导数压轴题处理专题讲解（上）专题一双变量同构式（含拉格朗日中值定理）..................................................... - 2 -专题二分离参数与分类讨论处理恒成立（含洛必达法则）.................................... - 4 -专题三导数与零点问题（如何取点） .................................................................. - 7 -专题四隐零点问题整体代换.............................................................................. - 13 -专题五极值点偏移 ........................................................................................... - 18 -专题六导数处理数列求和不等式....................................................................... - 25 -专题一 双变量同构式（含拉格朗日中值定理）例1. 已知（1）讨论的单调性（2）设，求证：例2. 已知函数，。

（1）讨论函数的单调性；（2）证明：若，则对任意x ，x ，x x ，有。

例3. 设函数. （1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值； （2）讨论函数零点的个数；（3）若对任意恒成立，求的取值范围.()()21ln 1f x a x ax =+++()f x 2a ≤-()()()121212,0,,4x x f x f x x x ∀∈+∞-≥-()21(1)ln 2f x x ax a x =-+-1a >()f x 5a <12∈(0,)+∞1≠21212()()1f x f x x x ->--()ln ,m f x x m R x=+∈m e =e ()f x ()'()3x g x f x =-()()0,1f b f a b a b a ->><-m例4. 已知函数（1）讨论函数的单调性（2）对任意的，有，求k 的取值范围例5. 已知函数，是否存在，对任意x ，x ，x x ，恒成立？若存在，求之；若不存在，说明理由。

例6. 已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点x e =（e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．（1）求实数a 的值；（2）若2()f x kx ≤对任意0x >成立,求实数k 的取值范围；（3）当1n m >>*(,)m n N ∈时,m n>．()1ln xf x x-=()y f x =)212,,x x e ⎡∈+∞⎣121212()()f x f x k x x x x ->-()21ln (2)2f x x a x a x =-+-a R ∈12∈(0,)+∞1≠21212()()f x f x a x x ->-专题二 分离参数与分类讨论处理恒成立（含洛必达法则）例1. 已知函数ln ()=1a x b f x x x++，曲线=()y f x 在点(1(1))f ，处的切线方程为23=0x y +-.（1）求a 、b 的值；（2）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x>+-，求k 的取值范围.例2. 设函数2()=1x f x e x ax ---.（1）若0a =，求()f x 的单调区间；（2）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.例3. 已知函数2()(1)x f x x e ax =--.（1）若()f x 在1x =-时有极值，求函数()f x 的解析式；（2）当1x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.（3）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.例4. 设函数()1x f x e -=-.（1）证明：当1x >-时，()1x f x x ≥+；（2）设当0x ≥时，()1x f x ax ≤+，求a 的取值范围.例5. 设函数sin ()=2cos x f x x+．（1）求()f x 的单调区间；（2）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．例6. 已知函数()=11x x f x e x λ-+-+（1）证明：当0λ=时间，()0f x ≥（2）若当0x ≥时，()0f x ≥，求实数λ的取值范围。

例7. 已知函数()()2()=ln 1f x x a x x ++-，其中Ra ∈（1）讨论函数()f x 的极值点个数，并说明理由（2）若()0,0x f x ∀>≥成立，求a 取值范围。

例8. 已知函数()211()=ln .022f x ax x ax a ⎛⎫++-> ⎪⎝⎭（1）求证02a <≤时，()f x 在1+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，上是增函数（2）若对任意的()1,2a ∈，总存在01,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭使不等式()20()1f x m a >-成立，求实数m 的取值范围例9. 已知函数2()=(2)e (1)x f x x a x -+-有两个零点.求a 的取值范围；例10. 已知函数()=(1)ln (1)f x x x a x +--.（1）当4=a 时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；（2）若当()1,∈+∞x 时，()0f x ＞，求a 的取值范围.专题三 导数与零点问题（如何取点）例1. 已知函数22()().x x f x a e a e x =+--（1）讨论()f x 单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围；例2. 已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点.求a 的取值范围；例3. 设函数()2=ln x f x e a x -.讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；例4. 已知函数()()21x f x x e ax =-+有两个零点. (2) 求a 的取值范围例5. 已知函数212().x m f x e x m x =---当m<0时，试讨论y=f(x)的零点的个数；例6. 设函数11l n ()l n l n ()x f x x x x =-+++，是否存在实数a ，使得关于x 的不等式()a f x ≥的解集为0+∞（，）？若不存在，试说明理由。

