流体微团不可能凭借与周围介质的热交换来维持自己的温度不变，所以，等温过程这种 假设是不合理的，也就无法得到合理的结果。 （2） 后来，拉普拉斯(Laplace)在 1816 年提出声 音的传播是一个等熵过程， 3、计算公式 假 设： 为了简便， 假设小扰动波阵面在压强为 p0, 密 度为ρ0，的静止气体中以速度 a 自左向右传播。 小扰动波阵面后的流体有速度 du, 压强 p0+dp，密 度ρ0+dρ，式中 du，dp，dρ是小量。 坐标：建立固定在波阵面上的运动坐标，坐标随波
⎤ − 1⎥ =0 ⎥ ⎥ ⎦
K ⎛ p 2 p1 ⎞ 1 1 2 w+wf+ ( u 2 u 1 )+g(z2-z1)+ ⋅⎜ − ⎟ 2 − ⎟ =0 2 2 K −1 ⎜ ⎝ ρ 2 ρ1 ⎠ 绝热、无摩擦功，并不计位能时，则方程为
k p u2 + = const k −1 ρ 2
上式即为气体一维等熵流动的能量方程。
[
]
⎡⎛ ρ 2 ⎢⎜ ⎜ρ ⎢ ⎣⎝ 1
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
K −1
⎤ − 1⎥ ⎥ ⎦
1
ρ2 ⎛ p2 =⎜ ρ1 ⎜ ⎝ p1
⎞K ⎟ ⎟ ⎠ ⎡ p2 ⎢⎛ ⎜ ⎢⎜ p ⎢⎝ 1 ⎣ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
K −1 K
1 1 2 K p1 w+wf+ ( u 2 u 1 )+g(z2-z1)+ ⋅ 2 − 2 2 K − 1 ρ1
ρaAdt [(a − du ) − a ] = [ pA − ( p + dp )]Adt
联立以上两式可得
dp a2 = dρ 1 + dρ / ρ
对于微弱扰动，dρ/ρ<<1,于是
a = dp / dρ
从声速的定义看，声速是标志着流体压缩性的一个重要标志。如前所述，声速小，表示使密度 改变 dρ所需的压强 dp 小，这就表示流体易压缩。 （3）对于理想气体，熵是 p S = cv ln k ρ p 等熵过程中， k = const , 取对数，再微分后有 ρ dp dρ −k =0 p ρ 将理想气体状态方程代入后可得 dp p = k = kRT dρ ρ 于是，声速公式可以写成
态，膨胀过程逐层进行下去，产生了以一定速度向右方传播的膨胀波，膨胀波所到之处气体质点 都向左移动一下，同时由于活塞在加速后维持等速运动，使膨胀后的气体维持不变的速度，图示 给出了膨胀波压力变化。 3、结论 1)小扰动通过波动形式在可压缩流体中传播。 2)小扰动传播的依赖于流体的性质。愈易压缩的流体传播速度愈小反之愈大。 3)压缩波传播方向和流体质点运动的方向相同，膨胀波传播方向则和流体质点运动方向相反
四、动量方程
解决流体与固体壁之间作用力，相同于液体的动量方程。 ρ Q( v 2 x − v1x ) = ∑ Fx ⎫ ⎪ ⎪ ρ Q( v 2 y − v1y ) = ∑ Fy ⎬ ⎪ ρ Q( v 2 z − v1z ) = ∑ Fz ⎭ ⎪ 或 q m ( v 2 x − v1x ) = ∑ Fx ⎫ ⎪ ⎪ q m ( v 2 y − v1y ) = ∑ Fy ⎬ ⎪ q m ( v 2 z − v1z ) = ∑ Fz ⎭ ⎪
2
dm(e2-e1)=cVdm(T2-T1) dmg(z2-z1) 1 1 2 dm( u 2 u1 ) 2 − 2 2
p = ρRT
R = cp − cv
i = cpT
⎛ p1 p 2 ⎞ ⎜ ⎜ρ − ρ ⎟ ⎟ = R (T2 − T1 ) = (c p − c v ) ⋅ (T2 − T1 ) ⎝ 1 2 ⎠ 代入能量方程，简化为 1 1 2 q=w+wf+ ( u 2 u 1 )+g(z2-z1)+ (i2-i1) 2 − 2 2 微分形式 dq=dw+dwf+ ⑩ 加入热量 q = q（外界加入）＋ q（摩擦生热） a f 而 qf=wf 能量方程可转化为： 1 1 2 qa = w + ( u 2 u 1 )+g(z2-z1)+ (i2-i1) 2 − 2 2 或 dqa = dw+ 1 2 du +gdz+di 2 1 2 du +gdz+di 2
