各种类型的微分方程及其相应解法
专业班级：交土01班 姓名：高云 学号：1201110102 微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。

一、一阶微分方程的解法
1.可分离变量的方程
dx x f dy y g )()(=,或)()(y g x f dx
dy = 其特点是可以把变量x 和y 只分别在等式的两边，解法关键是把变量分离后两边积分。

例1.求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解.
解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=-
设,01,012≠-≠-x y 分离变量得
dx x dy y y 1112-=- 两端积分⎰⎰-=-dx x dy y y 1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2
112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y
2.齐次方程
（1）)(x
y f dx dy = （2） )(c by ax f dx
dy ++=（a ，b 均不等于0） 例2求解微分方程.2222xy
y dy y xy x dx -=+- 解 原方程变形为=+--=2222y xy x xy y dx dy ,1222⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛x y x y x y x y 令,x y u =则,dx du x u dx dy +=方程化为,1222u
u u u dx du x u +--=+ 分离变量得⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--112212121u u u u ,x dx du = 两边积分得
,ln ln ln 2
1)2ln(23)1ln(C x u u u +=----
整理得 .)2(1
2/3Cx u u u =--
所求微分方程的解为 .)2()(32x y Cy x y -=-
3.一阶线性微分方程
⎰+⎰⎰==+-])([),()()()(C dx e x Q e y x Q y x p dx
dy dx x p dx x p 其通解为 例3. x y dx dy x sin 2=+， π
π1)(=y ； 解 将方程改写为 x
x y x dx dy sin 2=+， 这里x x p 2)(=，x
x x q sin )(=，故由求解公式得 )sin (1sin 222⎰⎰+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=-
xdx x C x dx e x x C e y dx x dx x 22sin cos x x x x x C +-=
. 由初值条件ππ1
)(=y ，得0=C .
所以初值问题的解为 2
cos sin x x x x y -= 例 4.设非负函数()f x 具有一阶导数，且满足1
200()()()x
f x f t dt t f t dt =+⎰⎰，求函数()f x ．
解：设1
20()A t f t dt =⎰，则0()()x
f x f t dt A =+⎰，两边对x 求导，得 ()()()x f x f x f x Ce '=⇒=，由已知(0)()x f A C A f x Ae =⇒=⇒=
又 1
1222004()()1
t A t f t dt t Ae dt A e ==⇒=+⎰⎰，则 24()1
x f x e e =+ 例5.设)()()(x g x f x F ⋅=，其中(),()f x g x 满足下列条件：
)()(x g x f ='，()()g x f x '=，且()00f =，x e x g x f 2)()(=+．
① 求)(x F 满足的一阶方程； ② 求)(x F 的表达式．
解：(1) 由 )()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=)()(22x f x g +
=)()(2)]()([2x g x f x g x f -+)(242x F e x -=,
可见，)(x F 所满足的一阶微分方程为
2()2()4(0)0
x
F x F x e F '⎧+=⎨=⎩． (2) 由通解公式有
]4[)(222C dx e e e x F dx x dx +⎰⋅⎰=⎰-=]4[42C dx e e x x +⎰-22x x e Ce -=+．
将0)0()0()0(==g f F 代入上式，得1-=C .于是
22()x x F x e e -=-
4.伯努利方程。

内适当选定的点的坐标是区域其中内恒成立，此时通解为在区域要条件是方程的充分
的全微分，其为全微分左边恰好是某一个函数全微分方程
即可，其余同再令同除以G ,,),(),(),(G ),(,0),(),(.53,,)()(00100
y x C dy y x Q dx y x P y x u x Q y P y x u dy y x Q dx y x p y u y y x Q y x p dx
dy x x y
y n n n =+=∂∂=∂∂==+==+⎰⎰-二、二阶线性微分方程的解法
1.可降阶微分方程
次分型，求解方法：连续积n )()1()(x f y n =
（2）''''''',),(p y p y y x f y ===则型，求解方法：令
（3）p dy
dp dx dp y y y f y ===='''''p y ),(，则型，求解方法：令‘ 例6. 方程03='+''y y x 的通解为 ． 解：330y xy y y x ''''''+=⇒=-
令,y p y p ''''==，原方程变为 3p p x '=- 11333ln 3ln ln C dp dp dx dx p x C p y p x p x x
'⇒=-⇒=-⇒=-+⇒==⎰⎰ 所以232
112C dx C y C x x =-+=⎰
)
2).......(()()()
1......(0)()(.2''''''x f y x Q y x P y y x Q y x P y =++=++二阶非齐次线性方程二阶齐次线性方程
3.二阶常系数齐次线性方程 )
sin cos (,r )3()(r 2(,,10
q p ,0212,12121212'''21x C x C e y i e x C C y e C e C y r r q pr r qy py y x rx
x
r x r βββα+=±=+=+==++=++∂则通解为一对共轭复根，则通解为）有两个相等的实根则通解为）有两个不相等的实根（是常数，若特征方程，其中 例7. 解方程022=+'+''y y y ．
解：022=+'+''y y y 的特征方程为2
1,22201r r r i ++=⇒=-±
则方程的通解为12(cos sin )x y e C x C x -=+ 例8.设0()sin ()()x
f x x x t f t dt =--⎰ 其中)(x f 为连续函数，求)(x f ． 解：原方程整理得
00()sin ()()x x f x x x f t dt tf t dt =-+⎰⎰， 两边求导 0()cos ()x
f x x f t dt '=-⎰，
再两边求导得 ()sin ()f x x f x ''=--，
整理得 ()()sin ,
(0)0,(0)1f x f x x f f '''+=-==（初始条件到原方程中找） 解得1()sin cos 22
x f x x x =+ 有关微分方程的题目有很多，不可能一一列举出来，但我们可以举一反三，开拓思维，这样我们的高数才会得以提高。