例7. 已知函数2221()-(+)2.x x f x a e a x e x x =++当02a <≤时，证明()f x 必有两个零点例8. 已知函数()()n f x a x a R =∈（1）求()f x 的单调区间（2）求函数()f x 的零点个数，并证明你的结论例9. 设常数00,a λ>>，函数2()l n ,x f x a x x λ=-+对于任意给定的正数,a λ证明存在实数0x ，当0x x >时，0()f x > 例10. 已知函数().ln x a x x f +=（1）当1=a 时，求曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求()x f 的单调区间；（3）若函数()x f 没有零点，求a 的取值范围.例11. 已知函数()()x e a x x f +=，其中e 是自然对数的底数，R a ∈.（1）求函数()x f 的单调区间；（2）当1<a 时，试确定函数()()2x a x f x g --=的零点个数，并说明理由.例12. 已知函数()().01ln ≠+=a xx a x f （1）求函数()x f 的单调区间；（2）若()}[]{c b x f x ,0=≤()c b <其中，求a 的取值范围，并说明[]().1,0,⊆c b 分析()}[]{c b x f x ,0=≤的形式类似不等式的解集，问题即转化为研究方程的根，即转化为研究函数的零点范围.例13. 已知函数2()(2)ln 22f x x a x a x a =--+++，其中2a ≤（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在(0,2]上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围。

例14. 已知关于x 的函数()(0)xax af x a e-=≠，（1）当1a =-时，求函数()f x 的极值；（2）若函数()()1F x f x =+没有零点，求实数a 的取值范围。

例15. 已知函数（1）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 值；（2）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同交点，求b 的取值范围。

例16. 已知函数()f x a x =，()a R ∈（1）求函数()f x 的单调区间；（2）试求函数()y f x =的零点个数，并证明。

专题四 隐零点问题整体代换例1. 设函数()=2xf x e ax --(1)求()f x 的单调区间(2)若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '--+> ，求k 的最大值例2. 已知函数()ln f x ax x x =+的图像在点x e =（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为3(1)求实数a 的值(2)若k Z ∈，且()1f x k x <-对任意1x >恒成立，求k 的最大值例3. 若对于任意0x >，2ln 10xxekx x ---≥恒成立，求k 的取值范围。

例4. 已知函数()()=ln xf x e x m -+.（1）设0x =是()f x 的极值点，求m ,并讨论()f x 的单调性；（2）当2m ≤时，证明()0f x >.例5. 已知函数()32213f x x x ax =+++在()1,0-上有两个极值点1x 、2x ，且12x x <. （1）求实数a 的取值范围；（2）证明：()21112f x >. 例6. 已知a R ∈，函数()2=xf x e ax +；()g x 是()f x 的导函数.（1）当12a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）当0a >时，求证：存在唯一的01,02x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，使得()00g x =；（3）若存在实数,a b ，使得()f x b ≥恒成立，求a b -的最小值.例7. 已知函数满足满足. （1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值.例8. 已知函数()()222ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0>a .（1）设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；（2）证明：存在()0,1∈a ，使得()0≥f x 在区间()1,+∞内恒成立，且()0=f x 在区间()1,+∞内有唯一解.例9. 已知函数()22=2ln 2f x x x ax a -+-+，其中0>a ，设()g x 是()f x 的导函数.（1）讨论()g x 的单调性；（2）证明：存在()0,1∈a ，使得()0≥f x 恒成立，且()0=f x 在区间()1,+∞内有唯一解.()f x 121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+()f x 21()2f x x ax b ≥++(1)a b +QQ 群 545423319例10. 已知函数()2=ln 12a f x x x x -++，()=21x ag x ae ax a x++--，其中a R ∈. （1）若2a =，求()f x 的极值点；（2）试讨论()f x 的单调性；（3）若0a >，()0,x ∀∈+∞，恒有()()g x f x '≥，求a 的最小值.例11. 已知函数()21=ln 2f x x ax x -+，a R ∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 的极值大于0？若存在，则求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.例12. 设函数()2ln xf x ea x =-.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（2）证明：当0a >时()22ln f x a a a≥+.例13. 设函数2)(--=ax e x f x. （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若1=a ，k 为整数，且当x ＞0时，1)(')(++-x x f k x ＞0，求k 的最大值。