7.导数压轴选择题精编（1）一．选择题（共30小题）1．（2014•郑州模拟）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．B． C． D．2．（2008•辽宁）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（）A．B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[，1]3．（2014•武侯区校级模拟）已知函数的两个极值分别为f（x1），f（x2），若x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内，则的取值范围是（）A．B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．D．4．（2015•上饶一模）函数的大致图象为（）A． B． C．D．5．（2012•芜湖二模）已知函数f（x）=4﹣x2，g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，g （x）=log2x，则函数y=f（x）•g（x）的大致图象为（）A．B．C．D．6．（2012•安庆二模）函数f（x）的图象如图所示，已知函数F（x）满足F′（x）=f（x），则F（x）的函数图象可能是（）A．B．C．D．7．（2012•喀什市校级模拟）已知函数y=f（x）的导函数的图象如图甲所示，则y=f（x）的图象可能是（）A．B． C．D．8．（2011•广东模拟）如图，正方形ABCD的顶点，，顶点C，D位于第一象限，直线t：x=t（0≤t≤）将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f（t），则函数s=f（t）的图象大致是（）A．B．C．D．9．（2010•九江二模）已知函数y=f（x）的定义域是R，若对于任意的正数a，函数g（x）=f（x）﹣f（x﹣a）都是其定义域上的增函数，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．10．（2009•安徽）设a＜b，函数y=（x﹣a）2（x﹣b）的图象可能是（）A．B．C．D．11．（2012•浙江模拟）下列四个函数图象，只有一个是符合y=|k1x+b1|+|k2x+b2|﹣|k3x+b3|（其中k1，k2，k3为正实数，b1，b2，b3为非零实数）的图象，则根据你所判断的图象，k1，k2，k3之间一定成立的关系是（）A．k1+k2=k3B．k1=k2=k3C．k1+k2＞k3 D．k1+k2＜k312．（2014•合肥校级模拟）函数的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．13．（2011•湖南）曲线在点M（，0）处的切线的斜率为（）A．B． C． D．14．（2012•辽宁）已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，﹣2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为（）A．1 B．3 C．﹣4 D．﹣815．（2014•蚌埠二模）已知f（x）为R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（）A．e2013f（﹣2013）＜f（0），f（2013）＜e2013f（0）B．e2013f（﹣2013）＜f（0），f（2013）＞e2013f（0）C．e2013f（﹣2013）＞f（0），f（2013）＜e2013f（0）D．e2013f（﹣2013）＞f（0），f（2013）＞e2013f（0）16．（2014•通州区二模）直线x=t（t＞0）与函数f（x）=x2+1，g（x）=lnx的图象分别交于A、B两点，当|AB|最小时，t值是（）A．1 B．C． D．17．（2012•辽宁）设函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=f （x），f（x）=f（2﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x3．又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）﹣f（x）在上的零点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．818．（2012•湖北）函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．719．（2012•市中区校级模拟）已知函数f（x）=+cx （a＞0），记g（x）为f（x）的导函数，若f（x）在R上存在反函数，且b＞0，则的最小值为（）A．4 B． C．2 D．20．（2012•莱城区校级模拟）已知函数f（x）=x3+ax2+2bx+c（a，b，c∈R），且函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则z=（a+3）2+b2的取值范围（）A．（，2）B．（，4）C．（1，2）D．（1，4）21．（2011•沈阳校级模拟）若函数f（x）=x3﹣12x在区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．k≤﹣3或﹣1≤k≤1或k≥3B．﹣3＜k＜﹣1或1＜k＜3C．﹣2＜k＜2 D．不存在这样的实数k 22．（2009•江西）若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和都相切，则a等于（）A．﹣1或 B．