高考理科数学压轴题(21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点的距离的最大值为 3,最小值为 1.(I) 求椭圆 C 的标准方程 ;(II) 若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆 过椭圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 .(22)(本小题满分 14分)设函数 f(x) x 2 bln(x 1),其中 b 0.1(I) 当 b时 ,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性 ;2(II)求函数 f (x)的极值点 ;1 1 1(III) 证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( 1) 2 3 都成立 .n n n22xy (21)解： (I) 由题意设椭圆的标准方程为 2 2 1(a b 0)ab2a c 3,a c 1，a 2,c 1,b 2 3 22x 2y 2 1.43Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD1，ykx m(II)设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)， 由 2x2 y得1432 2 2(3 4k 2 )x 2 8mkx 4(m 23)2 2 2 64m 2 k 2 16(3 4k 2)( 2 m 3) 0， 22 3 4k 2 m 2 0 8mk2 ,x 1 x 22 4(m 2 3)3 4k 2y 1 y 22(kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2)m 23(m 2 4k 2) 3 4k 2y 1 y 2 x 1 2 x 21， y 1y 2 x 1x 2 2(x 1 x 2) 4 0，3 4k 2 7m 216mk m 1 2k,m 2 当m 2k 时，当m 2k时7综上可知，直线 (22)解： (I) 函数 f f '(x) 2x 223(m 24k 2) 4(m 2 3) 16mk 43 4k 2 3 4k 2 44k 2 0 ，解得2k，且满足 3 4k 20，0.l : y k(x 2) ，直线过定点l : y k(x 2) ，直线过定点2 l 过定点，定点坐标为 ( ,0). (x) 2 x 2 bln(x 1)的定义域为 (2,0), 与已知矛盾；2(7,0).1,令 g(x) g(x)minb x1 2x 2 2x g( 112) 1 当 b 1 时，2 g(x)min g(x) 2x 22x b f (x) 0, 2x 22x b ， x1 b ， 则 g(x) 在b . 12 b0 在 1, 0，上恒成立 .1 即当 b 时,函数 f (x) 在定义域2 分以下几种情形讨论： 1 I )知当 b 时函数 f (x) 无极值点 . 2II )1) 上递增，在1, 上单调递增。

2)1b 时， f '(x) 22(x 12)2x1 1, 21时， f '(x)0,11, 上递减，21,2,时，f '(x) 0,12时，函数f(x) 在1, 上无极值点。

3) 当b 12时，解f (x) 0 得两个不同解x11 1 2b2 x21 1 2b2当b 0时，x11 1 2b2 1 ，x21 2b1 ，2 1 ，x1 1, ,x2 1,此时 f (x) 在1, 上有唯一的极小值点x21 1 2b2当0 b 12时，x1,x22 1 21,f ' (x) 在1,x1, x2, 都大于0 ，f '(x)在(x1,x2)上小于0 ，此时f (x) 有一个极大值点x1 1 1 2b 和一个极小值点x2 1 2b2综上可知，b0时，f (x) 在1, 上有唯一的极小值点x21 1 2b；；0 b 1时，2 f (x) 有一个极大值点x11 1 2b和一个极小值点2 x21 1 2b；2；b 1时，函数2 f (x) 在1, 上无极值点。

