非负实值 函数
➢常用的几种向量范数：
n
设
x
(
x1 ,
x2 ,
, xn )T
1-范数： x 1
xi
i 1
❖ 2-范数：
n
x ( 2
xi2
)
1 2
(x, x)
i 1
-范数：
x
max
1 i n
xi
上述3种向量范数统称为P-范数
n
x ( p
xi p ) 1 p
1 p
i 1
二、 矩阵范数
定义：设 f ( A是) Rnn的一个R 映射，若对
1 3 10 x3 14
x(k 1) 1
(14 3x2(k )
x3(k ) ) 10
雅克比迭代格式
x(k 1) 2
(5
2 x1(k )
3x3(k ) ) (10)
x(k 1) 3
(14
x(k) 1
3x2(k ) ) 10
高斯-塞德尔 迭代格式
x(k 1) 1
(14
3x2(k )
x3(k ) ) 10
A Rnn，存在唯一实数 A与之对应，且满足
非负性：A 0, A Rnn且 A 0 A 0
❖齐次性： A A , A Rnn , R
三角不等性： A B A B , A, B Rnn AB A B A, B Rnn
则称 A为 R中n矩n 阵 的范A数。
➢常用的几种矩阵范数： 记 A (aij )nn
n
列范数：
A 1
max 1 jn
i 1
aij
n
❖行范数：
A
max
1 i n
j 1
aij
谱半径
( A)
max
1 i n
i
1
谱范数： A 2
1 ( AT A) 2
其中
是
1
A的T A最大特征值
第四节 解线性方程det( A) 0
迭代法
从一个初始向量出发,按照一定的递推 格式,产生逼近方程组的近似解序列。
一、雅克比迭代法
设方程组 Ax b; A (aij )nn , b (bi )1n;det( A) 0
将系数矩阵分裂为： A D L U
其中 D diag(a11, a22 ,
0
a21 0
L a31 a32 0
, ann )
0 a12 a13
0 a23
U
0
an1 an2
0 an,n1 0
• 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。12/11/
2020 8:34:28 AM08:34:282020/12/11
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/11/
谢 谢 大 家 2020 8:34 AM12/11/2020 8:34 AM20.12.1120.12.11
第三节 向量范数和矩阵范数
一、 向量范数
定义：设 f ( x是) Rn的一R个映射，若对
x Rn
存在唯一实数 x与之对应，且满足
非负性： x 0,x Rn 且 x 0 x 0
❖齐次性： x x ,x Rn , R
三角不等性：x y x y ,x, y Rn
则称 x为 中Rn向量 的x范数。
思 路
与不动点迭代相似 ， 将方程组
形式x ， B从x而建f立迭代格式
A
x
等b价改写成
x(k1) B x(k) f ，从 x(出0) 发，生成迭代序列 { x(k) }
迭代法是一种逐次逼近的方法,与直接法比较, 具有: 程序简单,存储量小的优点。特别适用于求解系数 矩阵为大型稀疏矩阵 的方程组。
高斯-塞德尔迭代法是雅克比迭代法的一种改进。
➢ 高斯-塞德尔迭代法的分量形式：
i 1
n
bi
aij
x(k 1) j
aij x(jk )
x(k 1) i
j 1
ji 1
a ii
;i 1, 2, , n
例1：利用雅克比和高斯-塞德尔迭代法求解方程组
10 3 1 x1 14
2 10 3 x2 5
解：
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5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 120.12. 1108:3 4:2808: 34:28D ecembe r 11, 2020
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6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月11 日星期 五上午 8时34 分28秒0 8:34:28 20.12.1 1
x(k 1) 2
(5
2 x1(k 1)
3x3(k ) ) (10)
x(k 1) 3
(14
x(k 1) 1
3x2(k1) ) 10
雅克比迭代法 取初值 x (0 0 0)T
方程组的近似解
计算结果
计算结果
高斯-塞德尔迭代法
取初值 x (0 0 0)T
方程组的近似解
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1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1120. 12.11Fr iday, December 11, 2020
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7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月上午 8时34 分20.12. 1108:3 4December 11, 2020
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8、业余生活要有意义，不要越轨。20 20年12 月11日 星期五 8时34 分28秒0 8:34:28 11 December 2020
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9、一个人即使已登上顶峰，也仍要自 强不息 。上午 8时34 分28秒 上午8时 34分08 :34:282 0.12.11
分量形式：
i 1
n
bi
aij
x(k) j
aij
x
(k j
)
x(k 1) i
j 1
ji 1
a ii
;i 1, 2, , n
二、高斯-塞德尔迭代法
在雅克比迭代公式中，计算xi(k1) 时，利用已经算
出来的新的 x1(k1) , x2(k1) ,
,
x(k 1) i 1
值，从而得到
高斯-塞德尔迭代法。
a1n
a2n
0 an1,n 0
如果aii 0(i 1, 2, , n) 原方程组可化为 x D1(L U )x D1b Bx f
其中 B D1( L U ); f D1b
相应的迭代格式 x(k1) Bx(k) f ;k 0,1, 2,
上述方法称为雅克比迭代法，简称J法或简单迭代法
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2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。08:3 4:2808: 34:2808 :3412/ 11/2020 8:34:28 AM
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3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 108:34: 2808:3 4Dec-20 11-Dec-20
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4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 08:34:2 808:34: 2808:3 4Friday , December 11, 2020