﹣1或C．或D．或7 23．（2005•东城区一模）设f（x），g（x）是定义在R上的恒大于零的可导函数，且满足f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，则当a＜x＜b时有（）A．f（x）g（x）＞f（b）g（b）B．f（x）g（a）＞f（a）g（x）C．f（x）g（b）＞f（b）g（x）D．f（x）g（x）＞f（a）g（a）24．（2002•北京）如图所示，f1（x），f2（x），f3（x），f4（x）是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的x1和x2，恒成立”的只有（）A．f1（x），f3（x）B．f2（x） C．f2（x），f3（x）D．f4（x）25．（2012•辽宁）若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（）A．e x≤1+x+x2B．C．D．26．（2012•湖南模拟）已知f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1，x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]，则f（1）的取值范围是（）A．（﹣10，﹣] B．[﹣，﹣] C．[﹣10，﹣] D．[﹣，10]27．（2011•萧山区模拟）已知f（x）是定义在（e，+∞）的可导函数，且对于任意的x都有xf'（x）＞f（x）＞0，给出下列不等式：①f（a）＞f（e）；②f（a）＜f（e）；③f （a）＞lna•f（e）；④f（a）＜lna•f（e）其中一定成立的是（）A．①③ B．①④C．②③D．②④28．（2013•江西）如图．已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f （t）的图象大致为（）A．B．C．D．29．（2010•江西）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S（t）（S（0）=0），则导函数y=S′（t）的图象大致为（）A．B．C．D．30．（2009•安徽）设函数f（x）=x3+x2+tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′（1）的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[，] C．[，2] D．[，2]7.导数压轴选择题精编（1）参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2014•郑州模拟）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．B． C． D．【考点】导数的几何意义．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】（1）首先利用导数的几何意义，求出曲线在P（x0，y0）处的切线斜率，进而得到切线方程；（2）利用切线方程与坐标轴直线方程求出交点坐标（3）利用面积公式求出面积．【解答】解：若y=x3+x，则y′|x=1=2，即曲线在点处的切线方程是，它与坐标轴的交点是（，0），（0，﹣），围成的三角形面积为，故选A．【点评】函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率，过点P的切线方程为：y﹣y0=f′（x0）（x﹣x0）2．（2008•辽宁）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（）A．B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[，1]【考点】导数的几何意义．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】根据题意知，倾斜角的取值范围，可以得到曲线C 在点P处斜率的取值范围，进而得到点P横坐标的取值范围．【解答】解：设点P的横坐标为x0，∵y=x2+2x+3，∴y′=2x 0+2，利用导数的几何意义得2x0+2=tanα（α为点P处切线的倾斜角），又∵，∴0≤2x0+2≤1，∴．故选：A．【点评】本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题．3．（2014•武侯区校级模拟）已知函数的两个极值分别为f（x1），f（x2），若x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内，则的取值范围是（）A．B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．D．【考点】函数在某点取得极值的条件．菁优网版权所有【专题】压轴题；数形结合．【分析】先根据导函数的两个根的分布建立a、b的约束条件，而可看作点P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，由此问题转化为线性规划求范围问题，然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可．【解答】解：∵函数∴f′（x）=x2+ax+2b=0的两个根为x1，x2，∵x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内∴⇒画出区域如图，而可看作点P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，如图绿色线即为符合条件的直线的边界，M，N两个点为边界处的点，当连线过M（﹣3，1）时，，当连线过N（﹣1，0）时，，由图知∈．