全微分方程及积分因子
全微分方程及积分因子
内容：凑微分法，全微分方程的判别式，全微分方程的公式解，积分因子的微分方程，只含一个变量的积分因子和其他特殊形式的积分因子。

由于有数学分析多元微积分的基础，本节的定理1可以简化处理。

对课本中第三块知识即全微分方程的物理背景可以留到后面处理，对第四块知识增解和失解的情况要分散在本章各小节，每次都要重视这个问题。

关于初等积分法的局限性可归到学习近似解法时一起讲解。

重点：全微分方程的公式解和积分因子的计算，难点为凑微分法和积分因子的计算。

习题1(1,3,5)，2，3
思考题：讨论其他特殊形式的积分因子。

方程：0),(),(=+dy y x N dx y x M
判定：全微分⇔x
N
y M ∂∂≡∂∂ 解法：C
dy y x N dx y x M y
y x
x =+⎰⎰
),(),(0
初值问题0=C
积分因子：x
N y M y M x N ∂∂-∂∂=⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧∂∂-∂∂μμμ1
)(x μ： N
x
N
y M dx d ∂∂-
∂∂=μμ1 )(y μ：
M
x
N
y M dy d ∂∂-
∂∂-=μμ1
1．解下列方程： 1）0
)(222
=-+dy y x
xydx
解：x
N y M ∂∂≡∂∂=x 2 ⎰
⎰=-+x
y
C
dy y xydx 0
2)0(2既 C
y y x =-3/32
2）0
)2(=+---dy xe y dx e
y y
解：x
N y M ∂∂≡∂∂=y
e -- ⎰⎰
=-+-y
x
y
C
dy y dx e 0
)2(既C
y xe
y
=--2
3）0
)1(222=---+
dy y x dx y x x
解：x
N y M ∂∂≡∂∂=y
x --2
21
⎰
⎰
=---+x
y C
dy y dx y x x 0
2)1(2 C
y y y x x =-+---+23
2
32322
)(32)(32)(32
既
C
y x x =-+23
2
2
)(32 4）0
)ln (3
=++dy x y dx x
y
解：x N y M ∂∂≡∂∂=x
1 C
dy y dx x
y
y x
=+⎰⎰
030
既C
y
x y =+4/||ln 4
5）
05233
3222=+-+dy y y
x dx y y x
解：
x
N y M ∂∂≡∂∂=3
2
6--y x
⎰
⎰=-+-x
y C dy y dx y
y x 0
02
22253
C
y x y x =++-/523
6）0
2cos )2sin 1(2
=-+xdy y dx x y
解：x
N y M ∂∂≡∂∂=x y 2sin 2 C
ydy dx x y x
y
=-+⎰
⎰0
2)2sin 1( C y y x y x =-+-
2222
1
212cos 21
C x y x =-
2cos 2
12
2．求下列方程的积分因子和积分： 1）0
)(22
=+++xydy dx x y x
解：N x y y y x N y M
1
2==-=∂∂-∂∂ 1let 1
1==⇒=C Cx x
dx d μμμ既
x x =)(μ
C
dy dx x xy x y
x
=+++⎰⎰
2
230)(
C x y x x =++3
2243
12141
2）0
)3()22(224234=--+++dy x y x e y x dx y xy e
xy y y
解：1
682234+++=∂∂-∂∂xy e xy e xy x
N y M
y y
M y
xy e xy xy e xy y y 4
488 322 2324=
++=++-
y
dy d 4
1-=μμ4
)(-=⇒y y μ ⎰
⎰=+++-x
y
y C
dy dx y y x xe 0
30)/22(
C
xy y x e x y =++-322/
3）0
)(344
=-+dy xy dx y x
解:N
x
y y x N y M
5
433
-=+=∂∂-∂∂
5
)(5
1-=⇒-=x x x
dx d μμμ
C
dx yx x x
=+⎰
--0
51)(既C
x
y
x =-4
4ln
4）0)(2)2242(2
3
4
2
2
2
3=+++++++dy x y x y dx y xy xy y x y x
解:2444432
3
++++=∂∂-∂∂xy xy x y x x
N y M
2
4--xy
xN
xy x y x 2444323=++=
2
)(21x e x x dx
d =⇒=μμμ
⎰⎰=+++++y x x C
dy y dx y xy xy y x y x e
304
2
2
2
32)2242(2
{}
{
}
{}
{}{}
C
y dx ye y e y y e
y dx
ye xye y e y e y x x
x x x x
x x x x =++
⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-+-++-⎰⎰2/2212
1
2240
4422
2222
2
22
2
2
2
2
C e y xy y x x =⎪⎭⎫
⎝
⎛++242
2212
3．求下列方程的积分因子： 1）0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 解：)()(1),(y N x P y x =μ 2）dx x f y x p dy )]()([+=
解：N x p x N y M
)(-=∂∂-∂∂ 所以⎰=⇒-=-dx
x p e x x p dx
d )()()(1μμ
μ
3）)1,0( ])()([≠+=n dx y x q y x p dy n
解：⎰
=-dx
x p n n
e
y u x )()1(1),(μ
4．设)(),(2
1
z f z f 连续可微，
)]()([),(21≠-=xy xy f xy f y x ϕ，求证：
)
,(1y x ϕ是方程
)()(21=+xdy xy f ydx xy f 的一个积分因子。

证明：
)()()()(2211xy f xy xy f xy f xy xy f x
N y M -'
-+'=∂∂-∂∂
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-∂∂y M x N μμμ1=
⎭
⎬
⎫
⎩⎨⎧∂∂-∂∂--y M x N 11ϕϕϕ
=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-∂∂--y M x N ϕϕϕ
1
}}
)]()([ )]()({[)( })]()([ )]()({[)({2212112212121y x xy f xy f x
xy f xy f y xy f xy xy f xy f y
xy f xy f x xy f '
-'+--'
-'+--=-ϕ
x
N
y M ∂∂-∂∂=
5．设y
f
y x f ∂∂ , ),(连续，试证方程
),(=-dx y x f dy 为线性方程的充要条件是它有仅
依赖于x 的积分因子。

证明：方程有仅依赖于x 的积分因子等价于
N x p x
N
y M )(=∂∂-∂∂)()(x p xy f y =⇔
)
()(),(x q y x p y x f +=⇔
既方程为线性的。