上式即为一般情况下热形式的能量方程。 下面讨论常用几种形式的能量方程式： （1）对于气体，不考虑位能 1 1 2 qa = w + ( u 2 u 1 ) + (i2-i1) 2 − 2 2 （2）外界对气体没有加入热量，且对外界也没有散发出热量（绝热过程） 1 1 2 w + ( u2 u 1 ) + (i2-i1)＝0 2 − 2 2 （3）气流没有作机械功，并且绝热 1 1 2 ( u2 u 1 ) + (i2-i1)＝0 2 − 2 2 表明：在（绝热、无机械功）绝能条件下，在流动过程中气流的动能和焓之和为常数。 （4）气流不作机械功，不计位能时，w=0 z2-z1=0 1 1 2 qa = ( u 2 u 1 ) + (i2-i1) 2 − 2 2 （5）如果忽略速度变化、无热交换，能量方式可简化为 w + (i2-i1)＝0 即 ∆T＝－ 此式用来计算涡能工作时温度升高的数值。
5
§8-2 声速和马赫数
一、小扰动在可压缩一维管流中的ห้องสมุดไป่ตู้播
10 活塞未推动前，管内气体处于静止均匀状态如图 所示，压力，密度，温度分别为 p0，ρo，T0。 20 向右推动活塞，使活塞的速度从零迅速地加速到 一定数值，之后便维持等速运动。 30 等速运动阶段。 1、压缩波 当活塞从 t=0 时刻的原点开始经 t0 时刻推动到 x0 处 时 ， 活塞后[x0, x1]处的气体首先受到压缩，密度压力稍有提高。此 外，由于密度增加，体积变小，流体质点被活塞推动向右运 动，这样就产生了向右运动的扰动速度 u’。上图表示了密度 大小，下图表示压力波的形状，当活塞附近[x0,x1]区域的气体 被压缩提高压力后，造成它和紧邻气体的压力差，于是紧邻 气体接着被压缩，压力和密度都增高，且产生纵向速度 u’。 与此同时活塞继续以等速向前运动，高压区内气体的压力、 密度、温度和速度维持原值 p1, ρ１, Τ1 及 u’不变， 压缩 过程逐层地进行下去，扰动 便从活塞附近的气体以相当大的速度迅速地传播到右方去， 而流体 质点只是在扰动传到它那里时稍稍地向右动了一下，速度很小。图 (c)和(d)分别表示下一时刻密度分布和压力分布图。
7
阵面以声速 a 向左流动。 依据：并取控制体，运用质量守恒和动量方程。 推导： （1）根据连续性方程在 dt 时间内流入和流出包围波面控制面的气体质量应该相等，即
ρaAdt = ( ρ + dρ )(a − du ) Adt
（2）沿着流动方向的动量变化应等于作用在该部分气体上所有外力在该方向上的投影之和
三、能量方程
1、热焓形式的能量方程 如图，在流束中划出一段 1－2 微元体经过 dt 时 间 后 ， 运动至 1’－2’，研究此时段内微元体能量变化关系。 说明：1’－2 为共同所有，所以，在 1－2 移至 1’－2’之 间能量变化，可以认为在 2－2’和 1－1’中气体所具有的各种 能量的变化。 ① 设 dt 时间内，对 1－2 微段的气流加入热量 dQ。 ② 压力功 ⎛ p1 p 2 p1 A 1u 1dt − p 2 A 2 u 2 dt = ⎜ ⎜ρ − ρ ⎝ 1 2 ⎞ ⎟ ⎟dm ⎠
1 1 2 w+wf+ ( u 2 u 1 )+g(z2-z1)=0 2 − 2 2 当气流不作功、无摩擦及无位能变化时，u1=u2=u，因此，在这种条件下，流动过程保持等速。 p （3）等温过程 =c ρ
2 dp p dp p ⎛ p 2 ⎞ = = ln⎜ ⎟ ∫ ⎟ ρ ρ∫ p ρ ⎜ ⎝ p1 ⎠ 1 1 2
3
W cp
2、机械功形式下的能量方程式 dq=dw+dwf+ 由 焓＝内能＋压能 即 i=e+p.v dp ρ 1 2 du +gdz+di 2
di=de+d(pv)=de+pdv+vdp=(de+pdv)+vdp=dq+vdp=dq+ dq=dw+dwf+ 即 dw+dwf+ 或 1 1 2 w+wf+ ( u 2 u 1 )+g(z2-z1)+ 2 − 2 2 下面进行讨论： （1）定容过程 v=c ρ =c