故选C．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用线性规划的知识解题，属于基础题．4．（2015•上饶一模）函数的大致图象为（）A． B． C．D．【考点】函数的图象；指数函数的图像与性质．菁优网版权所有【专题】压轴题；数形结合．【分析】观察题设中的函数表达式，应该以1为界来分段讨论去掉绝对值号，化简之后再分段研究其图象．【解答】解：由题设条件，当x≥1时，f（x）=﹣（x ﹣）=当x＜1时，f（x）=﹣（﹣x）=﹣（﹣x）=x故f（x）=，故其图象应该为综上，应该选D【点评】本题考查绝对值函数图象的画法，一般要先去掉绝对值号转化成分段函数再分段做出图象．5．（2012•芜湖二模）已知函数f（x）=4﹣x2，g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，g （x）=log2x，则函数y=f（x）•g（x）的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象；函数奇偶性的性质．菁优网版权所有【专题】压轴题；数形结合．【分析】由已知中函数f（x）=4﹣x2，当x＞0时，g（x）=log2x，我们易判断出函数在区间（0，+∞）上的形状，再根据函数奇偶性的性质，我们根据“奇×偶=奇”，可以判断出函数y=f（x）•g（x）的奇偶性，进而根据奇函数图象的特点得到答案．【解答】解：∵函数f（x）=4﹣x2，是定义在R上偶函数g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，故函数y=f（x）•g（x）为奇函数，共图象关于原点对称，故A，C不正确又∵函数f（x）=4﹣x2，当x＞0时，g（x）=log2x，故当0＜x＜1时，y=f（x）•g（x）＜0；当1＜x＜2时，y=f（x）•g（x）＞0；当x＞2时，y=f（x）•g（x）＜0；故D不正确故选B【点评】本题考查的知识点是函数的图象和函数奇偶性质的性质，在判断函数的图象时，分析函数的单调性，奇偶性，特殊点是最常用的方法．6．（2012•安庆二模）函数f（x）的图象如图所示，已知函数F（x）满足F′（x）=f（x），则F（x）的函数图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的单调性与导数的关系．菁优网版权所有【专题】压轴题；导数的概念及应用．【分析】先根据导函数f'（x）的图象得到f'（x）的取值范围，从而得到原函数的斜率的取值范围，从而得到正确选项．【解答】解：由图可得﹣1＜f'（x）＜1，即F（x）图象上每一点切线的斜率k∈（﹣1，1）且在R上切线的斜率的变化先慢后快又变慢，结合选项可知选项B符合故选B．【点评】本题主要考查了导数的几何意义，同时考查了识图能力，属于基础题．7．（2012•喀什市校级模拟）已知函数y=f（x）的导函数的图象如图甲所示，则y=f（x）的图象可能是（）A．B． C．D．【考点】函数的单调性与导数的关系；函数的图象．菁优网版权所有【专题】作图题；压轴题．【分析】先根据导函数的正负与原函数的单调性之间的关系结合导函数的图象判断出函数f（x）的单调性是先增后减，然后观察选项ABCD满足条件的只有D，得到答案．【解答】解：根据函数y=f（x）的导函数的图象可知导函数是先正后负∴原函数y=f（x）应该是先增后减的过程根据选项中的函数f（x）的单调性知选D故选D．【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的增减性的关系﹣﹣导函数小于0时原函数单调递减，导函数大于0时原函数单调递增．8．（2011•广东模拟）如图，正方形ABCD的顶点，，顶点C，D位于第一象限，直线t：x=t（0≤t≤）将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f（t），则函数s=f（t）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．菁优网版权所有【专题】压轴题；分类讨论．【分析】由f（t）表示位于直线l左侧阴影部分的面积，结合已知条件我们可以得到函数s=f（t）是一个分段函数，而且分为两段，分段点为t=，分析函数在两段上的数量关系，不难求出函数的解析式，根据解析式不难得到函数的图象．【解答】解：依题意得s=f（t）=，分段画出函数的图象可得图象如C所示故选C．【点评】画分段函数的图象，要分如下几个步骤：①分析已知条件，以确定函数所分的段数及分类标准②根据题目中的数量关系，分析函数各段的解析式③对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式④由解析式用描点法，分段画出函数的图象．9．（2010•九江二模）已知函数y=f（x）的定义域是R，若对于任意的正数a，函数g（x）=f（x）﹣f（x﹣a）都是其定义域上的增函数，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的单调性与导数的关系；指数函数的图像与性质．菁优网版权所有【专题】压轴题；数形结合．【分析】直接利用g（x）是增函数⇒导数大于0⇒f（x）的导数是增函数⇒f（x）是凹函数即可得到答案．【解答】解：由于g（x）是增函数，所以它的导数大于0，也就是说f（x）的导数是增函数，所以f（x）的二阶导大于0，所以f（x）是凹函数，故选A．【点评】本题主要考查导数的定义以及函数的单调性与导函数之间的关系．这是一道考查导数定义的好题．10．（2009•安徽）设a＜b，函数y=（x﹣a）2（x﹣b）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．