第八章
微分方程与差分方程简介
8.1 微分方程的基本概念
8.2 可分离变量的一阶微分方程
8.3 一阶线性微分方程
8.4 可降阶的高阶微分方程
8.5 二阶常系数线性微分方程 8.6 微分方程应用实例
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第八章
微分方程与差分方程简介
我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要 工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在 许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函 数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分） 或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程 或差分方程，我们需要从这些方程中求出所要的函数。 本章主要介绍微分方程的基本概念及求解微分方程中 未知函数的几种常见的解析方法；并对差分方程的有 关内容做一简单介绍。
(3) (4)
将条件（ 2）代入（ 3），可得c 1，则所求曲线方程：
例2一汽车在公路上以10m/s的速度行驶，司机突然发现 汽车前放20米处有一小孩在路上玩耍，司机立即刹车，已 知汽车刹车后获得加速度为－4 m / s 2,问汽车是否会撞到小孩？ 解 设汽车刹车后t秒内行驶了s米，根据题意，反映刹车
(5) (6)
(7) (8)
t 0
将条件v t 0 10代入（7）式中，将条件 S
0代入（ 8）式，
(9)
S 2t 2 10t (10) 在（9）式中令v=0,得到从开始刹车到完全停住所需要
的时间t=2.5秒，因此刹车后汽车行使距离为： 2 S 2 2.5 10 2.5 12.（米） 5
8.1
微分方程的基本概念
一.引例
例1 一曲线通过（1，2），且在改曲线上任一 点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。 解 设所求曲线方程为y=y(x)，根据导数的几何意义， y(x)应满足：
dy 2x dx 及条件y (1)
x 1
2
(2)
对（ 1 ）式两端积分，得

y 2 xdx即y x 2＋c y x2 1
上述两例中，（ 1 ）式和（ 5）式都含有未知函数的 导数，它们
d2y dy p qy f ( x) 2 dx dx
(11)
dy y 2x dx dny 1 0 n dx
等都是常微分方程。
(12) (13)
微分方程中出现的未知函数的导数或微分的最高 阶数，称为该微分方程的阶（order），例如（1）和 （12）为一阶微分方程，（5）和（11）为二阶微分方程， 而（13）是n阶微分方程。
2
y x 1只是其中过（ 1 ， 2）点的一条积分曲线。
8.2
可分离变量的一阶微分方程
一阶微分方程（differential equation of first order）
y f ( x, y ) 如果能化成 (1) g ( y )dy f ( x)dx(2)
的形式，即可表示为一端只含y的函数和dy, 而另一端只含
所以汽车不会撞到小孩 。 都是微分方程。 二.微分方程的基本概念
凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程 （differential equation）.未知函数为一元函数的微分 方程，叫常微分方程（ordinary differential equation ）.未知函数为多元函数的微分方程，叫做偏微 分方程（partial differential equation）.这里我们只 讨论常微分方程，简称为微分方程，例如
的解，称为微分方程的特解（particular solution）.如
（10）是微分方程（5）的满足条件（6）的特解
dS 形如y x 0 0或S t 0 10, 的定解条件，即根据 t 0 10 dt 时刻的状态得到的定解条件， 所研究系统所处的初始
称为初值条件（initial value condition）.初值条件的
x的函数和dx, 那么原方程就称为可分 离变量的微分方程 (differential equation of separated variables).
形如 dy f ( x) g ( y ) dx P 1 ( x) P 2 ( y ) dx Q1 ( x )Q2 ( x ) 0
的方程均为可分离变量 的微分方程。
对（2）式两端分别积分，便 可得到微分方程的通解 其中C为任意常数。
解 首先分离变量 ，得
g ( y )dy
f ( x) dx C
阶段汽车运动规律的函数S=S(t),应满足方程：
d 2s 4 2 dt ds 及条件 S t 0 0, v t 0 t 0 10 dt 对（5）式两端积分一次，得 ds v 4t c1 dt 在积分一次，得 S 2t 2 c1t c2 得c2 0, 从而得到 v 4t 10
如果将一个 函数代入微分方程后能是该方程成为恒等式， 则称这个函数为该微分方程的解（solution）.将（3）。 （4）为微分方程（1）的解，而（8）和（10）则是微分 方程（5）的解。
如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微 分方程的通解（general solution）.如（3）和（8）分 别是微分方程（1）与（5）的通解。由于通解中含有任一 常数，所以它还不能确切的反应某客观事物的特定规律。 为此，要根据问题的实际情况，提出确定这些常数的条件， 这种条件称为定解条件。确定了通解中的任意常数后所得。
个数通常等于微分方程的阶数，
一阶微分方程的初值条件一般为 y x x0 y0 ; 二阶微分方程的初值条 件 .其中 x0 , y0 , y0 都是给定的值。 y x x0 y 0 , y x x0 y 0
从几何上看，微分方程的通解对应着平面上的一族曲 线，称其为微分方程的积分曲线族，而特解则对应着积分 曲线族中的某一条曲线，称其为积分曲线(integral curve).如 y x 2 c 是方程（1）的积分曲线族,而