III )当b 1时，f(x) 2x2 ln(x 1). 令h(x) x3 f(x) x3 x2ln(x 1),则h(x)323x3 (x 1)2在0, x1 上恒正，h(x) 在0, 上单调递增，0, 时，恒有h(x) h(0) 0. 即当x 0, 时，有x3 x2 ln(x 1) 0, ln(x 1) x2 3 x，11对任意正整数n，取x 得ln( 1)nn 123 nn21 ）（本小题满分12 分）1已知函数f（x）n aln（x 1）,其中n∈N*, a为常数. （1 x）n （Ⅰ）当n=2 时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a=1 时，证明：对任意的正整数n, 当x≥2 时，有f （x）≤x-1.（22）（本小题满分14 分）如图，设抛物线方程为x2=2py（p>0）,M 为直线y= -2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A， B. （Ⅰ）求证：A，M，B 三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M 点的坐标为（2，-2p）时，AB 4 10 ，求此时抛物线的方程；（Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在uuur uuur uuur 抛物线x2 2py （ p>0）上，其中，点C满足OC OA OB （O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由21）Ⅰ）解：由已知得函数f（x）的定义域为{x|x>1} ，当n=2 时，f (x) 1 2 aln(x 1),(1 x)a(x x1)(x x2 ) 此时f (x) a(x(1x1)x()x3 x2).1，x1）时，f （x） 0, f （x）单调递减；当x∈( x1+∞)时，f (x) 0, f (x) 单调递增.所以 f (x)2 a(1 x)2(1 x)31）当a>0 时，由f （x） 0 得2)当 a ≤0 时， f (x) 0 恒成立，所以 f(x) 无极值 .综上所述， n=2 时，当a ≤0时，f(x)无极值 .当 n 为偶数时，所以 f(x)≤x-1 成立 . 当 n 为奇数时，1要证 f(x) ≤x-1,由于 n < 0，所以只需证 ln( x-1) ≤ x-1,(1 x)n令 h(x)=x-1-ln( x-1),1 x 2则 h (x) 1≥0(x ≥2) ,x 1 x 1所以 当 x ∈[2，+∞]时， h(x) x 1 ln(x 1)单调递增，又 h(2)=1>0， 所以当 x ≥ 2时，恒有 h(x) >0,即 ln ( x-1)< x-1 命题成立 . 综上所述，结论成立 .1：当 a=1时， f (x) n ln(x 1).(1 x)1 当 x ≥2，时，对任意的正整数 n ，恒有n ≤ 1， (1 x) 故只需证明 1+ln( x-1) ≤ x-1.令 h(x) x 1 (1 ln(x 1)) x 2 ln(x 1),x 2,当 a >0时，f(x)在 x 12处取得极小值，极小值为f (1a 2) a 2(1 ln 2a ).Ⅱ)证法一：因为 a=1,所以f (x)1 (1 x)nln(x 1).令 g(x) x1 (1 x)n ln(x 1),则 g (x) n n1(x 1)1 x1x2 x1n n1(x 1)0,(x 2) .所以当x ∈ 又[2,+∞]时， g(x)单调递增，因此 g(x) x 11 (x 1)nln(x 1) ≥g(2)=0 恒成立，证法0,h (x) ≥ 0，故 h(x)在 2, 上单调递增， 因此 当 x ≥ 2时， h(x)≥h(2)=0 ，即 1+ln( x-1) ≤x-1成立 .B 三点的横坐标成等差数列 x 0=2 时， 将其代入①、②并整理得：22则 h(x) 1当 x ≥ 2 时， 故 当 x ≥ 2 时， 有(11x)nln(x 1) ≤ x-1.即 f (x )≤ x-1.(22)2 x 1Ⅰ)证明：由题意设 A(x 1, 1 ), B( x 2 , 1 2p 22x 22 ),x 1<x 2,M (x 0, 2p).2p 1 2 02由 x 2py 得 yx 2 ，2p ，所以 k MA 1px 2因此直线 MA 的方程为2px1(xpx 0),直线 MB 的方程为2pxp 2(xx 0).2 所以 x 12p2px1(x 1 px 0),2x 22p2px2(x 2px 0).由①、②得2x 1 x 22x 1 x 2x 0,因此x 0x 1x 22，即 2x 02x 1x 2.所以 A 、 M 、Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，当x1 4x1 4p22x22 4x2 4p2 0,0,2p 2x 04px 0由弦长公式得又 AB 4 10 ， 所以 p=1 或 p=2 ，22因此所求抛物线方程为 x 2 2y 或 x 2 4y.Ⅲ)解：设 D(x 3,y 3)，由题意得 C(x 1+ x 2, y 1+ y 2), 则CD 的中点坐标为 Q(x 1 x 22 x 3,y 1y 22 y 3),设直线 AB 的方程为 y y 1 x 0 (x x 1), p代入得 y 3 x 0 x 3.p2若 D （x 3,y 3 ）在抛物线上，则 x 32 2py 3 2x 0x 3, 因此 x 3=0 或 x 3=2x 0.2x 02即 D(0，0)或 D(2x 0 , 0 ).p1)当 x 0=0 时，则 x 1 x 2 2x 00 ，此时，点 M （0,-2p ）适合题意 .2222 x 1 x 22)当 x 0 0，对于 D(0，0)，此时 C(2x 0, 12),k CD0 02pCD所以 x 1、 x 2是方程 因此 x 1 x 24,x 1x 222x 2x 1又kAB2p 2px 2 x 12p所以 k AB4x 4p 2 x 00的两根，AB 1 k 2 (x 1 x 2)2 4x 1x 2由点 Q 在直线 AB 上，并注意到点x 1 x 22y1 y 2）也在直线 AB 上，22 1 x2x 1x 2 4p 2,2x 2p又 k AB,AB ⊥ CD ，p即 x 12 x 224p 2, 矛盾 .22x1 x 2）, 此时直线 CD 平行于 y 轴，2p又 k AB0,p所以 直线 AB 与直线 CD 不垂直，与题设矛盾， 所以x 0 0 时，不存在符合题意的M 点. 综上所述，仅存在一点 M （0， -2p ）适合题意 .（21 ）（本小题满分 12 分）两县城 A 和 B 相距 20km ，现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 上选择一点 C 建造 垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城 A 和城 B 的总影响 度为城 A 与城 B 的影响度之和，记 C 点到城 A 的距离为 x km ，建在 C 处的垃圾处理厂对 城A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城 A的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成 反比，比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 的中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065.（I ）将 y 表示成 x 的函数；（Ⅱ）讨论（ I ）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 A 的距离 ;若不存在，说明理由。