菁优网版权所有【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据解析式判断y的取值范围，再结合四个选项中的图象位置即可得出正确答案．【解答】解：由题，=（x﹣a）2的值大于等于0，故当x＞b时，y＞0，x＜b时，y≤0．对照四个选项，C选项中的图符合故选C．【点评】本题考查了高次函数的图象问题，利用特殊情况x ＞b，x＜b时y的符号变化确定比较简单．11．（2012•浙江模拟）下列四个函数图象，只有一个是符合y=|k1x+b1|+|k2x+b2|﹣|k3x+b3|（其中k1，k2，k3为正实数，b1，b2，b3为非零实数）的图象，则根据你所判断的图象，k1，k2，k3之间一定成立的关系是（）A．k1+k2=k3B．k1=k2=k3C．k1+k2＞k3 D．k1+k2＜k3【考点】函数的图象；直线的斜率．菁优网版权所有【专题】压轴题；图表型．【分析】由于k1，k2，k3为正实数，考虑当x足够小时和当x足够大时的情形去掉绝对值符号，转化为关于x的一次函数，通过观察直线的斜率特征即可进行判断．【解答】解：当x足够小时y=﹣（k1+k2﹣k3）x﹣（b1+b2﹣b3）当x足够大时y=（k1+k2﹣k3）x+（b1+b2﹣b3）可见，折线的两端的斜率必定为相反数，此时只有③符合条件．此时k1+k2﹣k3=0．故选A．【点评】本小题主要考查函数图象的应用、直线的斜率等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想、极限思想．属于基础题．12．（2014•合肥校级模拟）函数的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数在某点取得极值的条件．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】求函数的极值，要使图象经过四个象限只要两极值符号不同【解答】解：f′（x）=ax2+ax﹣2a=a（x+2）（x﹣1）令f′（x）=a（x+2）（x﹣1）=0得x=﹣2或x=1x∈（﹣∞，﹣2）时f′（x）的符号与x∈（﹣2，1）时f′（x）的符号相反，x∈（﹣2，1）时f′（x）的符号与x∈（1，+∞）时f′（x）的符号相反∴f（﹣2）==和f（1）==为极值，∵图象经过四个象限∴f（﹣2）•f（1）＜0即（）（）＜0解得故答案为B【点评】本题考查导数求函数的极值，及函数的单调性及其图象13．（2011•湖南）曲线在点M（，0）处的切线的斜率为（）A．B． C． D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】先求出导函数，然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=处的导数，从而求出切线的斜率．【解答】解：∵∴y'==y'|x==|x==故选B．【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及导数的计算，同时考查了计算能力，属于基础题．14．（2012•辽宁）已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，﹣2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为（）A．1 B．3 C．﹣4 D．﹣8【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】首先可求出P（4，8），Q（﹣2，2），然后根据导数的几何意义求出切线方程AP，AQ的斜率K AP，K AQ，再根据点斜式写出切线方程，然后联立方程即可求出点A的纵坐标．【解答】解：∵P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，﹣2，∴P（4，8），Q（﹣2，2），∵x2=2y，∴y=，∴y′=x，∴切线方程AP，AQ的斜率K AP=4，K AQ=﹣2，∴切线方程AP为y﹣8=4（x﹣4），即y=4x﹣8，切线方程AQ的为y﹣2=﹣2（x+2），即y=﹣2x﹣2，令，∴，∴点A的纵坐标为﹣4．故选：C．【点评】本题主要考查了利用导数的几何意义求出切线方程，属常考题，较难．解题的关键是利用导数的几何意义求出切线方程AP，AQ的斜率K AP，K AQ．15．（2014•蚌埠二模）已知f（x）为R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（）A．e2013f（﹣2013）＜f（0），f（2013）＜e2013f（0）B．e2013f（﹣2013）＜f（0），f（2013）＞e2013f（0）C．e2013f（﹣2013）＞f（0），f（2013）＜e2013f（0）D．e2013f（﹣2013）＞f（0），f（2013）＞e2013f（0）【考点】导数的运算．菁优网版权所有【专题】压轴题；导数的概念及应用．【分析】根据题目给出的条件：“f（x）为R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f（x）＞f'（x）”，结合给出的四个选项，设想寻找一个辅助函数g（x）=，这样有以e为底数的幂出现，求出函数g（x）的导函数，由已知得该导函数大于0，得出函数g（x）为减函数，利用函数的单调性即可得到结论．【解答】解：令，则，因为f（x）＞f'（x），所以g′（x）＜0，所以函数g（x）为R上的减函数，所以g（﹣2013）＞g（0），即，所以e2013f（﹣2013）＞f（0），，所以f（2013）＜e2013f（0）．故选C．【点评】本题考查了导数的运算，由题目给出的条件结合选项去分析函数解析式，属逆向思维，属中档题．16．（2014•通州区二模）直线x=t（t＞0）与函数f（x）=x2+1，g（x）=lnx的图象分别交于A、B两点，当|AB|最小时，t值是（）A．1 B．C． D．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；两点间距离公式的应用．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx+1，求导数得y′=2x﹣=当0＜x＜时，y′＜0，函数在（0，）上为单调减函数，当x＞时，y′＞0，函数在（，+∞）上为单调增函数所以当x=时，所设函数的最小值为+ln2，所求t的值为．故选B．【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．17．（2012•辽宁）设函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=f （x），f（x）=f（2﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x3．又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）﹣f（x）在上的零点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】利用函数的奇偶性与函数的解析式，求出x∈[0，]，x∈[]时，g（x）的解析式，推出f（0）=g（0），f（1）=g（1），g（）=g（）=0，画出函数的草图，判断零点的个数即可．【解答】解：因为当x∈[0，1]时，f（x）=x3．所以当x∈[1，2]时2﹣x∈[0，1]，f（x）=f（2﹣x）=（2﹣x）3，当x∈[0，]时，g（x）=xcos（πx），g′（x）=cos（πx）﹣πxsin（πx）；当x∈[]时，g（x）=﹣xcosπx，g′（x）=πxsin（πx）﹣cos（πx）．注意到函数f（x）、g（x）都是偶函数，且f（0）=g（0），f（1）=g（1）=1，f（﹣）=f（）=，f（）=（2﹣）2=，g（﹣）=g（）=g（）=0，g（1）=1，g′（1）=1＞0，根据上述特征作出函数f（x）、g（x）的草图，函数h（x）除了0、1这两个零点之外，分别在区间[﹣，0]，[0，]，[，1]，[1，]上各有一个零点．共有6个零点，故选B【点评】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点，考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想，难度较大．18．（2012•湖北）函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】令函数值为0，构建方程，即可求出在区间[0，4]上的解，从而可得函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数【解答】解：令f（x）=0，可得x=0或cosx2=0∴x=0或x2=，k∈Z∵x∈[0，4]，则x2∈[0，16]，∴k可取的值有0，1，2，3，4，∴方程共有6个解∴函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为6个故选C【点评】本题考查三角函数的周期性以及零点的概念，属于基础题19．（2012•市中区校级模拟）已知函数f（x）=+cx （a＞0），记g（x）为f（x）的导函数，若f（x）在R上存在反函数，且b＞0，则的最小值为（）A．4 B． C．2 D．【考点】利用导数研究函数的单调性；反函数；导数的运算．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】求出原函数的导函数g（x）=ax2+bx+c，根据f（x）在R上存在反函数，又由a＞0，可知导函数大于等于0恒成立，由判别式小于等于0得到a，b，c的关系，即c≥，把求出后利用c≥去掉c，然后利用基本不等式求其最小值．【解答】解：由函数f（x）=+cx（a＞0），得g（x）=f′（x）=ax2+bx+c （a＞0），∵f（x）在R上存在反函数，∴g（x）≥0对于x∈（﹣∞，+∞）恒成立，又函数g（x）的对称轴方程为x=﹣，且对应的图象开口向上，∴，即b2≤4ac．∵a＞0，b＞0，∴c≥．由g（x）=ax2+bx+c，g′（x）=2ax+b．∴=．∴的最小值为4．故选：A．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、反函数及导数的运算，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．20．（2012•莱城区校级模拟）已知函数f（x）=x3+ax2+2bx+c（a，b，c∈R），且函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则z=（a+3）2+b2的取值范围（）A．（，2）B．（，4）C．（1，2）D．（1，4）【考点】函数在某点取得极值的条件．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．【解答】解：∵f（x）=∴f′（x）=x2+ax+2b∵函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值∴f′（x）=x2+ax+2b=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0即（a+3）2+b2表示点（a，b）到点（﹣3，0）的距离的平方，由图知（﹣3，0）到直线a+b+2=0的距离，平方为为最小值，由得（﹣3，1）（﹣3，0）与（﹣3，1）的距离为1，（﹣3，0）与（﹣1，0）的距离2，所以z=（a+3）2+b2的取值范围为（）故选项为B【点评】本题考查函数极值存在条件及线性规划求最值．21．（2011•沈阳校级模拟）若函数f（x）=x3﹣12x在区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．k≤﹣3或﹣1≤k≤1或k≥3B．﹣3＜k＜﹣1或1＜k＜3C．﹣2＜k＜2 D．不存在这样的实数k【考点】函数的单调性与导数的关系．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】由题意得，区间（k﹣1，k+1）内必须含有函数的导数的根2或﹣2，即k﹣1＜2＜k+1或k﹣1＜﹣2＜k+1，从而求出实数k的取值范围．【解答】解：由题意得，f′（x）=3x2﹣12 在区间（k﹣1，k+1）上至少有一个实数根，而f′（x）=3x2﹣12的根为±2，区间（k﹣1，k+1）的长度为2，故区间（k﹣1，k+1）内必须含有2或﹣2．∴k﹣1＜2＜k+1或k﹣1＜﹣2＜k+1，∴1＜k＜3 或﹣3＜k＜﹣1，故选B．【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系，函数在区间上不是单调函数，则函数的导数在区间上有实数根．22．（2009•江西）若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和都相切，则a等于（）A．﹣1或 B．﹣1或C．或D．或7 【考点】导数的几何意义．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】已知点（1，0）不在曲线y=x3上，容易求出过点（1，0）的直线与曲线y=x3相切的切点的坐标，进而求出切线所在的方程；再利用切线与y=ax2+x﹣9相切，只有一个公共点，两个方程联立，得到二元一次方程，利用判别式为0，解出a的值．【解答】解：由y=x3⇒y'=3x2，设曲线y=x3上任意一点（x0，x03）处的切线方程为y﹣x03=3x02（x﹣x0），（1，0）代入方程得x0=0或①当x0=0时，切线方程为y=0，此直线是y=x3的切线，故仅有一解，由△=0，解得a=﹣②当时，切线方程为，由，∴a=﹣1或a=．故选A【点评】熟练掌握导数的几何意义，本题是直线与曲线联立的题，若出现形如y=ax2+bx+c的式子，应讨论a是否为0．23．（2005•东城区一模）设f（x），g（x）是定义在R上的恒大于零的可导函数，且满足f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，则当a＜x＜b时有（）A．f（x）g（x）＞f（b）g（b）B．f（x）g（a）＞f（a）g（x）C．f（x）g（b）＞f（b）g（x）D．f（x）g（x）＞f（a）g（a）【考点】导数的乘法与除法法则．菁优网版权所有【专题】证明题；压轴题．【分析】根据f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0知故函数在R上为单调增函数，则当a＜x＜b，有在根据f（x），g（x）是定义在R上的恒大于零的可导函数即可得到f（x）g（a）＞f（a）g（x）【解答】解：∵f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0∴∴函数在R上为单调增函数∵a＜x＜b∴∵f（x），g（x）是定义在R上的恒大于零的可导函数∴f（x）g（a）＞f（a）g（x）故选B【点评】本题考查了导数的乘法与除法法则，简单的不等式知识，此题的关键在于构造函数，判断出函数的单调性，从而解决问题，属于基础题．24．（2002•北京）如图所示，f1（x），f2（x），f3（x），f4（x）是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的x1和x2，恒成立”的只有（）A．f1（x），f3（x）B．f2（x） C．f2（x），f3（x）D．f4（x）【考点】函数的图象．菁优网版权所有【专题】常规题型；作图题；压轴题．【分析】此题考查的是函数图象的应用问题．在解答时，应先充分结合条件：“对[0，1]中任意的x1和x2，恒成立”分析函数的凸凹性，进而根据具体的变化规律作出判断．【解答】解：由题意可知：函数f（x）满足性质：“对[0，1]中任意的x1和x2，恒成立”．∴函数图象在[0，1]上为下凹函数，有所给图象可知：B：为上凸函数、C为线性函数、D为先凹后凸的函数；故全部不符合题意．从而只有A适合下凹的性质．故选A．【点评】此题考查的是函数图象的应用问题．在解答的过程当中充分体现了隐含条件的挖掘、数形结合的思想以及问题转化的能力．值得同学们体会反思．25．（2012•辽宁）若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（）A．e x≤1+x+x2B．C．D．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题．【分析】对于A，取x=3，e3＞1+3+32，；对于B，令x=1，，计算可得结论；对于C，构造函数，h′（x）=﹣sinx+x，h″（x）=cosx+1≥0，从而可得函数在[0，+∞）上单调增，故成立；对于D，取x=3，．【解答】解：对于A，取x=3，e3＞1+3+32，所以不等式不恒成立；对于B，x=1时，左边=，右边=0.75，不等式成立；x=时，左边=，右边=，左边大于右边，所以x∈[0，+∞），不等式不恒成立；对于C，构造函数，h′（x）=﹣sinx+x，h″（x）=﹣cosx+1≥0，∴h′（x）在[0，+∞）上单调增∴h′（x）≥h′（0）=0，∴函数在[0，+∞）上单调增，∴h（x）≥0，∴；对于D，取x=3，，所以不等式不恒成立；故选C．【点评】本题考查大小比较，考查构造函数，考查导数知识的运用，确定函数的单调性是解题的关键．26．（2012•湖南模拟）已知f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1，x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]，则f（1）的取值范围是（）A．（﹣10，﹣] B．[﹣，﹣] C．[﹣10，﹣] D．[﹣，10]【考点】函数在某点取得极值的条件；简单线性规划．菁优网版权所有【专题】压轴题；导数的综合应用．【分析】根据函数f（x）的极值点的范围，对原函数求导，借助导函数所对应方程根的分布情况，列出对应的不等式组，然后可以直接求解，也可采用取特值排除不适合控制不等式组的选项．【解答】解：由f（x）=x3+3bx2+3cx得f′（x）=3x2+6bx+3c，令f′（x）=0得g（x）=x2+2bx+c=0，∵x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]，则又f（1）=1+3b+3c+3（b+c）+1，取f（1）=﹣2，得b+c=﹣1，b=﹣c﹣1，将b=﹣c﹣1分别代入上面不等式中的g （﹣1），g（0），g（1），g（2）得到﹣1≤c≤0有解，说明f（1）=﹣2满足，所以可排除A，D．再取f（1）=﹣8，同理可得控制不等式组有解，故可排除C．故选B．【点评】解题时需明确两点，一是极值点处的导数为0，再就是求导后能正确把导函数所对应方程根的分布情况转化为控制待求系数的不等式组．27．（2011•萧山区模拟）已知f（x）是定义在（e，+∞）的可导函数，且对于任意的x都有xf'（x）＞f（x）＞0，给出下列不等式：①f（a）＞f（e）；②f（a）＜f（e）；③f （a）＞lna•f（e）；④f（a）＜lna•f（e）其中一定成立的是（）A．①③ B．①④C．②③D．②④【考点】函数的单调性与导数的关系．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】先由xf'（x）＞f（x）＞0，得出f'（x）＞．从而确定f'（x）＞0，函数f（x）为单调递增函数．最后依据a＞e＞0，和0＜f（e）＜f（a），结合不等式的性质即可得出答案．【解答】解：因为xf'（x）＞f（x）＞0，，所以f'（x）＞因为x为正，所以f'（x）＞0，函数f（x）为单调递增函数．且a＞e＞0，所以0＜f（e）＜f（a），故①正确，②错误；又因为a＞e＞0，所以af（a）＞ef（e）⇒f（a）＞f（e）⇒f（a）＞lna•f（e），故③正确，④不正确；故选A．【点评】解答本类题目的注意事项主要是利用好函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系．28．（2013•江西）如图．已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f （t）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】通过t的增加，排除选项A、D，利用x的增加的变化率，说明余弦函数的变化率，得到选项即可．【解答】解：因为当t=0时，x=0，对应y=1，所以选项A，D不合题意，当t由0增加时，x的变化率由大变小，又y=cosx是减函数，所以函数y=f（t）的图象变化先快后慢，所以选项B满足题意，C正好相反．故选B．【点评】本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力．29．（2010•江西）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S（t）（S（0）=0），则导函数y=S′（t）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．菁优网版权所有【专题】压轴题；创新题型．【分析】本题利用逐一排除的方法进行判断，结合选项根据最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，以及总面积一直保持增加，没有负的改变量，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断进行判定即可．【解答】解：最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A．故选A．【点评】本题考查函数图象、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力．30．（2009•安徽）设函数f（x）=x3+x2+tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′（1）的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[，] C．[，2] D．[，2]【考点】导数的运算．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】利用基本求导公式先求出f′（x），然后令x=1，求出f′（1）的表达式，从而转化为三角函数求值域问题，求解即可．【解答】解：∵f′（x）=sinθ•x2+cosθ•x，∴f′（1）=sinθ+cosθ=2sin（θ+）．∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]．∴sin（θ+）∈[，1]．∴2sin（θ+）∈[，2]．故选D．【点评】本题综合考查了导数的运算和三角函数求值域问题，熟记公式是解题的关键．。